حرکت نورد

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1482

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

حرکت نورد

پست توسط rohamjpl »

برای یک جسم نورد، محور چرخش در فضا ثابت نیست. محور چرخش با جسم غلتان حرکت می کند.
چندین فرض برای ساده کردن تجزیه و تحلیل اجسام نورد وجود دارد:
بدنه همگن سفت و سخت درجه تقارن بالا (به عنوان مثال استوانه، کره، حلقه)
حرکت غلتشی خالص (غلتان بدون لغزش)
حرکت غلتشی در امتداد یک سطح صاف (مایل، افقی یا حتی عمودی)
حرکت غلتشیتصویر
هنگامی که سیلندر در یک زاویه θ می چرخد ، مرکز جرم آن یک فاصله خطی s حرکت می کند.
ما از ریاضیات ابتدایی می دانیم که طول قوس، s، با $s = R \theta$ به دست می آید
. با استفاده از این می توانیم سرعت مرکز جرم را محاسبه کنیم.
$\begin{aligned} v_{\text{CM}} &= \frac{ds}{dt} \\ &= R \frac{d \theta}{dt} \\ &= R \omega \end{aligned}$
با استفاده از$v_{\text{CM}}$شتاب مرکز جرم:
$\begin{aligned} a_{\text{CM}} &= \frac{dv_{\text{CM}}}{dt} \\ &= R \frac{d \omega}{dt} \\ &= R \alpha \end{aligned}$
انجام شده.سیلندر نورد
شکل من داده ام یک استوانه نورد را نشان می دهد. تمام نقاط روی سیلندر دارای سرعت زاویه ای یکسان، اما سرعت خطی متفاوتی هستند.سرعت خطی هر نقطه در جهتی عمود بر خط از آن نقطه تا نقطه تماس P است.
در هر لحظه، بخشی از لبه (سیلندر) که در نقطه P است
نسبت به سطح در حالت استراحت است زیرا لغزش رخ نمی دهد.
تایم لپس حرکت غلتشی
شکل بالا یک تایم لپس دو نقطه از یک استوانه نورد - مرکز جرم و یک نقطه در لبه آن را نشان می دهد.
تجزیه حرکت نورد سیلندر نورد
دیدن این که یک حرکت غلتشی خالص فقط از دو جزء تشکیل شده است سخت نیست - ترجمه و چرخش.
یک جسم غلتان که مرکز جرم آن در$v_{\text{CM}}$حرکت می کند
فقط یک انتقال با سرعت $v_{\text{CM}}$ و همچنین یک چرخش با $\omega = \frac{v_{\text{CM}}}{R}$ انجام می دهد
انرژی جنبشی یک جسم غلتان چرخش را در مورد نقطه تماس P در نظر بگیرید
از Work, Energy & Power Of Rotating Object می دانیم که:نکته
نقطه ای را در نظر بگیرید که در فاصله ds می چرخد. بیایید کار انجام شده توسط نیروی $\vec{F}$را محاسبه کنیم
$\begin{aligned} dW &= \vec{F}.d\vec{s} \\ &= \left( F \sin{\phi} \right) r \, d \theta \end{aligned}$
از تعریف گشتاور می دانیم که $rF \sin{\theta} = \tau$از این رو،$dW = \tau \, d \theta$
از معادله بالا می بینیم که فقط مولفه مماسی $\vec{F}$، که$ Fsinθ $است، کار می کند.
قدرت توسط:
$\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt} \\ &= \tau \frac{d \theta}{dt} \\ &= \tau \omega \end{aligned}$
انرژی کار و چرخشی
بیایید راهی برای ارتباط کار و انرژی چرخشی پیدا کنیم.
ابتدا $\tau$ را پیوند می دهیم
با ω یعنی $\begin{aligned} \tau &= I \alpha \\ &= I \frac{d \omega}{dt} \\ &= I \frac{d \omega}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} \\ &= I \frac{d \omega}{d \theta} \omega \end{aligned}$
سپس با استفاده از معادله بالا می توانیم dW را بیان کنیم از نظر ω
$\begin{aligned} dW &= \tau \, d \theta \\ &= I \omega \, d \omega\end{aligned}$
از این رو،$\begin{aligned} W &= \int\limits_{\theta_{0}}^{\theta} \tau \, d\theta \\ &= I \int\limits_{\omega_{o}}^{\omega} \omega \, d \omega \\ &= \frac{1}{2} I \omega^{2}-\frac{1}{2} I \omega_{0}^{2} \end{aligned}$
از معادله بالا می بینیم که:
کار خالص انجام شده توسط نیروهای خارجی در چرخش یک جسم صلب حول یک محور ثابت برابر با تغییر انرژی دورانی جسم است.
نتیجه دیگری از موارد فوق:تصویر
انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش به صورت زیر بدست می آید:
$E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ یعنی $K = \frac{1}{2} I_{P} \omega^{2} $
