سلام دوستان.
اگر معادله مکان-زمان به صورت x=e^t باشد، آنگاه معادله سرعت-زمان و شتاب-زمان آن نیز به همین ترتیب خواهند بود و این یعنی مثلا از زمان 2 تا 7 ثانیه، میزان سرعت و شتاب برابر خواهد بود (فقط با واحد های مختلف). می خواستم بپرسم آیا این درست است؟ اگر انسان بتواند چنین حالتی را تجربه کند، چه نظری درباره اش خواهد داشت؟ آیا در واقعیت امکانش هست؟
پ.ن: اگر در فاصله زمان های ذکر شده از طریق نمودار مکان-زمان بخواهیم سرعت را به دست آوریم به عدد تقریبی 217 می رسیم. اما اگر از طریق مساحت زیر نمودار شتاب-زمان برویم به عدد تقریبی 1089 می رسیم (که از قضا برابر با جا به جایی در مدت زمان ذکر شده نیز هست!)
این تناقض را چطور می توان توضیح داد؟
سرعت و شتاب مشابه
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3289-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: سرعت و شتاب مشابه
چگونه منحنی شتاب نمایی را تعیین کنیم؟
بنابراین، برای کارم، باید چیزی را بفهمم.
من یک شی دارم که در طول $t_o$ در مسافت $d_o$ سفر می کند.
سرعت اولیه $v_1$ و سرعت نهایی $v_2$ دارد.
من باید یک منحنی نمایی پیدا کنم که با شرایط مطابقت داشته باشد، و در معادله خود گم شده‌ام، نمی‌دانم از کجا شروع کنم.
سعی می کنم از معادله شتاب شروع کنم. من نمی خواهم آن را تصاعدی باشد، بنابراین
$ a = e^{kt} $
سپس منحنی سرعت ادغام شتاب است
$ v = \frac{e^{kt}}{k}$
من می توانم شرط را برای یافتن k جایگزین کنم،
$v_1 = \frac{e^{k\cdot0}}{k} \implies k = \frac{1}{v_1}$
$v_2 = \frac{e^{k\cdot t_0}}k \implies v_2 = v_1\cdot e^{{t_0}\cdot{v_1^{-1}}}$
که هیچ معنایی ندارد. بزار ببینم رهام کجا اشتباه کرده
ایده نهایی من این است که چیزی شبیه این داشته باشم
t=f(d)بنابراین من می توانم زمان را با فاصله پیدا کنم و برعکس.
داده شده: ؤt، d، v1، v2. و شما تقاضا می کنید که شتاب نمایی باشد. اجازه دهید
$a(t)=a_0 e^{\omega t}$
سپس اگر بگوییم $v_1=0$
پس از ادغام داریم
$v(t)=\frac{a_0}{\omega}(e^{\omega t}-1)$حال اگر بگوییم مختصات اولیه صفر است ($x_1=0$)،
سپس$x(t)=\frac{a_0}{\omega^2}(e^{\omega t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega}$
حالا شما می گویید که درx(t_2)=d ، $x(t_2)=d$
و در$v(t_2)=v_2$، بنابراین
$\frac{\omega^2 d}{a_0}+\omega t_2=e^{\omega t_2}-1$
و$\frac{\omega v_2}{a_0}=e^{\omega t_2}-1\implies \frac{\omega^2 d}{a_0}+(t_{2}-\frac{v_2}{a_0})\omega=0$
سپس$\omega=0,\quad \frac{v_2 -a_0 t_2}{d} \equiv \omega_0$
سپس
$x(t)=\frac{a_0}{\omega_{0}^2}(e^{\omega_0 t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega_0}$
این به شما فاصله زمانی را می دهد. برای زمان، تنظیم کنید
$\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1+\omega_0 t=e^{\omega_0 t}=B+At=e^{At}$
با راه حل
$t(x)=\frac{-\mathcal{W}\left(-e^{-B}\right)-B}{A}=\frac{-\mathcal{W}\left(-\exp\left[-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)\right]\right)-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)}{\omega_0}$
با $\mathcal{W}$
تابع ثبت جواب امیدوارم این یکی مفید باشه
اجازه دهید نقاط شروع و توقف را $x_1$ و $x_2$، زمان‌های $t_1,t_2$ و سرعت‌ها را $v_1، v_2$ بنامیم. اجازه دهید برای استفاده آسان تر، $t_1 = 0$ را تنظیم کنیم.
