معادله دیفرانسیل چیست؟چگونه میشه حلش کرد

[amirparsaTangent]

سلام من دانش آموز پایه دهم هستم رشته ریاضی فیزیک درمورد انتگرال و مشتق یه چیزایی میدونم میشه تو این سطح سوادم معادله دیفرانسیل رو توضیح بدید از هرجایی مطلب نگاه کردم چیزی نفهمیدم

[u46300]

سلام. معادله‌ای که برحسب مشتق توابع نوشته می‌شود، معادله دیفرانسیل است. مثلاً «مشتق تابعی برابر با عدد ۲ است.» این جمله به زبان ریاضی تبدیل به این معادله می‌شود:
$f'(x)=2$. این تساوی، یه معادله دیفرانسیل هست.

[Erfan ALN]

سلام در معادلات معمولی هدف پیدا کردن یک مقدار مجهول مثل x هست که در یک معادله ی خاص صدق میکند. ولی در معادلات دیفرانسیل هدف پیدا کردن یک تابع مجهول است مثل y=f(x) که در یک معادله ی خاص صدق میکند در این معدله مجازیم از y و مشتقاتش استفاده کنیم.
معادلات دیفرانسیل در حالت کلی حل نشده اند ولی برخی معادلات معروف رو تونستن حل کنند
مطالعه و حل معادلات دیفرانسیل یکی از شاخه های اصلی رشته ی ریاضیات است

[rohamavation]

