سقوط آزاد

[*Setare*]

سلام و وقت بخیر
درسته که میگیم جرم در گرانش زمین gتاثیری ندارد
بعد اگر تاثیری ندارد چرا میگن که به لایه های سازنده زمین بستگی دارد چون در قسمت های مختلف جرم های متفاوتی دارند
نمی تونم درک کنم چرا به لایه های زمین بستگی دارد

[عبدالرضا علي پور]

سلام و وقت بخیر
درسته که میگیم جرم در گرانش زمین gتاثیری ندارد
بعد اگر تاثیری ندارد چرا میگن که به لایه های سازنده زمین بستگی دارد چون در قسمت های مختلف جرم های متفاوتی دارند
نمی تونم درک کنم چرا به لایه های زمین بستگی دارد

برای اینکه شما اگر یک گلوله فلزی تو پر و یک پوسته تو خالی فلزی را در فضا در نظر بگیری هر کدام به نسبت جرم خودشون فضا زمان را خمیده میکنند و اون که تو پر است خمیدگی بیشتری در فضا زمان ایجاد میکنه (این موضوع نیز ممکن است به چگالی منطقه ای بستگی داشته باشد از مرکز زمین به سمت پوسته بیرونی در هر ناحیه که چگالی کمتری باشد احتمالا باید g کمتر بشود )

[rohamavation]