با فرض شتاب نمایی $a(t)= A\exp (kt)$, $[k]=\tfrac{1}{s},[A]=\tfrac{m}{s^2} $. اجازه دهید به طور رسمی $A=1\tfrac{m}{s^2}$
سرعت تبدیل می شود (به مقدار ثابت توجه کنید) $$ v(t) = C + \frac{A}{k}\exp(kt)\\ v(0) = v_1 = C + \frac{A}{k} \\ \Rightarrow C = v_1-\frac{A}{k} $$ بنابراین شرط دوم شما این است: $$ v(t_2) = v_2+k(t_2) = v_2/v(v_2) _2-v_1 +\frac{A}{k} = A\exp( -\ln(k) k t_2)\\ -\frac{ln(v_2-v_1+\tfrac{A}{k})-\ln{A}}{t_2} = const = \ln(k) k $$
از اینجا باید آن را به صورت عددی حل کرد.
سپس فاصله برابر است: $$ x(t) = x_1 + (v_1-\tfrac{A}{k}) t + \frac{A}{\hat{k}^2}\exp(\hat{k}t)\\ $$
مشکل این است که شتاب نمایی به معنای میرایی است، و این به یک پارامتر نیاز دارد، اما دو محدودیت وجود دارد (سرعت نهایی و فاصله).
ساده ترین شکل $a(t) = C_1 v(t)$ خواهد بود.
که توسط$v(t) = v_1 \left(\frac{v_2}{v_1} \right)^\frac{t}{t0}$
با $v(0)=v_1$ و $v(t0)=v_2$
. مسافت طی شده است
$x(t) = \int_0^t \frac{1}{v(t)}\,{\rm d} t = \frac{t0 \left(1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{-\frac{t}{t0}}\right)}{v_1 \ln\left( \frac{v_2}{v_1} \right)}$اما پس از آن نمی توانید مسافت طی شده را مشخص کنید زیرا با $d_0 = x(t0) = \frac{t0 (v_2-v_1)}{\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}$ محاسبه می شود.
حل زمان مورد نیاز برای پیمودن یک مسافت معین، با توجه به ویژگی های شبیه سازی شده (نه فیزیک واقعی) شتاب جسم
من باید مدت زمانی را محاسبه کنم که حرکت جسم از حالت سکون، مدام شتاب می گیرد تا زمانی که به x برسد.
در این بازی سرعت اجسام در هنگام شتاب گیری در خط مستقیم با معادله تعریف می شود:
$v(t)= s(1-e^{-\frac{t}{a}})$
جایی که a و s
برای مدت زمان شتاب، شی خاص و بدون تغییر هستند.
تابع به گونه ای ساخته شده است که v(t)
نزدیک خواهد شد
(حداکثر سرعت جسم)، اما هرگز به آن نمی رسد.
کاری را که برای حل کردن انجام دادم، رویکرد brute force جستجوی تولید و تِست : generate and test شناخته شده، روشی بدیهی در عین حال بسیار کلی برای حل مسئله می‌باشد. می نامم: v(t) را محاسبه کردم. برای هر ثانیه شبیه سازی و آن را تا رسیدن به x جمع کرد
(دقیقاً نه، زیرا شما بیش از حد خواهید داشت، اما سیستم من با دقت حدود یک ثانیه خوب کار می کند).
از آنجایی که من باید این مقدار را برای هزاران شیء محاسبه کنم، انجام این شبیه سازی برای هر یک به دلیل زمان محاسباتی مورد نیاز غیر عملی است (من می خواهم سیستم من نسبتا سریع باشد) و من به دنبال حل مستقیم برای t هستم.
نیاز به جمع v(t) برابر با x.آیا راهی برای حل این مشکل وجود دارد به جز جمع کردن v(t) در هر ثانیه یا کسری از ثانیه تا رسیدن به هدف تعیین شده؟
می توانید با استفاده از یک انتگرال فرمولی برای مسافت طی شده ایجاد کنید:
$x(t) = \int_0^t{v(t) dt}$وقتی آن معادله را انجام می دهید، می توانید آن را برای t حل کنید
بر حسب x چیزی که به دست می آورید این است:$x(t) = s t + sa ( e^{-t/a} - e^0 )$
که این است:
$x(t) = st - sa( 1 - e^{-t/a} )$
اکنون نمی‌توانیم یک فرمول مناسب برای t(x) ارائه دهیم.
، زمان پیمودن یک مسافت معین. یک رویکرد عددی اساسی استفاده از روش نیوتن است. توجه داشته باشید که برای آن روش به مشتق x(t) نیاز دارید.
و این به سادگی سرعت v(t) است
در مورد خود شما همچنان مقادیر جدید tn را محاسبه می کنید
استفاده كردن :$t_{n+1} = t_n - \frac{x(t_n)-X_0}{v(t_n)}$
جایی که X0 فاصله هدف شماست
وقتی (tn−tn−1)
به اندازه کافی برای نیازهای شما کوچک است (که نباید محاسبات زیادی انجام شود) شما پاسخ تقریبی خود را دارید. می توانید با هر مقداری شروع کنید، اما t0=0 را امتحان کنید
برای سادگی.