باید $I_{P}$ داشته باشیم
. از قضیه محور موازی، $I_{P} = I_{\text{CM}} + MR^{2}$
. از این رو،$\begin{aligned} K &= \frac{1}{2} I_{\text{CM}} \omega^{2} + \frac{1}{2} M R^{2} \omega^{2} \\ &= \frac{1}{2} I_{\text{CM}} \omega^{2} + \frac{1}{2} M v_{\text{CM}}^{2} \end{aligned}$
از معادله بالا، می‌توان دریافت که انرژی جنبشی کل جسمی که در حال حرکت غلتشی است، مجموع انرژی جنبشی دورانی حول مرکز جرم آن و انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم آن است.
محاسبه ممان اینرسی استخراج ممان اینرسی یک کره جامد یکنواخت توجه در ممان اینرسی $I = \sum\limits_{i} m_{i}r_{i}^{2}$ممان اینرسی معیاری از مقاومت یک جسم در برابر تغییرات حرکت دورانی آن است، همانطور که جرم معیاری از تمایل یک جسم برای مقاومت در برابر تغییرات حرکت خطی آن است.جرم یک ویژگی ذاتی یک جسم است، اما من به آرایش فیزیکی آن جرم و محور چرخش بستگی دارم.ممان اینرسی برای یک جسم صلب گسترده (تقسیم شده به عناصر کوچک) را می توان به صورت زیر نوشت:$\begin{aligned} I \, &= \lim_{\Delta m_{i} \rightarrow 0}{\sum\limits_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2}} \\ &= \int r^{2} \, dm \\ &= \int pr^{2} \, dV \end{aligned} $
قضیه محور موازی بیان می کند که گشتاور اینرسی در مورد هر محور موازی و در فاصله D از محوری که از مرکز جرم می گذرد برابر است با:$I = I_{\text{CM}} + MD^{2}$ چون داریم $\begin{aligned} x &= x^{\prime} + x_{\text{CM}} \\ y &= y^{\prime} + y_{\text{CM}} \end{aligned}$ از ممان انیرسی $\begin{aligned} I &= \int r^{2} \, dm \\ &= \int \left( x^{2} + y^{2} \right) \, dm \\ &= \int \left[ \left( x^{\prime}+ x_{\text{CM}} \right)^{2} + \left( y^{\prime} + y_{\text{CM}} \right)^{2} \right] \, dm \\ &= \int \left[ x^{\prime} + y^{\prime} \right] \, dm + \int \left[ x_{\text{CM}}^{2} + y_{\text{CM}}^{2} \right] \, dm + 2x_{\text{CM}} \int x^{\prime} \, dm + 2 y_{\text{CM}} \int y^{\prime} \, dm \end{aligned} $ خوب از آنجایی که در مرکز قاب جرم داریم:$\begin{aligned} \int x^{\prime} \, dm &= x_{\text{CM}}^{\prime} = 0 \\ \int y^{\prime} \, dm &= y_{\text{CM}}^{\prime} = 0 \end{aligned}$من با با توجه به نتایج صفر بالا، به دست می آورم$\begin{aligned} I &= \int r^{\prime 2} \, dm + D^{2} \int \, dm \\ I &= I_{\text{CM}} + MD^{2} \end{aligned} $
ممان اینرسی کره یک کره جامد یکنواخت دارای شعاع R و جرم M است. گشتاور اینرسی آن را در مورد هر محوری که از مرکز آن عبور می کند محاسبه کنید.توجه: اگر در هر نقطه ای گم شدید، .ابتدا مشکل را تنظیم کردیم.
کره جامد را به استوانه های جامد بی نهایت نازک برش دهید جمع از چپ به راست
ممان اینرسی را برای یک استوانه جامد به یاد بیاورید:$I = \frac{1}{2} M R^{2}$
از این رو برای این مشکل،$dI = \frac{1}{2} r^{2} \: dm$
حالا باید dm را پیدا کنیم،$dm = \rho \: dV$
پیدا کردن dV،و$dV = \pi r^{2} \: dx$
dV را با dm جایگزین کنید،
$dm = \rho \pi r^{2} \: dx$
dm را با dI جایگزین کنید،
$dI = \frac{1}{2} \rho \pi r^{4} \: dx$
حالا باید x را به زور وارد معادله کنیم. توجه کنید که x، r و R یک مثلث در بالا ایجاد می کنند. بنابراین، با استفاده از قضیه فیثاغورث،
$r^{2} = R^{2} – x^{2}$
جایگزین کردن،$dI = \frac{1}{2} \rho \pi (R^{2} – x^{2})^{2} \: dx$
از این رو،$I = \frac{1}{2} \rho \pi \int\limits_{-R}^{R} (R^{2} – x^{2})^{2} \: dx$
پس از گسترش و ادغام، دریافت خواهید کرد
$I = \frac{1}{2} \rho \pi \frac{16}{15} R^{5}$
حالا باید چگالی کره را پیدا کنیم:$\rho = \frac{M}{V}$
$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$
با تعویض، خواهیم داشت:$I = \frac{2}{5} M R^{2}$
و، امیدارم کمک کرده باشم
تصویر

ارسال پست