ببین معادله دیفرانسیل معادلیه که شامل یک تابع مجهول مثل y=f(x) و یک یا چند مشتق ازش . راه حلش یا بگم معادلیه که شامل یک یا چند عبارت و مشتقات یک متغیر (یعنی متغیر وابسته) نسبت به متغیر دیگر (یعنی متغیر مستقل) باشه مثل dy/dx = f(x) که"x" یک متغیر مستقل و "y" یک متغیر وابسته هست.. کلا هر رابطه‌ای که بین تابع و متغیر مستقل و مشتقات تابع نسبت به متغیر مستقل باشه را یک معادله دیفرانسیل هستش. خوب مرتبه‌ی مشتقی که بالاترین مرتبه در معادله داره نوعش هم جزئی و یا عددی باشه
درجه: بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله داره اخه چطور بگم تا حد نفهمی تا مشتق نفهمی انتگرال نفهمی چطور میخوای یاد بگیری بگم بری آشنایی با معادلات دیفرانسیل معمولی بخونی یا بگممعادلات دیفرانسیل برای مهندسی David V. Kalbaugh منم یه مقدمه میارم
ابتدا ببین معادله دیفرانسیل چیه معادله دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی محضه که بیانگر یک تابع مجهول(محصول محض) از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق هایی با مرتبه‌های مختلف(ضریب دیفرانسیلی متغیر) نسبت به متغیرهای مستقله.خوب ما دو نوع داریم معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقله.
معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقله
معادله شامل متغیر مستقل x، تابع (y=f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی میگیم. معادله‌ای پدید آمده از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی میگیم
مرتبه: عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله داره
درجه: بعد از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله داره درجه معادلیه
معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n پاسخی شامل n ثابت دلخواه داره. این پاسخ را پاسخ عمومی میگیم
ساختار معادلات دیفرانسیل متفاوته و هر ساختار ویژگی‌های متفاوتی داره
معادلات مرتبه اول از درجه اول با متغیرهای جدایی‌پذیر
همگن؛
خطی برنولی با دیفرانسیل‌های کامل؛
معادلات مرتبه دوم؛
معادلات خطی با ضرایب ثابت
همگن
ناهمگن
روش‌های تقریب‌زدن
سری‌های توانی
روش‌های عددی
معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.
$Mdx + Ndy = 0$
در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست میاد. یعنی:$M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫$
معادله دیفرانسیل معمولی یک معادله دیفرانسیله که فقط به یک متغیر مستقل بستگی داره. معادله دیفرانسیل جزئی معادله دیفرانسیله که در آن متغیر وابسته به دو یا چند متغیر مستقل وابستیه یا اینطور بگم یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) تنها با یک متغیر تفاوت دارد ، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) با توجه به چندین متغیر مستقل دارای دیفرانسیل است.تفاوت بین حل یک ODE و یک مشکل انتگرال چیست؟
انتگرال عمومی ترین راه حل را ارائه میده یعنی خانواده منحنی که معادله دیفرانسیل معینی را برآورده میکنه. با این حال راه حل معادله دیفرانسیل ممکنه متفاوت از شرایط مرزی باشه تا یک راه حل منحصر به فرد پیدا شودنکته در معادلات PDE، مشتقات را با علامت ∂ و در ODE، با d نشان میدن
.خوب روشهای متفاوتی هست روشهای حل معادلات دیفرانسیل یا روش اویلر.روش یکپارچه ساز نمایی مرتبه اول. و..
تفاوت اساسی بین معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی چیه هر دو معادلات دیفرانسیل هستند (معادلاتی که مشتقات را شامل می شوند). ODE ها مشتقات را فقط در یک متغیر شامل می شوند ، در حالی که PDE ها مشتقات را در چند متغیر شامل میشوند. بنابراین همه ODE ها را می توان به عنوان PDE در نظر گرفت.
به طور کلی درک راه حل های PDE نسبت به ODE ها دشوارتر است. اساساً هر قضیه بزرگ در مورد ODE ها در مورد PDE ها صدق نمی کند. این بیش از دلیل اصلی وجود متغیرهای بیشتر است. برای یک ODE ، ما اغلب می توانیم متغیر مستقل را به عنوان یک متغیر زمان در نظر بگیریم ، به طوری که ODE ها حرکت یا جریان یک جسم را در زمان کنترل می کنند. ایده ODE های حاکم بر "حرکت" به ما امکان میده از نتایج ریاضی زیادی استفاده کنیم که مشابه آن در فیزیک است (به عنوان مثال رفتار تجربی در مورد قانون نیوتن) و به ما این امکان را میدهد که راه حل ها را بهتر درک کنیم.