(من یک خطای علامت جزئی را در راه حل رفع کردم)، معادله
$X_0 = s\,t - s\,a\,\big( 1 - e^{-\frac t a} \big)$
به روش عددی نیاز دارد (نیوتن احتمالا ساده ترین است).
با این حال، این معادله یک راه حل صریح بر حسب تابع لامبرت دارد
$t=\frac{X_0}{s}+a \,\Big(W\left(z\right)+1\Big)\qquad z=\exp\Big(-\big(1+\frac{X_0}{a \,s}\big)\Big)$
در واقع، برای کنجکاوی شما، هر معادله ای که بتواند$A+Bx+C\log(D+Ex)=0$ بنویسد.
راه حل(های) صریح را بر حسب تابع لامبرت نشانمیده
گاهی اوقات می بینیم که شتاب به عنوان تابعی از سرعت بیان می شود، به عنوان مثال، یک مدل اصطکاک هوا:
$a=-kv\mp g$
و جهت سرعت جهت مثبت در نظر گرفته می شود.
من متوجه شدم که سرعت همانطور که در بالا نشان داده شده است، شتاب را تعیین می کند، اما شتاب نیز سرعت را کنترل می کند. اینجوری نه سرعت حل میشه و نه شتاب.
$v = \dot x$
$a = \dot v = \ddot a$ معادله سوال شما را می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی ساده مرتبه اول نوشت،
$\dot v + k v = g$ که راه حل آن خوانده می شود$v(t) = \dfrac{g}{k} + A e^{-kt}$
.شرط اولیه $v(0) = v_0$ را ارائه داد، می توان ثابت A را تعیین کرد
$A = v_0 - \dfrac{g}{k}$ برای به دست آوردن راه حل مشکل به عنوان
$v(t) = \dfrac{g}{k} \left( 1 - e^{-kt}\right) + v_0 e^{-kt}$.
از این عبارت می توانید ببینید که از سرعت $v(0) = v_0$ شروع می شود
، سیستم به صورت نمایی به سرعت حدی$\lim_{t\rightarrow \infty} v(t) = \frac{g}{k}$ نزدیک می شود
، که برای آن کشش هوا نیروی گرانش را متعادل می کند.
حل ODE خطی مرتبه اول
می توانید راه حل ODE خطی مرتبه اول خطی غیر همگن را پیدا کنید،
$\dot y + a y = f(t)$به عنوان مجموع (مسئله خطی → اصل برهم نهی برقرار است) حل معادله همگن $y_o(t)$
و یک راه حل خاص$y_1(t)$ از معادله ناهمگن
حل معادله همگن حل معادله خطی$\dot y + k y = 0$
$\dot y + k y = 0$،
با استفاده از خاصیت نمایی $(e^{Ct})' = A e^{Ct}$
. اگر به دنبال راه حلی با شکل$y(t) = A e^{Ct}$ هستید
پیدا کنید و آن را در ODE همگن قرار دهید
$0 = ACe^{Ct} + k Ae^{Ct} = A(C+k)e^{Ct}$
،و بنابراین C=−kو$y_o(t) = A e^{-kt}$
.راه حل خاص ODE غیر همگن. این واقعاً به اجبار بستگی دارد. برای فشار ثابت f(t)=g
یک راه حل خاص یک راه حل ثابت$y_p(t) = K$ است
$0 + k K = g$
. با قرار دادن آن در معادله ناهمگن، دریافت می کنید
$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
و بنابراین$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
.راه حل. راه حل ODE بنابراین خوانده می شود$y(t) = y_o(t) + y_1(t) = A e^{-k t} + \dfrac{g}{k}$
اکنون و تنها اکنون، می توانید شرط اولیه را برای یافتن مقدار ثابت A وارد کنید
.
بنابراین، برای کارم، باید چیزی را بفهمم.
من یک شی دارم که در طول $t_o$ در مسافت $d_o$ سفر می کند.
سرعت اولیه $v_1$ و سرعت نهایی $v_2$ دارد.
من باید یک منحنی نمایی پیدا کنم که با شرایط مطابقت داشته باشد، و در معادله خود گم شده‌ام، نمی‌دانم از کجا شروع کنم.
سعی می کنم از معادله شتاب شروع کنم. من نمی خواهم آن را تصاعدی باشد، بنابراین
$ a = e^{kt} $
سپس منحنی سرعت ادغام شتاب است
$ v = \frac{e^{kt}}{k}$
من می توانم شرط را برای یافتن k جایگزین کنم،
$v_1 = \frac{e^{k\cdot0}}{k} \implies k = \frac{1}{v_1}$
$v_2 = \frac{e^{k\cdot t_0}}k \implies v_2 = v_1\cdot e^{{t_0}\cdot{v_1^{-1}}}$
که هیچ معنایی ندارد. بزار ببینم رهام کجا اشتباه کرده
ایده نهایی من این است که چیزی شبیه این داشته باشم
t=f(d)بنابراین من می توانم زمان را با فاصله پیدا کنم و برعکس.
