درود بر همه؛
صورت سوال این بود:
آقای سیدیان نوشته شده:یک رویه ی ایزوله ی رسانای ایدئال داریم،[tex]C[/tex] ، با معادله ی زیر:
[tex]f(x,y,z)~=~0[/tex]
بار [tex]q[/tex] رو می دیم بهش.
حالا چند تا سوال:
1. آیا توضیع بار یکتایی خواهیم داشت؟ (این شهودیه ولی اصلاً بدیهی نیست!
)
2. اگر یکتاست، چیست؟
3. بد نیست میدان الکتریکی روی سطح (بلافاصله پس از سطح) رو در بیاریم.
اما پاسخی که من می دهم:
ما بار [tex]q[/tex] را روی رویه ی [tex]C[/tex] نهاده ایم. این بار دست کم یک آرایش [tex]\rho[/tex] می گیرد.
ما
الآن نمی دونیم که این چگالی بار [tex]\rho[/tex] یکتا است یا نه.
به هر حال ما الآن هیچ کاری باهاش نداریم و فرض می کنیم اصلاً نیست!
اما می توانیم یک چیز را بفهمیم.
ما به کمک یک ولتمتر، پتانسیل الکتریکی روی سطح
-که یکسان است
- را بدست می آوریم [tex]V_0[/tex].
همچنین می دانیم که در فاصله های بسیار دور (بی نهایت) پتانسیل صفر است.
پس ما دو شرط مرزی داریم:
[tex]V(\vec{r})|_{C}~=~V_0~~~~~~~~~~V(\vec{r})|_{\infty}~=~0[/tex]
در واقع کل هندسه ی شکل در همین دو شرط مرزی نهفته است.
حالا با کمک این دو شرط مرزی، پتانسیل الکتریکی در کلِ فضایِ میانِ آن رویه و بی نهایت را بدست می آوریم.
توجه داشته باشید که در این بین، هیچ باری نیست.
[tex]\nabla^2V~=~0[/tex]
توجه کنید که این پتانسیل یکتا است. وجودش هم که با اون سری فوریر ها تضمین شده است!
از پتانسیل الکتریکی گرادیان می گیریم، پس با این حساب میدان الکتریکی در کلِ فضایِ میانِ آن رویه و بی نهایت را داریم.
[tex]\vec{E}~=~-\nabla{V}[/tex]
به ویژه، میدان الکتریکی روی سطح را هم که داریم؛ چون در همه جا داشتیم!
میدان الکترکی روی سطح که بدست آمد از طریق قانون گوس، چگالی بار سطحی در دست است.
[tex]{\epsilon_{0}}\vec{E}(\vec{r})~{=}~\rho(\vec{r})}[/tex]
از یکتایی پتانسیل، یکتایی میدان و در نتیجه یکتایی چگالی بار بدست می آد.
البته اون چگالی ای رو که گذاشتم، چگالی حجمی است. اما ما با یک رویه کار داریم،
پس اون چگالی یک تابع دلتای کرونکر هم توی خودش قطعاً باید داشته باشه.
در واقع، اگر [tex]\sigma[/tex] چگالی بار سطحیِ روی رویه باشه، [tex]\rho[/tex] هست:
[tex]\rho~=~\sigma~\delta(f(x,y,z))[/tex]
+ 
آیا از این حرف های بالایی نمی شه گفت که چرا توی نقاط نوک تیز بار بیش تری می ره!؟
و اینک گوش کنید: 