جواب شما اینطور هست .شما قانون جهانی گرانش را دارید $\large F = G\frac{{{M}{m_2}}}{{{r^2}}}. $ شما دو جرم دارید در فاصله R از سطح زمین .نیروی بین هردو از رابطه که گفتم محاسبه میشه چون دو جسم، یکدیگر را با نیرویی که با جرم آن‌ها و عکس مجذور فاصله آن‌ها رابطه مستقیم دارد، جذب می‌کنند با قانون دوم نیوتن اشنا هستید $F=mg$ حالا $ \large g = G\frac{{{M}{m_2}}}{{{mr^2}}}$که نتیجه میشود
$\large g = G\frac{{{M}{}}}{{{r^2}}} $ در همه جا یکسان و با فاصله نسبت عکس داره لذا به جرم شما وابسطه نیست و بسته به جرم سیاره داره.ببیند اثبات ان $ \large {{m_1}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt
{{m_2}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}} $ در سیستمی با دو جسم نیروی جاذبه F12 جسم دوم، بر جسم جسم اول به جرم m1 اعمال می‌شود. به‌طور مشابه، نیروی جاذبه F21 جسم اول، روی جسم دوم به جرم m2 تأثیر می‌گذارد. دو نیروی F12 و F۲۱، برابر و در جهت r هستند و همچنین معادله $ \large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt
{\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.} $ به نتیجه زیر میرسم $ \large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} – \frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} }={ G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r} + G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = -G\frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.} $ خوب حالا نکته اینجا دقت کنید اگر اختلاف جرم دو جسم، بزرگ باشد، می‌توان از جسم کوچکتر در سمت راست معادله صرف‌نظر کردیعنی $ \large \frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{M_\text{S}}}}{{{r^3}}}\mathbf{r} $ تعامل گرانشی اجسام، در یک میدان گرانشی رخ می‌دهد که آن را با پتانسیل اسکالر φ توصیف می‌کنیم. کنش نیرو بر جسمی به جرم m در یک میدان با پتانسیل φ، برابر است با$ \large {\mathbf{F} = m\mathbf{a} }={ – m\,\mathbf{\text{grad}}\,\varphi .} $ برای جرم ذره‌ای M، پتانسیل میدان گرانشی با رابطه زیر بیان می‌شود $ \large \varphi = – \frac{{GM}}{r}. $
جواب قسمت دوم سوال شما چرا هر چی به مرکز میرویم شدت گرانش کم میشه
در حقیقت کاملاً درست نیست که قدرت میدان گرانشی زمین به عنوان تابعی از عمق کاهش یابد. برای مناطق خاصی در زمین درست است ، اما به دلیل وابستگی به چگالی زمین به عمق ، چون زمین چگالی یا دانسیتهdensity یکنواخت ندارد درست نیست
، فرض کنید زمین کره ای است که چگالی آن به طور کروی متقارن است.اکنون یک جرم متر را در شعاع r از مرکز زمین در نظر بگیرید. با استفاده از قانون جاذبه نیوتن ، می توان نشان داد که با توجه به تقارن کروی ، جاذبه جاذبه بر روی کل جرم با شعاع بیشتر از r هیچ نیروی خالصی بر آن وارد نمی کند. از این رو می توان گفت که فقط جرمی با شعاع کمتر از r یا مساوی با r در نیروی جاذبه در متر نقش دارد ، که طبق قانون جاذبه
$ \begin{align}
F(r) = G\frac{M(r)m}{r^2}
\end{align} $که در آن $M(r) $ جرم مواد در شعاع کمتر از r است. بنابراین ، توجه کنید که$ F(r) $ یک تابع افزایش دهنده r خواهد بود و به اندازه $ r\to 0 $ کاهش می یابد ، به شرطی که $M(r)/r^2 $ تابع افزایش یافته r باشد حالا حال ، اگر زمین با چگالی ρ0 یکنواخت متراکم باشد ، جرم در شعاع r خواهد بود$ \begin{align}
M(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_0
\end{align} $ بینید به سادگی به نتیجه $ \begin{align}
g(r) = \frac{F(r)}{m} = G\frac{1}{r^2}\frac{4}{3}\pi r^3\rho_0 = \left(\frac{4}{3}\pi g\rho_0\right) r
\end{align}$ رسیدم یعنی چگالی چند برابر حجم شعاع r ، و در این حالت قدرت میدان گرانشی به عنوان تابعی از شعاع خواهد بود
در هر نقطه از یک پوسته کروی جرم ، هیچ نیروی گرانشی خالص به دلیل تقارن وجود ندارد. بنابراین می دانیم که هرگاه در داخل زمین قرار بگیریم
به طور خلاصه ، تنها جرمی که یک نیروی خالص به ما وارد می کند ، جرمی است که در زیر ما قرار دارد و هرچه در زیر زمین حرکت کنیم ، جرم کمتری در زیر ما قرار دارد. بنابراین ، وقتی عمیق تر در زیر سطح حرکت می کنیم ، نیروی جاذبه کمتری وجود داردبه عبارتی $ \begin{equation}
\oint_{S_r} g_r \cdot dA = -G \int_{B_r} \rho dV
\end{equation} $ با توزیع جرم متقارن کروی در زمین ، می توان میدان گرانشی داخل سیاره را با استفاده از قانون گاوس برای گرانش محاسبه کرد. یک نتیجه قانون این است که در حالی که میدان گرانش را در فاصله r <R (با شعاع R زمین) محاسبه می کنیم ، می توان تمام جرم خارج از شعاع r را از مرکز نادیده گرفت محاسبه شار گرانشی $ \begin{equation}
\oint_{S_r} g_r \cdot dA = -4\pi G \int_0^r \rho(s) ~s^2ds
\end{equation} $ لذا میشه گفت $ \begin{equation}
g_r = -\frac{G}{r^2} \int_0^r \rho(s)~s^2ds
\end{equation}$ جایی که gr میدان جاذبه در فاصله r از مرکز زمین است ، ρ تراکم زمین است ، Sr کره شعاع r متمرکز بر مرکز جرم زمین و Br حجم محصور شده توسط Sr. است با این فرض که ρ فقط به فاصله r از در مرکز زمین ، می توانیم معادله را نوشت $ \begin{equation}
g_r = -\frac{4 \pi G \rho_r r}{3}
\end{equation}$ در اخر یک روش ساده هم میگم با عکس $ g(d) = G M_e \dfrac{R_e - d}{R_e^3} $