داده شده: ؤt، d، v1، v2. و شما تقاضا می کنید که شتاب نمایی باشد. اجازه دهید
$a(t)=a_0 e^{\omega t}$
سپس اگر بگوییم $v_1=0$
پس از ادغام داریم
$v(t)=\frac{a_0}{\omega}(e^{\omega t}-1)$حال اگر بگوییم مختصات اولیه صفر است ($x_1=0$)،
سپس$x(t)=\frac{a_0}{\omega^2}(e^{\omega t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega}$
حالا شما می گویید که درx(t_2)=d ، $x(t_2)=d$
و در$v(t_2)=v_2$، بنابراین
$\frac{\omega^2 d}{a_0}+\omega t_2=e^{\omega t_2}-1$
و$\frac{\omega v_2}{a_0}=e^{\omega t_2}-1\implies \frac{\omega^2 d}{a_0}+(t_{2}-\frac{v_2}{a_0})\omega=0$
سپس$\omega=0,\quad \frac{v_2 -a_0 t_2}{d} \equiv \omega_0$
سپس
$x(t)=\frac{a_0}{\omega_{0}^2}(e^{\omega_0 t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega_0}$
این به شما فاصله زمانی را می دهد. برای زمان، تنظیم کنید
$\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1+\omega_0 t=e^{\omega_0 t}=B+At=e^{At}$
با راه حل
$t(x)=\frac{-\mathcal{W}\left(-e^{-B}\right)-B}{A}=\frac{-\mathcal{W}\left(-\exp\left[-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)\right]\right)-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)}{\omega_0}$
با $\mathcal{W}$
تابع ثبت جواب امیدوارم این یکی مفید باشه
اجازه دهید نقاط شروع و توقف را $x_1$ و $x_2$، زمان‌های $t_1,t_2$ و سرعت‌ها را $v_1، v_2$ بنامیم. اجازه دهید برای استفاده آسان تر، $t_1 = 0$ را تنظیم کنیم.
با فرض شتاب نمایی $a(t)= A\exp (kt)$, $[k]=\tfrac{1}{s},[A]=\tfrac{m}{s^2} $. اجازه دهید به طور رسمی $A=1\tfrac{m}{s^2}$
سرعت تبدیل می شود (به مقدار ثابت توجه کنید) $$ v(t) = C + \frac{A}{k}\exp(kt)\\ v(0) = v_1 = C + \frac{A}{k} \\ \Rightarrow C = v_1-\frac{A}{k} $$ بنابراین شرط دوم شما این است: $$ v(t_2) = v_2+k(t_2) = v_2/v(v_2) _2-v_1 +\frac{A}{k} = A\exp( -\ln(k) k t_2)\\ -\frac{ln(v_2-v_1+\tfrac{A}{k})-\ln{A}}{t_2} = const = \ln(k) k $$
از اینجا باید آن را به صورت عددی حل کرد.
سپس فاصله برابر است: $$ x(t) = x_1 + (v_1-\tfrac{A}{k}) t + \frac{A}{\hat{k}^2}\exp(\hat{k}t)\\ $$
مشکل این است که شتاب نمایی به معنای میرایی است، و این به یک پارامتر نیاز دارد، اما دو محدودیت وجود دارد (سرعت نهایی و فاصله).
ساده ترین شکل $a(t) = C_1 v(t)$ خواهد بود.
که توسط$v(t) = v_1 \left(\frac{v_2}{v_1} \right)^\frac{t}{t0}$
با $v(0)=v_1$ و $v(t0)=v_2$
. مسافت طی شده است
$x(t) = \int_0^t \frac{1}{v(t)}\,{\rm d} t = \frac{t0 \left(1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{-\frac{t}{t0}}\right)}{v_1 \ln\left( \frac{v_2}{v_1} \right)}$اما پس از آن نمی توانید مسافت طی شده را مشخص کنید زیرا با $d_0 = x(t0) = \frac{t0 (v_2-v_1)}{\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}$ محاسبه می شود.
حل زمان مورد نیاز برای پیمودن یک مسافت معین، با توجه به ویژگی های شبیه سازی شده (نه فیزیک واقعی) شتاب جسم
من باید مدت زمانی را محاسبه کنم که حرکت جسم از حالت سکون، مدام شتاب می گیرد تا زمانی که به x برسد.
