سوالات تفکر بر انگیز و الهام بخش فیزیکی

[rohamavation]

دما نشون‌دهنده انرژی داخلی جسم هستش و تغییر در دما میتونه تأثیرات مختلفی بر خواص مواد و رفتار آنها داشته باشه خوب تو ترمودینامیک دما یکی از متغیرهای اصلیه که به عنوان نشانگری برای حالت حرارتی یک سیستم استفاده میشه. دما نشون‌دهنده میزان گرما یا سردی سیستمه و متناسب با میزان انرژی داخلی ذرات در یک سیستمه .ترمودینامیک به دما به عنوان یک متغیر حالت اطلاق میکنه که در تعیین رفتار و ویژگی‌های حرارتی سیستم‌ها موثره. این تعریف‌ها و مقیاس‌ها به تعیین و ارتباط بین گرما و دما در سیستم‌ها کمک میکنه
"دیگه یه مقدار تلفات توی یک جسم هست، چون ذرات توی اون همخوانی تو حرکت ندارن. اینکه این ذرات حرکت ناهمگن داشته باشن باعث ایجاد انرژی داخلی یا تشتت انرژی میشه. این تشتت از اون جهات میاد که:حرکت ذرات توی جسم به صورت تصادفیه،The randomness of particle motionرَندَمنِس این پارتیکل موشن
یعنی حرکتشون قاطیه و هیچ الگوی خاصی نداره. این حرکت تصادفی باعث برخوردات نامنظم بین ذرات میشه که انرژی رو از نظر مکانیکی پخش میکنه.
اصطکاک و مقاومت مادهFriction and material resistance: داخل جسم، مولکول‌ها و ذرات با یکدیگر تعامل دارن و این تعاملات باعث ایجاد اصطکاک و مقاومت توی ماده میشن، که انرژی رو به شکل گرما تشدید میکنن.
نوسانات و ارتعاشات داخلی:nternal oscillations and vibrations""اینترنال اسیلیشن اند وایبریشن ممکنه توی یک جسم نوسانات و ارتعاشات داخلی وجود داشته باشه که هم انرژی رو تشتت میکنن.
نوسانات و ارتعاشات داخلی به واحد دیگری از انرژی در یک سیستم اشاره دارند. این اصطلاحات به تغییر دوره‌ای یا تغییر مکان ذرات درون یک جسم یا سیستم اطلاق می‌شود. این ارتعاشات می‌توانند به صورت مولکولی در جامدات یا به صورت موجی در سیالات و گازها اتفاق بیافتند.
در ترمودینامیک، نوسانات و ارتعاشات داخلی به عنوان یکی از مؤلفه‌های انرژی داخلی یک سیستم در نظر گرفته میشن. این انرژی در اثر حرکت مولکول‌ها یا ارتعاشات موجی در داخل سیستم ایجاد می‌شود. به عبارت دیگر، این نوسانات و ارتعاشات نشان‌دهنده انرژی جنبشی ذرات درون سیستم و انرژی پتانسیلی ایجاد شده توسط نوسانات می‌باشد.
مثال‌هایی از نوسانات و ارتعاشات داخلی شامل نوسانات مولکول‌ها در یک جامد، ارتعاشات ذرات در یک گاز، یا امواج صوتی در یک مایع می‌شوند. این ارتعاشات و نوسانات به عنوان یک جزء از انرژی داخلی سیستم در مطالعات ترمودینامیک و دینامیک سیالات مورد توجه قرار می‌گیرند.
تحولات فازی: وقتی جسم از یک حالت به حالت دیگه تغییر کنه (مثل از جامد به مایع یا گاز)، این تحولات ممکنه باعث افت انرژی و تشتت اون بشه.
در ترمودینامیک، تحولات فازی به تغییر حالت فیزیکی یک ماده اطلاق می‌شود، به عنوان مثال از حالت جامد به مایع یا از مایع به گاز. این تغییرات حالت تحت تأثیر دما و فشار اتفاق می‌افتند. در ترمودینامیک، این تحولات فازی با تغییرات در دما و فشار در نمودار فاز ماده نمایش داده می‌شوند.
