میله سقوط همانطوربنابراین، مرکز جرم در ارتفاع h=L/2 بالاتر از کف قرار دارد. در ابتدا، چوب به صورت عمودی با انرژی پتانسیل گرانشی mgh در حالت سکون قرار دارد که m جرم چوب و g شتاب گرانش است. که شما آن را توصیف می کنید، اصطکاک کافی برای انتهای پایین P وجود داردوقتی جسم در فضا به اطراف حرکت می کند، برای مرکز جرم جسم صلب چه اتفاقی می افتد؟
مرکز جرم چیست؟ مرکز جرم جسم مستقیماً به سمت پایین سقوط می کند و در g شتاب می گیرد. همه اجسام بدون توجه به وزنشان در خلاء با سرعت یکسانی شتاب می گیرند، بنابراین هیچ یک از انتها سریعتر از دیگری شتاب نمی گیرد. گفته می‌شود، با مقاومت هوا، هر دو انتهای جسم نیروی کشش یکسانی را احساس می‌کنند، بنابراین انتهای جسم با جرم کمتر کاهش سرعت بیشتری را از پسا احساس می‌کند. این باعث ایجاد گشتاور در اطراف مرکز جرم می‌شود و جسم را به دور CM می‌چرخاند تا زمانی که جسم به سمت پایین بیفتد (با فرض اینکه هیچ اثر مقطعی دیگر درگ نداشته باشد).
اگر یک جسم صلب را در مرکز جرمش فشار دهیم، آن جسم همیشه طوری حرکت می کند که انگار یک جرم نقطه ای است. بدون توجه به شکل واقعی آن حول هیچ محوری نمی چرخد. اگر جسم در نقطه ای دیگر تحت یک نیروی نامتعادل قرار گیرد، آنگاه شروع به چرخش حول مرکز جرم می کند.بیایید یک دیدگاه ریاضی داشته باشیم. بگذارید جرم اجسام mi باشد برای i=1,2
و طول میله l. گشتاور کل با توجه به مرکز جرم (COM) توسط:
$\vec \tau \cdot \vec e_z = \vec e_z \cdot \left[ \vec r_1 \times \vec F_{ROHAMg1} + \vec r_2 \times \vec F_{ROHAMg2} \right] = \norm{\vec r_1} \cdot \norm{\vec F_{ROHAMg1}} - \norm{\vec r_2} \cdot \norm{\vec F_{ROHAMg2}}$جایی که$\vec r_i$
بردار موقعیت i است شیء از COM و $\vec e_z$ اندازه گیری شد بردار واحد در z است-جهت. توجه داشته باشید که نیرو بر بردارهای موقعیت عمود است بنابراین sinθ=1
و علامت منفی در جمله دوم به دلیل$\vec r_1 \times \vec F_{g1}$ و$\vec r_2 \times \vec F_{g2}$بوجود می آید
همانطور که می توانید با قانون دست راست مورد علاقه خود نشان دهید در جهت مخالف نشان دهید. علاوه بر این $\vec \tau \cdot \vec e_\xi = 0$
برای $\xi = x,y$اکنون می دانیم که$\norm{\vec r_i} = \frac{m_i}{m_1 + m_2} l$
و $\norm{\vec F_{g_i}} = g m_i$. در پایان دریافت می کنید:$\vec\tau \cdot \vec e_z= g\,l\cdot \left(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} - \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\right) = 0$بنابراین $\vec \tau \cdot \vec e_\xi = 0$برای $ξ=x,y,z$ بنابراین $\vec \tau = \vec 0$.
نتیجه می گیریم که هیچ گشتاوری روی جسم نسبت به مرکز جرم وجود ندارد، بنابراین نمی تواند بچرخد
میله ثابت بماند. سطح ناهموار و نقطه P سپس مانند یک لولا عمل کنید.اگر میله کاملا عمودی باشد، یعنی زاویه بین میله و افقی $\theta=\frac{\pi}{2}$ است
، میله در تعادل کامل است و سقوط نمی کند.اما آیا یک اغتشاش کوچک معرفی می کنیم، به طوری که $\theta<\frac{\pi}{2}$
، یک گشتاور $\tau$ در مورد نقطه P معرفی شده است، ناشی از بردار وزن $\vec{mg}$
دیگر از P عبور نمی کند. باL طول میله ای که به دست می آوریم:$\tau=\frac{L}{2}mg\cos\theta$
(در واقع توجه داشته باشید که برای $\theta=\frac{\pi}{2}$$\cos\theta=0$، بنابراین در آن شرایط هیچ گشتاور شتاب دهنده ای وجود ندارد)
این گشتاور باعث شتاب زاویه ای $\ddot{\theta}$ می شود در مورد P. به گفته نیوتن برای اجسام دوار و با I
ممان اینرسی میله در مورد نقطه P:$\tau=I\ddot{\theta}$با هر دو معادله داریم:
$I\ddot{\theta}=\frac{L}{2}mg\cos\theta$این معادله حرکت میله است.
و چگونه می‌توانیم بقای انرژی را در محاسبه سرعت زاویه‌ای در حضور اصطکاک اعمال کنیم؟
تغییر انرژی پتانسیل ΔU بین حالت اولیه و نهایی:$\Delta U=mg\frac{L}{2}$
زیرا $\frac{L}{2}$ تغییر ارتفاع مرکز ثقل میله است.
تغییر انرژی جنبشی ΔKبا فرض سرعت زاویه ای نهایی $\dot{\theta}$
:$\Delta K=\frac12 I\dot{\theta}^2$
$\dot{\theta}$را پیدا کنید از پایستگی انرژی:$\Delta U=\Delta K$$\frac12 I\dot{\theta}^2=mg\frac{L}{2}$
$\dot{\theta}=\sqrt{\frac{mgL}{I}}$الطفاً به خاطر داشته باشید که در واقع باید مرکز ثقل (COG) را در نظر بگیرید - تفاوت ظریفی با مرکز جرم (COM) وجود دارد، اگرچه برای همه اهداف عملی می توان آنها را برابر در نظر گرفت. مرکز ثقل نقطه ای است که (کل) کشش اعمال شده توسط نیروی گرانشی روی جسم متمرکز می شود. برای اجسام با ارتفاع نسبتاً کوچک، COG برابر با COM است زیرا شتاب ناشی از نیروی گرانشی g
تغییر زیادی نمی کند برای آسمان‌خراش‌های معمولی، تفاوت بین COG و COM در محدوده سانتی‌متر است.
آیا کسی می تواند نمونه ای از سیستمی مانند یخچال یا اتومبیل های بالا را که با استفاده از اصطلاحات سیستم های دینامیکی قابل توصیف باشد به من ارائه دهد؟
من مطمئن نیستم که منظور شما از "اصطلاحات سیستم پویا" چیست، اما اجازه دهید سعی کنم توضیح دهم. همه چیز به گشتاور ختم می شود.
دو شرط برای تعادل جسم وجود دارد: (1) نیروی خالص وارد بر جسم باید صفر باشد و (ب) جسم نباید تمایل به چرخش داشته باشد، به عنوان مثال برای یک جسم غیر چرخنده بدون چرخش گشتاور خالص خارجی به دور هر جسمی باقی بماند. نقطه روی جسم باید صفر باشد. از آنجایی که نیروی گرانشی همیشه به سمت پایین عمل می کند، این به طور موثر به این معنی است که مرکز ثقل باید مستقیماً بالای ناحیه پشتیبانی باشد. در غیر این صورت، گشتاور خالص را در نزدیکترین نقطه پشتیبانی تولید می کند و در نتیجه جسم شروع به چرخش می کند.