در این بازی سرعت اجسام در هنگام شتاب گیری در خط مستقیم با معادله تعریف می شود:
$v(t)= s(1-e^{-\frac{t}{a}})$
جایی که a و s
برای مدت زمان شتاب، شی خاص و بدون تغییر هستند.
تابع به گونه ای ساخته شده است که v(t)
نزدیک خواهد شد
(حداکثر سرعت جسم)، اما هرگز به آن نمی رسد.
کاری را که برای حل کردن انجام دادم، رویکرد brute force جستجوی تولید و تِست : generate and test شناخته شده، روشی بدیهی در عین حال بسیار کلی برای حل مسئله می‌باشد. می نامم: v(t) را محاسبه کردم. برای هر ثانیه شبیه سازی و آن را تا رسیدن به x جمع کرد
(دقیقاً نه، زیرا شما بیش از حد خواهید داشت، اما سیستم من با دقت حدود یک ثانیه خوب کار می کند).
از آنجایی که من باید این مقدار را برای هزاران شیء محاسبه کنم، انجام این شبیه سازی برای هر یک به دلیل زمان محاسباتی مورد نیاز غیر عملی است (من می خواهم سیستم من نسبتا سریع باشد) و من به دنبال حل مستقیم برای t هستم.
نیاز به جمع v(t) برابر با x.آیا راهی برای حل این مشکل وجود دارد به جز جمع کردن v(t) در هر ثانیه یا کسری از ثانیه تا رسیدن به هدف تعیین شده؟
می توانید با استفاده از یک انتگرال فرمولی برای مسافت طی شده ایجاد کنید:
$x(t) = \int_0^t{v(t) dt}$وقتی آن معادله را انجام می دهید، می توانید آن را برای t حل کنید
بر حسب x چیزی که به دست می آورید این است:$x(t) = s t + sa ( e^{-t/a} - e^0 )$
که این است:
$x(t) = st - sa( 1 - e^{-t/a} )$
اکنون نمی‌توانیم یک فرمول مناسب برای t(x) ارائه دهیم.
، زمان پیمودن یک مسافت معین. یک رویکرد عددی اساسی استفاده از روش نیوتن است. توجه داشته باشید که برای آن روش به مشتق x(t) نیاز دارید.
و این به سادگی سرعت v(t) است
در مورد خود شما همچنان مقادیر جدید tn را محاسبه می کنید
استفاده كردن :$t_{n+1} = t_n - \frac{x(t_n)-X_0}{v(t_n)}$
جایی که X0 فاصله هدف شماست
وقتی (tn−tn−1)
به اندازه کافی برای نیازهای شما کوچک است (که نباید محاسبات زیادی انجام شود) شما پاسخ تقریبی خود را دارید. می توانید با هر مقداری شروع کنید، اما t0=0 را امتحان کنید
برای سادگی.
(من یک خطای علامت جزئی را در راه حل رفع کردم)، معادله
$X_0 = s\,t - s\,a\,\big( 1 - e^{-\frac t a} \big)$
به روش عددی نیاز دارد (نیوتن احتمالا ساده ترین است).
با این حال، این معادله یک راه حل صریح بر حسب تابع لامبرت دارد
$t=\frac{X_0}{s}+a \,\Big(W\left(z\right)+1\Big)\qquad z=\exp\Big(-\big(1+\frac{X_0}{a \,s}\big)\Big)$
در واقع، برای کنجکاوی شما، هر معادله ای که بتواند$A+Bx+C\log(D+Ex)=0$ بنویسد.
راه حل(های) صریح را بر حسب تابع لامبرت نشانمیده
گاهی اوقات می بینیم که شتاب به عنوان تابعی از سرعت بیان می شود، به عنوان مثال، یک مدل اصطکاک هوا:
$a=-kv\mp g$
و جهت سرعت جهت مثبت در نظر گرفته می شود.
من متوجه شدم که سرعت همانطور که در بالا نشان داده شده است، شتاب را تعیین می کند، اما شتاب نیز سرعت را کنترل می کند. اینجوری نه سرعت حل میشه و نه شتاب.
$v = \dot x$
$a = \dot v = \ddot a$ معادله سوال شما را می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی ساده مرتبه اول نوشت،
$\dot v + k v = g$ که راه حل آن خوانده می شود$v(t) = \dfrac{g}{k} + A e^{-kt}$
.شرط اولیه $v(0) = v_0$ را ارائه داد، می توان ثابت A را تعیین کرد
$A = v_0 - \dfrac{g}{k}$ برای به دست آوردن راه حل مشکل به عنوان
$v(t) = \dfrac{g}{k} \left( 1 - e^{-kt}\right) + v_0 e^{-kt}$.
از این عبارت می توانید ببینید که از سرعت $v(0) = v_0$ شروع می شود
، سیستم به صورت نمایی به سرعت حدی$\lim_{t\rightarrow \infty} v(t) = \frac{g}{k}$ نزدیک می شود
، که برای آن کشش هوا نیروی گرانش را متعادل می کند.