مهمترین نمونه‌های تحولات فازی اینان
ذوب (Melting): تحول از حالت جامد به مایع. مثل ذوبان یخ به آب.
جوشش (Vaporization): تحول از حالت مایع به گاز. مثل جوشش آب به بخار.
یخ‌بندانی (Freezing): تحول از حالت مایع به حالت جامد. مثل یخ‌بندانی آب.
تبخیر (Evaporation): تحول از حالت مایع به گاز، اما در دماهای زیر نقطه جوش. این امر ممکن است در تماس با هوا اتفاق بیافتد.
اگه حرکت و جنبه ذرات تو یک جسم متوقف بشه و همه چیز با هم هماهنگ بشه، به وضعیتی که به حالت استراحت یا تعادل می‌رسه می‌گیم. تو این حالت، انرژی حرکتی ذرات به شکل گرما یا انرژی داخلی دیگه‌ای تبدیل می‌شه و جسم به حالت تعادل حرکت می‌کنه.
همچنین، اگه هر جنبشی تو یک جسم ایجاد بشه، این جنبش می‌تونه یک محرک و علت اولیه برای تغییر تو حالت جسم باشه. به عنوان مثال، اگه نیرویی به جسم وارد بشه یا از داخل جسم به بیرون عمل کنه، ممکنه به تغییراتی تو حالت جنبشی جسم منجر بشه. این تغییرات می‌تونه شامل تغییر سرعت، جهت حرکت یا حتی تغییر شکل یا وضعیت جسم باشه، و جسم به حالت جدیدی منتقل می‌شه.

[Simplexity]

به نظرتون اگر زمین به جای کره،مکعبی بود چه میشد؟

[rohamavation]

اگه زمین به جای کره یعنی شکلش از یه گرد به یه مکعبی تغییر میکرد، حالا خودتون ببینید چقدر چیزا تغییر میکردن! البته بگم ما هنوزم توی دنیای گرد هستیم و این فقط یه فرضیه ست، ولی حالا بیاین ببینیم چه چیزایی ممکنه تو زندگی ما تغییر کنه.
جاذبه:
شکل مکعب ممکنه جاذبه‌ی زمینو تغییر بده. مثلاً اگه زمین مکعبی باشه، ممکنه گرانش توش به شکل عجیبی توزیع بشه. این تغییر میتونه باعث بشه اجسام تو فضا به شکل‌های مختلفی حرکت کنن.
هوا و هواشناسی:
شکل مکعب ممکنه الگوهای هوایی رو هم تغییر بده. بادها و بارانا ممکنه به شکلی دیگه حرکت کنن. البته این تغییرات کمتر مهمن نسبت به چیزای دیگه.
حیات وحش و گیاهان:
حیوانات و گیاها هم ممکنه تحت تأثیر قرار بگیرن. ممکنه الگوهای رفتاریشون تغییر کنه یا در مهاجرت‌هاشون تأثیرات داشته باشه.
زندگی انسان:
برای ما هم ممکنه تأثیرات جالبی داشته باشه. شاید الگوهای فضایی یا اجتماعی ما عوض بشه. البته برای زندگی روزمره احتمالاً این تغییرات حس نمیشه، ولی ممکنه تأثیرات ذهنی و فرهنگی داشته باشه.
خلاصه که اگه زمین مکعب بشه، دنیا خیلی جالب‌تر میشه ولی شاید همه چیز تازه از اول شروع بشه!
البته که ممکنه! خیلی باحال بوده فکر کردن به این موضوع. حالا فرض کن که دنیا یک مکعب بزرگ باشه. این یعنی که گوشه‌هاش مستطیل‌ها و همه‌ی زوایایش عدد صحیحه! شاید شکل خودش تاثیرات جالبی بر رفتار جاذبه داشته باشه. یعنی جاذبه تو هر سوی مکعب ممکنه کمی فرق کنه.
