آیا در صورت تغییر شعاع چرخش تکانه تغییر می کند؟

[rohamavation]

Does momentum change if rotation radius changes?
تکانه زاویه ای به صورت$L = r \times p$ تعریف می شود
جایی که r مرکز چرخش و p تکانه هست از آنجایی که تکانه زاویه ای حفظ میشه اگر r کاهش یابه p باید افزایش یابه. و از اونجایی که p m*v است سرعت باید افزایش بیابه. اما این تکانه را تغییر میده در حالی که تکانه زاویه ای را ثابت نگه میداره. آیا قرار نیستش تکانه زاویه ای و خطی هر دو حفظ بشن مگه اینکه نیروی خارجی براون اثر بزاره؟تکانه زاویه ای حفظ شده دیگه. اگر تا به حال روی صندلی رولی اداری نشستین ممکنهه رویش چرخیده باشین. اگر پاهای خود را بیرون بیارین در واقع سرعت خودتونو را کاهش میدین. اگر آنها را در خود جای بدین سرعت شما افزایش میابه
این فقط نتیجه معادله است
$L = r \times p$از آنجایی که L حفظ شده بنابراین این اشکال حرکت همچنان حفظ میشن. فقط به همین دلیله که یک اسکیت باز وقتی پاها و بازوهای خود را به هم میچرخونه سریع‌تر می‌هچرخه و وقتی پای خود را بیرون می‌اره سرعتش کم میشه

[rohamavation]

درسته که اگه شعاع چرخش تغییر کنه، تکانه زاویه‌ای (آزمومنتوم) تغییر می‌کنه. معادله تکانه زاویه‌ای به این صورته: L = r * p، که r شعاع چرخشه و p تکانه خطیه.
اگه شعاع چرخش (r) تغییر کنه و تکانه زاویه‌ای (L) حفظ بشه (مثل حالت بدون نیروی خارجی)، سرعت خطی (p) باید با تغییر شعاع چرخش تغییر کنه. این تغییر سرعت خطی به خاطر حفظ تکانه زاویه‌ای اتفاق می‌افتهبه عبارت دیگ، اگه شعاع چرخش کم بشه و تکانه زاویه‌ای حفظ بشه، سرعت خطی باید بیشتر بشه تا معادله L = r * p همچنان درست باقی بمونه. این نشون‌دهنده اصل حفظ تکانه‌ست.
تو مواقعی که نیروهای خارجی تاثیر دارن، ممکنه تغییرات در تکانه زاویه‌ای و خطی رخ بده. این اصول به عنوان قانون حفظ تکانه مطرح میشن و نشون‌دهنده تعاملات بین نیروها و جسمه."
حالا با استفاده از لاگرانژ بیشتر توضیح می‌دم. لاگرانژ یه روش ریاضیه که برای حل مسائل حساب دیفرانسیل استفاده میشه و بهتون کمک میکنه تا جنبه‌های مختلف حرکت سیستم‌ها رو بررسی کنید.
حالا فرض کنید یه ذره با شعاع چرخش r داریم که تو فضا حرکت می‌کنه. تابع لاگرانژ (L) برای این مسئله می‌تونه به این شکل باشه:
L=T−Uکه اینجا T انرژی کینتیک (خطی) ذره و U انرژی ذخیره شده در میدان چرخش (پتانسیل) هستن.حالا فرض کنید p و θ به ترتیب تکانه خطی و زاویه چرخش ذره باشن. معمولاً
p=m⋅v که m جرم ذره و v سرعت آنه. زمانی که تکانه زاویه‌ای حفظ می‌شه، تغییر در تابع لاگرانژ با تغییر در r تابعی از p می‌شه.اگه شعاع چرخش به صورت تغییر یافته
r(t) باشه، تابع لاگرانژ به این شکل تغییر می‌کنه:$L=r⋅p−U$حالا با استفاده از اصل عمل لاگرانژ، معادلات حرکت به دست میان:$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
$وq متغیر تغییریافته است (مثلاً r یا θ) و$ ˙q$ نمایانگر نرخ تغییر اونه استفاده از این روش هم میتونه به توضیح و تحلیل دقیق‌تری در مسائل حرکت و تکانه زاویه‌ای و خطی کمک کنه
گه شعاع چرخش تغییر کنه، تکانه زاویه‌ای (آزمومنتوم) هم تغییر میکنه. معادله تکانه زاویه‌ای رو می‌شه اینجوری نوشت: $L = r * p$، که توش L تکانه زاویه‌ای، r شعاع چرخش، و p تکانه خطیه.
اگه شعاع چرخش (r) تغییر کنه و تکانه زاویه‌ای (L) حفظ بشه (مثل حالت بدون نیروی خارجی) سرعت خطی (p) باید با تغییر شعاع چرخش تغییر کنه. این تغییرات در سرعت خطی از روی حفظ تکانه زاویه‌ای اتفاق میفته. به عبارت دیگه، اگه شعاع چرخش کم بشه و تکانه زاویه‌ای حفظ بشه سرعت خطی باید بیشتر بشه تا معادله $L = r * p $همچنان درست بمونه. این نشون‌دهنده اصل حفظ تکانه‌ست.
تو مواقعی که نیروهای خارجی تاثیر دارن، ممکنه تغییرات در تکانه زاویه‌ای و خطی رخ بده. این اصول به عنوان قانون حفظ تکانه مطرح میشن و نشون‌دهنده تعاملات بین نیروها و جسمه.یه مثال تویه مکانیک بزنم که بهتر بشه مطلب رو درک کنیم. فرض کنید یه فردی تو یه صندلی چرخان نشسته و داره دسته‌های صندلی رو میچرخونه و شعاع چرخشش (r) رو تغییر میده. تو این مثال صندلی چرخان بازوها و سرعت چرخش شخص اطراف خودش رو تغییر میده.
حالا از اصل حفظ تکانه (حفظ تکانه زاویه‌ای) استفاده می‌کنیم تا تغییراتی که توی سیستم رخ میده رو توضیح بدم. اگه شعاع چرخش (r) کم بشه (مثلاً صندلی چرخان رو به داخل بکشیم) و تکانه زاویه‌ای (L) حفظ بشه، آخه سرعت خطی (p) باید بیشتر بشه برای مثا اگه اون فردبه داخل صندلی چرخان بکشه (شعاع چرخش کم بشه) و صندلی رو بازوهاش چرخونده (تکانه زاویه‌ای حفظ بشه) سرعت خطی‌اش باید افزایش پیدا کنه. این اتفاق به عنوان نتیجه اصل حفظ تکانه رخ می‌ده. اگه سرعت خطی کم نشه، تعادل تکانه زاویه‌ای حفظ نمی‌مونه.
به طور کلی این مثالم نشون میده چطور تغییرات توی یه متغیر (شعاع چرخش) با توجه به حفظ تکانه زاویه‌ای تغییرات توی متغیر دیگه‌ای (سرعت خطی) رو ایجاد میکنه.