حل ODE خطی مرتبه اول
می توانید راه حل ODE خطی مرتبه اول خطی غیر همگن را پیدا کنید،
$\dot y + a y = f(t)$به عنوان مجموع (مسئله خطی → اصل برهم نهی برقرار است) حل معادله همگن $y_o(t)$
و یک راه حل خاص$y_1(t)$ از معادله ناهمگن
حل معادله همگن حل معادله خطی$\dot y + k y = 0$
$\dot y + k y = 0$،
با استفاده از خاصیت نمایی $(e^{Ct})' = A e^{Ct}$
. اگر به دنبال راه حلی با شکل$y(t) = A e^{Ct}$ هستید
پیدا کنید و آن را در ODE همگن قرار دهید
$0 = ACe^{Ct} + k Ae^{Ct} = A(C+k)e^{Ct}$
،و بنابراین C=−kو$y_o(t) = A e^{-kt}$
.راه حل خاص ODE غیر همگن. این واقعاً به اجبار بستگی دارد. برای فشار ثابت f(t)=g
یک راه حل خاص یک راه حل ثابت$y_p(t) = K$ است
$0 + k K = g$
. با قرار دادن آن در معادله ناهمگن، دریافت می کنید
$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
و بنابراین$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
.راه حل. راه حل ODE بنابراین خوانده می شود$y(t) = y_o(t) + y_1(t) = A e^{-k t} + \dfrac{g}{k}$
اکنون و تنها اکنون، می توانید شرط اولیه را برای یافتن مقدار ثابت A وارد کنید
.
Re: سرعت و شتاب مشابه
منبع: استک اکسچنجrohamavation نوشته شده: ↑جمعه ۱۴۰۲/۴/۳۰ - ۱۰:۵۴چگونه منحنی شتاب نمایی را تعیین کنیم؟
بنابراین، برای کارم، باید چیزی را بفهمم.
من یک شی دارم که در طول $t_o$ در مسافت $d_o$ سفر می کند.
سرعت اولیه $v_1$ و سرعت نهایی $v_2$ دارد.
من باید یک منحنی نمایی پیدا کنم که با شرایط مطابقت داشته باشد، و در معادله خود گم شده‌ام، نمی‌دانم از کجا شروع کنم.
سعی می کنم از معادله شتاب شروع کنم. من نمی خواهم آن را تصاعدی باشد، بنابراین
$ a = e^{kt} $
سپس منحنی سرعت ادغام شتاب است
$ v = \frac{e^{kt}}{k}$
من می توانم شرط را برای یافتن k جایگزین کنم،
$v_1 = \frac{e^{k\cdot0}}{k} \implies k = \frac{1}{v_1}$
$v_2 = \frac{e^{k\cdot t_0}}k \implies v_2 = v_1\cdot e^{{t_0}\cdot{v_1^{-1}}}$
که هیچ معنایی ندارد. بزار ببینم رهام کجا اشتباه کرده
ایده نهایی من این است که چیزی شبیه این داشته باشم
t=f(d)بنابراین من می توانم زمان را با فاصله پیدا کنم و برعکس.
داده شده: ؤt، d، v1، v2. و شما تقاضا می کنید که شتاب نمایی باشد. اجازه دهید
$a(t)=a_0 e^{\omega t}$
سپس اگر بگوییم $v_1=0$
پس از ادغام داریم
$v(t)=\frac{a_0}{\omega}(e^{\omega t}-1)$حال اگر بگوییم مختصات اولیه صفر است ($x_1=0$)،
سپس$x(t)=\frac{a_0}{\omega^2}(e^{\omega t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega}$
حالا شما می گویید که درx(t_2)=d ، $x(t_2)=d$
و در$v(t_2)=v_2$، بنابراین
$\frac{\omega^2 d}{a_0}+\omega t_2=e^{\omega t_2}-1$
و$\frac{\omega v_2}{a_0}=e^{\omega t_2}-1\implies \frac{\omega^2 d}{a_0}+(t_{2}-\frac{v_2}{a_0})\omega=0$
سپس$\omega=0,\quad \frac{v_2 -a_0 t_2}{d} \equiv \omega_0$
سپس
$x(t)=\frac{a_0}{\omega_{0}^2}(e^{\omega_0 t}-1)-\frac{a_0 t}{\omega_0}$
این به شما فاصله زمانی را می دهد. برای زمان، تنظیم کنید
$\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1+\omega_0 t=e^{\omega_0 t}=B+At=e^{At}$
با راه حل
$t(x)=\frac{-\mathcal{W}\left(-e^{-B}\right)-B}{A}=\frac{-\mathcal{W}\left(-\exp\left[-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)\right]\right)-\left(\frac{\omega_{0}^2 x}{a_0}+1\right)}{\omega_0}$
با $\mathcal{W}$
تابع ثبت جواب امیدوارم این یکی مفید باشه
اجازه دهید نقاط شروع و توقف را $x_1$ و $x_2$، زمان‌های $t_1,t_2$ و سرعت‌ها را $v_1، v_2$ بنامیم. اجازه دهید برای استفاده آسان تر، $t_1 = 0$ را تنظیم کنیم.