حالا به فکر باران بنداز! شاید باران هم به شکل‌های متفاوتی بیوفته. ببین چه معمای جدیدی به پدیده‌های طبیعی می‌بخشه. البته اینا فقط فرضیات هستن و واقعیت ندارن، ولی خوبه که باعث فکر و تخیلات ما میشن.
حتی فکر کن اگر ماشین‌ها و خیابون‌ها همه مکعبی باشن، چطوری میرقصیم! شاید همه چیز به یه شکل کمی عجیب‌تر بشه ولی جذاب!
به نظرت چه چیزهای دیگه‌ای ممکنه عوض بشه؟ گفتن و فکر کردن راحت‌تر باشه، یا شاید کمی پیچیده‌تر؟
. این یک نکته‌ی مهم فیزیکی است که در واقعیت به وجود می‌آید. زمین به شکل کره‌ای است چرا که جرم خود را بهینه توزیع کرده و اثر گرانشی زمین باعث می‌شود که زمین به شکل کروی تقریبی درآید.
اگر زمین به شکل مکعبی بود، تمایل داشت که جرم به نقاط گوشه‌ای بیشتر جذب شود، که منجر به تفاوت‌های قابل ملاحظه در جاذبه و وزن اجسام در نقاط مختلف زمین می‌شد. این امر می‌توانست تأثیرات جذبه‌ای غیریافته و ناخوشایند را ایجاد کند.
همچنین، اگر یک سیاره یا ستاره به شکل مکعبی باشد، تمایل دارد که به علت چرخش خود، به شکلی کروی تقریبی درآید به عنوان نتیجه‌ای از نیروی گرانشی و فیزیک سیاراتی.علاوه بر این، فقدان سطح منحنی احتمالاً نحوه چرخش سیاره و نحوه توزیع گرانش را تغییر میده به سختی می توان گفت دقیقا چه اتفاقی می افتد زیرا شکل طبیعی یک سیاره نیست و امکان ندارد یک سیاره مربع شکل باشه
شکل کروهای سیارات و ستارگان به عنوان حالت پایدارتر و بهینه‌تر در مقابل نیروهای خارجی مثل نیروی گرانشی عمل میکن. این به دلیل توزیع یکنواخت جرم در سطح کره هستش
قانون جهانی گرانش ببین${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$اگر بخواهیم این فرمول را در حالت مکعبی بنویسیم، می‌توانیم شکل مکعب را با سه طول ضلع
a در نظر بگیریم. در این صورت، شعاع r می‌تواند حدوداً نصف اندازه‌ی طول ضلع مکعب (a ) باشد. بنابراین، فرمول به شکل زیر تغییر می‌کند:
$g ≈ (G * ρ * a^3) / (a/2)^2$
از طرفی، برای یک مکعب، جرم جسم برابر با چگالی جسم (ρ) ضربدر حجم جسم (V) است.
اگر یک جسم مکعبی به جای کره‌ای در مداری قرار بگیرد، دینامیک و حرکت آن به شکل جالبی تغییر می‌کند. راحت من فرض میکنم که مکعب در یک مدار میانه (مدار دائمی) قرار داره.
