در مثلثات ، قانون کسینوس ها (که به فرمول کسینوس ، قاعده کسینوس یا قضیه کاشانی نیز معروف است طول اضلاع مثلث را به کسینوس یکی از زوایای آن مرتبط می کند. ، قانون کسینوس بیان می کند${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,}$جایی که γ نشان دهنده زاویه بین دو طرف طول a و b و مقابل ضلع طول c است. برای همان شکل ، دو رابطه دیگر مشابه هستند:${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,}$,${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .}$
نیروهای جمع بردار با قانون کسینوس
با توجه به دو بردار$\mathbf{F_1}, \mathbf{F_2}$و زاویه α بین دو بردار ما می توانیم نیروی حاصل fr را بدست آوریم:$F_R:=\Vert \mathbf{F_R}\Vert$
.$F_R^2=\Vert\mathbf{F_2}-\mathbf{F_1}\Vert^2=(\mathbf{F_2}-\mathbf{F_1})^2=\Vert\mathbf{F_1}\Vert^2+\Vert\mathbf{F_2}\Vert^2-2\mathbf{F_1}\mathbf{F_2}=F_1^2+F_2^2-2F1F2\cos\alpha$
به طوری که$F_R=\sqrt{F_1^2+F_2^2-2F1F2\cos\alpha}$
من از روش مهندسی مکانیک استفاده میکنم اولین مشتق درست است، اما تنها اگر شما به معنی تفاوت بین دو بردار، $\mathbf{F_1} - \mathbf{F_2}$این رقم سپس$\mathbf{F_D}$را از نوک یک بردار به نوک دیگری، در سراسر متوازی الاضلاعنشان می دهد. این قانون کسینوسها است که به زاویه محصور شده توسط دو طرف مثلث اشاره دارد:
$F_D^2=\Vert \mathbf{F_2} - \mathbf{F_1}\Vert^2=\Vert\mathbf{F_1}\Vert^2+\Vert\mathbf{F_2}\Vert^2-2\mathbf{F_1}\mathbf{F_2}=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos(\alpha )$
مشتق دوم نتیجه صحیح را به دست می آورد، اما ناقص است. در اینجا ما این رقم را دنبال می کنیم تا مورب طولانی تر از متوازی الاضلاع را با حرکت $\mathbf{F_1}$ به دست آوریم
به نوک $\mathbf{F_2}$، زاویه محصور مکمل می شود $(\pi - \alpha )$ و بردار $\mathbf{F_1}$
باید از رأس جدید دور شود.
در حال حاضر زمانی که ما قانون کسینوسها را ارزیابی می کنیم
$F_R^2=\Vert-\mathbf{F_2} + \mathbf{F_1}\Vert^2=\Vert\mathbf{F_1}\Vert^2+\Vert\mathbf{F_2}\Vert^2+2\mathbf{F_1}(-\mathbf{F_2})=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos(\pi - \alpha )$
اما $cos(\pi - \alpha ) = -cos(\alpha )$
، که فرمول دوم را از اول بازیابی می کند:
$F_R^2=\Vert\mathbf{F_2}-\mathbf{F_1}\Vert^2=\Vert\mathbf{F_1}\Vert^2+\Vert\mathbf{F_2}\Vert^2-2\mathbf{F_1}\mathbf{F_2}=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\alpha$
شما همچنین می توانید فرمول دوم را از قانون متوازی الاضلاع Euclid's parallelograms بدست آورید، که نشان می دهد که مجموع مربعات چهار طرف برابر با مجموع مربعات دو قطر است. فرمول اول، قانون کسینوسها که به مربع طول مورب کوتاه، از مجموع مربعات چهار طرف می دهد، تفریق می شود
$F_R^2 + F_D^2=(2\Vert\mathbf{F_1}\Vert^2+2\Vert\mathbf{F_2}\Vert^2)$
و شما با فرمول دوم باقی می ماند، که طول می کشد مربع از قطر طولانی از parallelogram.
I hope I help you understand the question. Roham Hesami
رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