با فرض شتاب نمایی $a(t)= A\exp (kt)$, $[k]=\tfrac{1}{s},[A]=\tfrac{m}{s^2} $. اجازه دهید به طور رسمی $A=1\tfrac{m}{s^2}$
سرعت تبدیل می شود (به مقدار ثابت توجه کنید) $$ v(t) = C + \frac{A}{k}\exp(kt)\\ v(0) = v_1 = C + \frac{A}{k} \\ \Rightarrow C = v_1-\frac{A}{k} $$ بنابراین شرط دوم شما این است: $$ v(t_2) = v_2+k(t_2) = v_2/v(v_2) _2-v_1 +\frac{A}{k} = A\exp( -\ln(k) k t_2)\\ -\frac{ln(v_2-v_1+\tfrac{A}{k})-\ln{A}}{t_2} = const = \ln(k) k $$
از اینجا باید آن را به صورت عددی حل کرد.
سپس فاصله برابر است: $$ x(t) = x_1 + (v_1-\tfrac{A}{k}) t + \frac{A}{\hat{k}^2}\exp(\hat{k}t)\\ $$
مشکل این است که شتاب نمایی به معنای میرایی است، و این به یک پارامتر نیاز دارد، اما دو محدودیت وجود دارد (سرعت نهایی و فاصله).
ساده ترین شکل $a(t) = C_1 v(t)$ خواهد بود.
که توسط$v(t) = v_1 \left(\frac{v_2}{v_1} \right)^\frac{t}{t0}$
با $v(0)=v_1$ و $v(t0)=v_2$
. مسافت طی شده است
$x(t) = \int_0^t \frac{1}{v(t)}\,{\rm d} t = \frac{t0 \left(1-\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{-\frac{t}{t0}}\right)}{v_1 \ln\left( \frac{v_2}{v_1} \right)}$اما پس از آن نمی توانید مسافت طی شده را مشخص کنید زیرا با $d_0 = x(t0) = \frac{t0 (v_2-v_1)}{\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}$ محاسبه می شود.
حل زمان مورد نیاز برای پیمودن یک مسافت معین، با توجه به ویژگی های شبیه سازی شده (نه فیزیک واقعی) شتاب جسم
من باید مدت زمانی را محاسبه کنم که حرکت جسم از حالت سکون، مدام شتاب می گیرد تا زمانی که به x برسد.
در این بازی سرعت اجسام در هنگام شتاب گیری در خط مستقیم با معادله تعریف می شود:
$v(t)= s(1-e^{-\frac{t}{a}})$
جایی که a و s
برای مدت زمان شتاب، شی خاص و بدون تغییر هستند.
تابع به گونه ای ساخته شده است که v(t)
نزدیک خواهد شد
(حداکثر سرعت جسم)، اما هرگز به آن نمی رسد.
کاری را که برای حل کردن انجام دادم، رویکرد brute force جستجوی تولید و تِست : generate and test شناخته شده، روشی بدیهی در عین حال بسیار کلی برای حل مسئله می‌باشد. می نامم: v(t) را محاسبه کردم. برای هر ثانیه شبیه سازی و آن را تا رسیدن به x جمع کرد
(دقیقاً نه، زیرا شما بیش از حد خواهید داشت، اما سیستم من با دقت حدود یک ثانیه خوب کار می کند).
از آنجایی که من باید این مقدار را برای هزاران شیء محاسبه کنم، انجام این شبیه سازی برای هر یک به دلیل زمان محاسباتی مورد نیاز غیر عملی است (من می خواهم سیستم من نسبتا سریع باشد) و من به دنبال حل مستقیم برای t هستم.
نیاز به جمع v(t) برابر با x.آیا راهی برای حل این مشکل وجود دارد به جز جمع کردن v(t) در هر ثانیه یا کسری از ثانیه تا رسیدن به هدف تعیین شده؟
می توانید با استفاده از یک انتگرال فرمولی برای مسافت طی شده ایجاد کنید:
$x(t) = \int_0^t{v(t) dt}$وقتی آن معادله را انجام می دهید، می توانید آن را برای t حل کنید
بر حسب x چیزی که به دست می آورید این است:$x(t) = s t + sa ( e^{-t/a} - e^0 )$
که این است:
$x(t) = st - sa( 1 - e^{-t/a} )$
اکنون نمی‌توانیم یک فرمول مناسب برای t(x) ارائه دهیم.