تغییر شکل در گرانش:
در یک مدار، جسم مکعب نسبت به نقاط مختلف مدار تحت تأثیرات گرانش مختلف قرار میگیره. مثلا زمین یک نیروی گرانشی به مرکز مدار اعمال می‌هکنه و این نیرو ممکنه باعث تغییر شکل مکعب (تغییر شکل خطی) بشه
چرخش در مدار:
به دلیل نیروهای گرانشی ناشی از شکل مکعب ممکنه جسم شروع به چرخش در مدار خودشبکنه. این چرخش میتونه به دلیل عدم تقارن در توزیع جرم و نیروهای گرانشی باشه
تغییر در حرکت مداری:
حتی اگر مکعب به صورت ابتدایی در یک مدار دائمی قرار داشته باشه تغییرات در شکل و توزیع جرم مکعب ممکنه باعث تغییر در حرکت مداریی بشه. این تغییرات میتونه به شکل افت و خروج از مدار یا تغییر در پارامترهای مداری منجر بشه
در کلش بهت بگم حرکت یک جسم مکعب در مدار با پیچیدگی‌های بیشتری مواجه خواهد شد نسبت به یک جسم کروی به دلیل تغییرات در شکل و توزیع جرمش. برای تحلیل دقیق‌تر حرکت مکعب در مدار نیاز به مدلسازی دقیق‌تر و حل معادلات حرکت جسم در مدارداریم
چرخش مکعب:
اگر مکعب چرخشی داشته باشد، معادلات چرخش به شکل زیر خواهد بود:$τ = I ⋅ α$خوب$τ$ میزان گشتاور چرخشیه هستش I میزان اینرسی مکعب نسبت به محور چرخشه
$α$ شتاب زاویه‌ایه هستش.
این معادلات به همراه معادلات مداری می‌تونن برای تحلیل دقیق‌تر حرکت مکعب در مدار استفاده بشن.

[rohamavation]

به نظر میاد که اگه یه جسم رو به شکل مکعب بیخواهیم داستان جالبی پشتش هست. حالا ببین اگه این جسم مکعبی رو به عنوان یک سیاره یا هر چیز دیگه فرض کنیم ممکنه میدونیم که شکل غیرمتقارن و توزیع جرم ناهمگن می‌تونه باعث بشه توزیع ناهمگنی در میدان گرانشی جسم بشه.
میدان گرانشی یعنی اون جذبه یا نیروی گرانشی که یه جسم به دلیل جرمش به خودش میاره ممکنه در مکعب به شکل ناهمگن عمل کنه. این یعنی تو یه نقطه مثل گوشه‌های مکعب جرم بیشتری قرار داره و بنابراین نیروی گرانشی قوی‌تری احساس میشه. این تفاوت‌ها ممکنه باعث ناپایداری توزیع جرم و در نتیجه ناپایداری در میدان گرانشی بشه.
تصور کنید که یه شیء کوچیک تو مکعب قرار گرفته. با توجه به تفاوت‌های جرم در نقاط مختلف مکعب این شیء ممکنه بیشتر به سمت یه نقطه خاص کشیده بشه. این اختلافات ممکنه به ناپایداری در حرکت اشیاء و نقاط مختلف مکعب منجر بشه.
البته اینم بگم میشه که تو زمین و سیارات واقعی این ناپایداری‌ها به خاطر شکل کره‌ای بودن و توزیع جرم یکنواخت جلوگیری میشه. ولی تو یه دنیای مکعبی این ناپایداری‌ها می‌تونند اثرات خاص خودشون رو داشته باشن.خوب اگه برای یک مدار مربع چه نیروهایی لازمه. طبق فرمول نیوتن تا زمانی که هیچ نیرویی وجود نداشته باشه در یک خط مستقیم حرکت میکنه ... بنابراین نباید گرانش در امتداد طرفین وجود داشته باشه. یهو به طور ناگهانی ماه 90 درجه میچرخه که نشون میده نیروی زیادی بهش شتاب میده. بنابراین باید نیروی عظیمی در نزدیکی گوشه ها وجود داشته باشه نه در امتداد طرفینش.
خوب نیروی گرانش یک نیروی مرکزیه هر ذره با جرم یک$ GMm/r^2 $اعمال میکنه
نیرویی که به سمتش هدایت میشه و خوب نمی‌تونیم با قرار دادن اجرام در مقابلش ازش محافظت کنیم همه سهم‌های ذرات جرمی مختلف با هم جمع میشن. بنابراین نمیتونه فقط گرانش مسیر را در گوشه 90 درجه خم کنه زیرا گرانش از اونجا هم بر مسیر در امتداد لبه تأثیر میزاره
یک چیز کلی دیگه هم بگم بچه های هوپایی که شکل پیچیده یک سیاره میدان گرانشی ایجاد میکنه که میتونه با استفاده از هارمونیک های کروی بیان بشه. .