[rohamavation]

حالت سقوط ازاد شما اصطکاک هوا را در نظر بگیرید $ v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right) \tag{1}$ و نیروی درگ$b=\frac{1}{2}\rho vC_d A $جایی که g شتاب ناشی از گرانش است ، m جرم جسم است و c ضریب مقاومت هوا است.
چگونه می توان مسافتی را که پس از t ثانیه طی کرد ، بدست آورد؟
در مورد معادله حرکت برای یک جسم در سقوط آزاد با مقاومت هوا .$ a(t) = g - \frac{c}{m}v(t)^2$ و $s(t) = \sqrt[3]{\frac{3m}{c}(gt - v(t))} $ پس $ s(t) = \sqrt[3]{\frac{3m}{c}(gt - v(t))}$
که تابعی است که از نظر مشتق آن تعریف می شود. شما در مورد معادله حرکت برای یک جسم در سقوط آزاد با مقاومت هوا اما وقتی آن را ادغام کنید ، از v2 خارج نمی شوید به s3 / 3. این تنها زمانی کار می کند که چیزی که مربع می شود در واقع متغیر یکپارچه سازی است: $ \int f(t)^2\mathrm{d}t \neq f(t)^3/3$برای حل صحیح معادله ، باید با یافتن سرعت به عنوان تابعی از زمان شروع کنید. می توانید معادله را به صورت زیر بنویسید$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - \frac{c}{m}v^2 $این یک معادله دیفرانسیل قابل تفکیک است ، بنابراین می توانید همه چیز متغیر مستقل t را در یک طرف و همه آنچه را که متغیر وابسته v است در طرف دیگر قرار دهید ،$ \frac{\mathrm{d}v}{g - \frac{c}{m}v^2} = \mathrm{d}t$ لذا $t = \int_{v(0)}^{v(t)}\frac{\mathrm{d}v}{g - \frac{c}{m}v^2} = \sqrt{\frac{m}{cg}}\tanh^{-1}\biggl(\sqrt{\frac{c}{mg}}v\biggr) $با توجه به v=0 من به $ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = v = \sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)$و $ \int_{s(0)}^{s(t)}\mathrm{d}s = \int_0^t\sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)\mathrm{d}t$و $ s(t) = s(0) + \frac{m}{c}\log\cosh\biggl(\sqrt{\frac{cg}{m}}t\biggr)$ توجه کنید $ m\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}\rho C_{D} A v^{2}-mg$که در آن CD ضریب درگ است و A سطح مقطع جسم است.
برای موقعیت عمودی به عنوان تابعی از زمان ، می توانید راه حل را در سقوط آزاد مشاهده کنید.ضمناً ، محاسبه من کاملاً درست نیست. شما s (t) دارید (یعنی تابعی که به زمان بستگی دارد) اما مثل اینکه s (t) t هستید یکپارچه می شوید $ x(u)=\int\frac{u}{a(u)}\,\mathrm{d}u+K_{1}$ که $t(u)=\int\frac{1}{a(u)}\,\mathrm{d}u+K_{2}
$وقتی شتاب فقط تابعی از سرعت داده می شود ، یعنی رابطه بالا
سرعت نهایی سقوط هم $v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_D\rho A}} $ بدست میاد $ v = v_t \sqrt{1-e^{-2gh/v_t^2}}$
که در آن v سرعت مشخصه برای جریان است ، D یک اندازه مشخصه و ν ویسکوزیته حرکتی است.ضریب درگ هم $C_d=\frac{D}{Aq} $ که $q=\frac12\rho v^2 $
پس عدد رینولدز $ \rm{Re}=\frac{\rho v \ell}{\mu}$جایی که ρ چگالی است ، سرعت ، ℓ یک "مقیاس طول معمولی" (قطر در حالت کره) و μ ویسکوزیته دینامیک است