، زمان پیمودن یک مسافت معین. یک رویکرد عددی اساسی استفاده از روش نیوتن است. توجه داشته باشید که برای آن روش به مشتق x(t) نیاز دارید.
و این به سادگی سرعت v(t) است
در مورد خود شما همچنان مقادیر جدید tn را محاسبه می کنید
استفاده كردن :$t_{n+1} = t_n - \frac{x(t_n)-X_0}{v(t_n)}$
جایی که X0 فاصله هدف شماست
وقتی (tn−tn−1)
به اندازه کافی برای نیازهای شما کوچک است (که نباید محاسبات زیادی انجام شود) شما پاسخ تقریبی خود را دارید. می توانید با هر مقداری شروع کنید، اما t0=0 را امتحان کنید
برای سادگی.
(من یک خطای علامت جزئی را در راه حل رفع کردم)، معادله
$X_0 = s\,t - s\,a\,\big( 1 - e^{-\frac t a} \big)$
به روش عددی نیاز دارد (نیوتن احتمالا ساده ترین است).
با این حال، این معادله یک راه حل صریح بر حسب تابع لامبرت دارد
$t=\frac{X_0}{s}+a \,\Big(W\left(z\right)+1\Big)\qquad z=\exp\Big(-\big(1+\frac{X_0}{a \,s}\big)\Big)$
در واقع، برای کنجکاوی شما، هر معادله ای که بتواند$A+Bx+C\log(D+Ex)=0$ بنویسد.
راه حل(های) صریح را بر حسب تابع لامبرت نشانمیده
گاهی اوقات می بینیم که شتاب به عنوان تابعی از سرعت بیان می شود، به عنوان مثال، یک مدل اصطکاک هوا:
$a=-kv\mp g$
و جهت سرعت جهت مثبت در نظر گرفته می شود.
من متوجه شدم که سرعت همانطور که در بالا نشان داده شده است، شتاب را تعیین می کند، اما شتاب نیز سرعت را کنترل می کند. اینجوری نه سرعت حل میشه و نه شتاب.
$v = \dot x$
$a = \dot v = \ddot a$ معادله سوال شما را می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی ساده مرتبه اول نوشت،
$\dot v + k v = g$ که راه حل آن خوانده می شود$v(t) = \dfrac{g}{k} + A e^{-kt}$
.شرط اولیه $v(0) = v_0$ را ارائه داد، می توان ثابت A را تعیین کرد
$A = v_0 - \dfrac{g}{k}$ برای به دست آوردن راه حل مشکل به عنوان
$v(t) = \dfrac{g}{k} \left( 1 - e^{-kt}\right) + v_0 e^{-kt}$.
از این عبارت می توانید ببینید که از سرعت $v(0) = v_0$ شروع می شود
، سیستم به صورت نمایی به سرعت حدی$\lim_{t\rightarrow \infty} v(t) = \frac{g}{k}$ نزدیک می شود
، که برای آن کشش هوا نیروی گرانش را متعادل می کند.
حل ODE خطی مرتبه اول
می توانید راه حل ODE خطی مرتبه اول خطی غیر همگن را پیدا کنید،
$\dot y + a y = f(t)$به عنوان مجموع (مسئله خطی → اصل برهم نهی برقرار است) حل معادله همگن $y_o(t)$
و یک راه حل خاص$y_1(t)$ از معادله ناهمگن
حل معادله همگن حل معادله خطی$\dot y + k y = 0$
$\dot y + k y = 0$،
با استفاده از خاصیت نمایی $(e^{Ct})' = A e^{Ct}$
. اگر به دنبال راه حلی با شکل$y(t) = A e^{Ct}$ هستید
پیدا کنید و آن را در ODE همگن قرار دهید
$0 = ACe^{Ct} + k Ae^{Ct} = A(C+k)e^{Ct}$
،و بنابراین C=−kو$y_o(t) = A e^{-kt}$
.راه حل خاص ODE غیر همگن. این واقعاً به اجبار بستگی دارد. برای فشار ثابت f(t)=g
یک راه حل خاص یک راه حل ثابت$y_p(t) = K$ است
$0 + k K = g$
. با قرار دادن آن در معادله ناهمگن، دریافت می کنید
$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
و بنابراین$y_p(t) = K = \frac{g}{k}$
.راه حل. راه حل ODE بنابراین خوانده می شود$y(t) = y_o(t) + y_1(t) = A e^{-k t} + \dfrac{g}{k}$
اکنون و تنها اکنون، می توانید شرط اولیه را برای یافتن مقدار ثابت A وارد کنید
.