اولین چیزی که باید بهش نگاه کنیم سرعته. اگه سرعت داشته باشیم نشون‌دهنده‌ی یه مدار صافه. یعنی ماه شما باید قبل از اینکه شتاب بگیره به جهت عمودی سرعتشو کاهش بده تا کاملاً توی یه گوشه‌ی متوقف بشه.
دومین چیزی که باید بهش توجه کنیم شتابه. وقتی ماه به سمت گوشه‌ای مثلاً بالا سمت راست نزدیک میشه شتاب باید از سمت پایین بیاد تا سرعت رو به صورت عمودی قبل از گوشه رو به صفر برسونه. بعد از گوشه هم شتاب باید افقی باشه تا ماه رو به صورت کاملاً افقی حرکت بده.
ضمناً شتاب نمی‌تونه توی گوشه صفر باشه: قانون نیوتن درجه دومه یعنی اگه یه جسم سرعت و شتاب صفر داشته باشه کاری نمی‌کنه. بنابراین شتاب ماه توی گوشه از عمودی غیر صفر به افقی غیر صفر ناپیوسته‌ست.
یک جسم کروی متقارن بر اجسام خارجی به صورت گرانشی تأثیر میزاره انگار تمام جرمش در نقطه ای در مرکزش متمرکز شده
سوالم که آیا می توان این قضیه را به هر شکل دلخواه (چه جامد یا توخالی) با توجه به مرکز جرم آنها تعمیم داد؟
ایا این حرف درسته
هر جسمی (متقارن/غیر متقارن/توخالی/جامد) بر اجسام خارجی به صورت گرانشی اثر میزاره گویی تمام جرمش در مرکز جرمش متمرکز شده
با توجه به جرم نقطه $m_1, \ldots, m_N$
در موقعیت های ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$ که ایا فیلد گرانشی g در نقطه ای (که ما میتونیم فرض کنیم منشااونه
${\bf g}~=~G\sum_{i=1}^N\frac{m_i{\bf r}_i}{|{\bf r}_i|^3}~\stackrel{?}{=}~G \frac{M{\bf R}}{|{\bf R}|^3},$
جایی که$M~:=~\sum_{i=1}^Nm_i,\qquad {\bf R}~:=~\frac{1}{M}\sum_{i=1}^Nm_i{\bf r}_i.$
این اصولاً یه قضیه‌ست به اسم مرکز گرانش" یا "مرکز جرم". حالا یهو فهمیدند که یه شیء مانند (یعنی کره) در ارتباط گرانشی با چیزای دیگه قرار گرفته می‌تونه فرض بشه تمام جرمش خودشو تو یه نقطه‌ای به اسم "مرکز جرم" یا "مرکز گرانش" جمع کرده.
این قضیه عمدتاً برای اشیاء نازک یا متقارن استفاده میشه. ولی برای اشیاء غیرمتقارن این قضیه به طور کامل رعایت نمیشه. مثلاً اگه یه چیز جامد به شکل غیرمتقارن باشه ممکنه مرکز جرمش توی مرکز هندسی چیز نباشه.
میشه این اصل رو به هر شکلی که دوست دارم از اشیاء متقارن گرفته تا اشیاء غیرمتقارن، تعمیم بدم. البته این تعمیم در موارد خاص ممکنه پیچیده‌تر باشه ولی اصلی که جرم یه چیز ممکنه توی یه نقطه‌ای متمرکز شده باشه توی مرکز جرمش به طور کلی برقراره.