من اینجا مثال ساده میگم $\frac{dy}{dx}+2y=7,\quad y(0)=0 .$خوب اینطور مینویسم $dy+2ydx=7dx$تفکیک متغیرها میده
$\int\frac{dy}{7-2y} =\int dx +C.$
برای دیدن آن فقط اینو را به صورت زیر بنویسید$\frac{dy}{dx} = 7-2y.$
اضافه:$-2 y = e^{-2x+C}-7 \implies y=\frac{7}{2}-e^{C}e^{-2x} \implies y(x)=\frac{7}{2}-A e^{-2x}.$
برای یافتن ثابت A از شرط اولیه استفاده کن
کمی سختره حل معادله دیفرانسیل با دو متغیرنحوه حل معادله دیفرانسیل
$\dfrac{ax}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial x}} + \dfrac{by}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial y}}=-1$
جایی که ، $ax∂f (x، y) ∂x+by∂f (x، y) ∂y = −1 $
این یک PDE غیر خطی است: شرط داده شده برای تعیین یک راه حل منحصر به فرد کافی نیست.
به عنوان مثال روش جداسازی متغیرها منجر به موارد زیر میشه
$f(x,y)=\frac{a(x^2-x_0^2)}{2\lambda}-\frac{b(y^2-y_0^2)}{2(\lambda+1)}+c$
که خانواده ای از راه حل های PDE است که با شرایط داده شده مطابقت داره
این برای هر λ ثابت است ، به جز 0 و −1. بنابراین ، آنها بی نهایت راه حل هستند.
توجه: راه حل $\frac a2(x^2-x_0^2)-\frac b{\color{red}{4}}(y^2-y_0^2)+c$که توسط من ذکر شده است فقط یک راه حل خاصی در مورد λ = 1 است.بذارین من توضیح بیشتر بدم با استفاده از تعریف تمایز ضمنی برای f (x، y) می توان نوشت
$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$
و از معادله من:$\frac{a x}{f_x}=-\frac{b y+f_y}{f_y}$
از این رو:
$\begin{align}
\frac{dy}{dx}=\frac{a x}{b y+f_y}&\implies\int a x\,dx=\int(b y+f_y)dy\\
&\implies\dfrac 12 ax^2+C=\dfrac 12 by^2+f(x,y)\\
&\implies f(x,y)=\dfrac 12 ax^2-\dfrac 12 by^2+C
\end{align}$
شرایط مرزی$f(x_0,y_0)=c$ است که به معنی $\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)+C=c\implies C=c-\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)$
و در نهایت$f(x,y)=\dfrac 12 a(x^2-x_0^2)-\dfrac 12 b(y^2-y_0^2)+c$
اما به نظر میرسد پاسخ باید $\frac a2(x^2-x_0^2)-\frac b{\color{red}{4}}(y^2-y_0^2)+c$ باشد. نمیدونم چرا با چنین چیزی به پایان رسیدم.واقعا من گیج شدم/
خوب یکی دیگه $(2xy^2 + \cos x) \text{d}x + (2x^2 y + \sin y)\text{d}y = 0$خوب ابتدا این از شکل $M(x,y)\text{d}x+N(x,y) \text{d}y$یعنی $M(x,y)=2xy^2+\cos (x),~N(x,y)=2x^2y+\sin (y)$خوب من میگم معادله دقیق و درسته چون و معادله دقیقه اگر و فقط اگر $\displaystyle\frac {\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$
حالا بیایید بررسی کنیم که آیا معادله دیفرانسیل واقعاً دقیق است یا خیر.$\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xy^{2}+\cos x\right)=4xy=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^{2}y+\sin y\right)=\frac{dN}{\partial x}$بنابراین معادله درسته
راه حل کلی به صورت$f\left(x,y\right)=C$ است و توسط آن داده شده
$f\left(x,y\right)=\int M(x,y)\text{d}x =\int(2xy^{2}+\cos x)\text{d}x=x^{2}y^{2}+\sin(x)+ g(y).$
برای یافتن و تشکیل دیفرانسیل g (y) f (x، y) را تا حدی نسبت به $'y'$ متمایز کرده و با N (x، y) مقایسه کن
یعنی:$f_{y}\left(x,y\right)=\dfrac{\partial}{dy}\left(x^{2}y^{2}+\sin x+g(y)\right)=2x^{2}y+g'\left(y\right).$ در مقایسه با $N\left(x,y\right)$خوب من ابتدا $g'\left(y\right)=\sin y,$را پیدا میکنم که به این معنیه که $g\left(y\right)=-\cos y+K$
بنابراین ، راه حل کلی$x^2y^2+\sin x-\cos y=C.\quad\quad\Box$ است.
اگر $M(x,y)\text{d}x+N(x,y)\text{d}y=0$دقیق نباشد چه اتفاقی میافته؟ سپس یک تابع u (x، y) وجود داره که$[u(x,y)M(x,y)]\text{d}x+[u(x,y)N(x,y)]\text{d}y=0$
دقیق است تابع u را عامل یکپارچه هست. علاوه بر این اگر$\frac{M_y-N_x}{N}$
فقط تابع x است ، مثلاً v (x) ، سپس $u(x,y)=u(x)=e^{\int v(x)\text{d}x}$
از طرف دیگر اگر$\frac{M_y-N_x}{-M}$
فقط تابع y است ، مثلاً w (y) ، سپس$u(x,y)=u(y)=e^{\int w(y)\text{d}y}$
به عنوان مثالم $(3xy-y^2)\text{d}x+(x^2-xy)\text{d}y=0$را در نظر بگیر. واضحه که این دقیق نیست. اما $\dfrac{M_y-N_x}{N}=\dfrac{1}{x}=v(x)$ ، فقط یک تابع x است. بنابراین عامل یکپارچه سازی ما میشه$u(x)=e^{\int \frac{1}{x}\text{d}x}=e^{\ln |x|}=|x|.$
الان درسته$(3x^2y-xy^2)\text{d}x+(x^3-x^2y)\text{d}y=0$