برای محاسبه پتانسیل گرانشی یک مکعب ابتدا نیاز به تعیین توزیع جرم در داخل مکعب دارم. برای سادگی فرض میکنم توزیع جرم درون مکعب یکنواخت باشهیعنی خوب که جرم به یکنواختی در سراسر حجم مکعب توزیع شده باشه دیگه
حالا بر اساس اصل فیزیک پتانسیل گرانشی در یک نقطه برابر با کار جلب نشدۀ یک ذره آزمایشی با جرم متناهی در اون نقطه هست. فرمول کلی برای پتانسیل گرانشی (U) در یک نقطه نسبت به یک جسم با جرم (m) در فاصله (r) ازش نقطه به صورت زیر است:$-G * m / r$
حالا برای مکعب می‌توانیم این مجموع را از تمام نقاط داخل مکعب بگیرم. اگر توزیع جرم یکنواخت باشه میتونم از انتگرال‌گیری استفاده کنم. بنابراین پتانسیل گرانشی در یک نقطه به ازای مکعب با کمک انتگرال محاسبه میشه
$U = -G∫ ρ(r')/ |r-r'| dV'$′ حجم مکعب dv
.حالا برای مکعب میتونم این مجموع را از تمام نقاط داخل مکعب بگیرم. اگر توزیع جرم یکنواخت باشه می‌توانیم از انتگرال‌گیری استفاده کنم. میشه پتانسیل گرانشی برای یک مکعب
من در ابتدا روش ادغام عددی brute-force را امتحان کردم به طور خلاصه بهت بگم موضوع بهینه‌سازی ادغام عددی برای یک عبارت خاص با کمک روش‌های مختلف مانند ادغام ذوزنقه‌ای، ادغام چند جمله‌ای یا اسپلاین و الگوریتم تبدیل فوریه گسسته (DFT) پرداخته میشه.ببین روش ادغام عددی brute-force در محاسبهٔ انتگرال به این شکله که با تقسیم بازهٔ مورد نظر به زیربازه‌های کوچیکتر سپس محاسبهٔ ارتفاع تابع در نقاط مرزی هر زیربازه و ضرب آن با عرض زیربازه مقدار انتگرال را تقریباً محاسبه میشه
اما به ویژه برای نقاط نزدیک به سطح مکعب که مورد نظرمونه انتگرال خیلی خوب رفتار نمی هکنه. اینجا الگوریتم جالبی را برای محاسبه میدان گرانشی دقیق برای چندوجهی دلخواه توصیف میکنه. میشه با کمک کمی از Mathematica آن را با دست درست کنیم.
ما میتونیم با در نظر گرفتن یک مکعب با طول ضلع (2aو 2b و2c) کمی تعمیم بدیم. شتاب ناشی از گرانش گرادیان تابع پتانسیل U است که در یک نقطه (x_0,y_0,z_0) توسط
$U(x_0,y_0,z_0) = G\rho\int_{-a-x_0}^{a-x_0}\int_{-b-y_0}^{b-y_0}\int_{-c-z_0}^{ c-z_0}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx\,dy\,dz$
که در آن G ثابت گرانشی و$ \rho$ چگالی مکعبه. به تغییر متغیرها توجه کنین تا مبدا را به $(x_0,y_0,z_0) $تغییر بدیم که این اثر راحت داره که انتگرال شامل هیچ یک از محدودیت‌های ادغام نمیشن بنابراین پس از هر یک از سه ادغام میتونیم هر جمله جمع‌بندی را که شامل هر سه متغیر xو y و z نمیشه حذف کنیم زیرا این عبارت در نتیجه نهایی صفر ارزیابی میشه
Mathematica بیشتر کارهای سنگین را با کمی ساده سازی انجام می دهد و عبارت زیر را برای تابع بالقوه به دست می دهد:
$U(x_0y_0z_0) = G\rho(w(x,y,z)+w(y,z,x)+w(z,x,y))]_{x=-a-x_0} ^{a-x_0}]_{y=-b-y_0}^{b-y_0}]_{z=-c-z_0}^{c-z_0}$
$w(x,y,z) = x y \ln(z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}) - \frac{1}{2}x^2 \arctan{\frac{y z}{x\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}$