اثر پروانه ای Butterfly Effect واقعیت دارد
ارسال شده: جمعه ۱۴۰۱/۱۱/۲۱ - ۱۰:۱۹
در نظریه آشوب اثر پروانه ای وابستگی حساس به شرایط اولیه هست که در آن یک تغییر کوچک در یک حالت از یک سیستم غیرخطی قطعی میتونه منجر به تفاوت های بزرگ در حالت بعدی بشه.اثر پروانه ای که چیزهای کوچک میتونند تأثیرات غیرخطی روی یک سیستم پیچیده داشته باشندنظریه آشوب Chaos Theory مطالعه سامانههای پویای آشوبناک متمرکزه سامانههایی که حالات بینظم و بدون ترتیبش ظاهراً تصادفیه اما در عمل تحت حاکمیت الگوها و قوانین قطعی پنهانیست که به شدت نسبت به شرایط اولیه حساسند.در تصادفی بودن سیستمهای پیچیده آشوبناک Chaotic، الگوهای اساسی حلقههای فیدبک ثابت، تکرار، خودتشابهی، فراکتالها و خودسازماندهی وجود داره . Chaos یعنی سردرگمی و اشوب و بینظمی نظریه آشوب یک تضاد جالبه علمی برای پیشبینی رفتار سیستمهای ذاتاً غیر قابل پیشبینی. در واقع، نظریه آشوب یک ابزار ریاضیه که به ما اجازه میده ساختارهای زیبایی را از آشوب به دست آوریم.آشوب نامی است که اغلب به یک دینامیک غیرخطی. این عبارت برای توضیح رفتار پیچیده سیستمهای اصطلاحاً ساده، خطی و خوشرفتار به کار میره . رفتار آشوبی نامنظم و اغلب تصادفی به نظر میرسه و مشابه رفتار سیستمی است که شدیداً تحت تأثیر نویز خارجی تصادفی قرار گرفته تعریف ریاضی آشوب، رفتار طولانی مدت غیرقابل پیشبینی در یک سیستم دینامیکی قطعی به دلیل حساسیت به شرایط اولیه است (که معمولاً به نام اثر پروانهای هم میگیم نظریه آشوب به عنوان مطالعه کیفی رفتار نادورهای ناپایدار در سیستمهای دینامیکی غیرخطی قطعی تعریف میشود.در واقع، پدیده اثر پروانهای که توسط لورنتس کشف شد، دستگاهی از دو معادله دیفرانسیل بود که به عنوان یک مدل ساده شده انتقال حرارت دو بعدی مورد استفاده قرار میگیرد. این معادلات، معادلات لورنتس نامیده میشوند:
$d
x/
d
t
=
σ
(
x
–
y
)$
پارامترهایی بدون بعد هستند.
جاذب لورنتس
دو مؤلفه اصلی نظریه آشوب ایدههایی است که سیستمها – هرچقدر هم که پیچیده باشند – به یک نظریه اساسی وابسطه اند و آن این است که سیستمها و وقایع بسیار ساده یا کوچک میتوانند باعث رفتارها یا حوادث بسیار پیچیده شوند. این ایده اخیر به عنوان «وابستگی حساس به شرایط اولیه» شناخته میشود که توسط ادوارد لورنتس کشف شد. این حساسیت به شرایط اولیه اثر پروانهای (Butterfly Effect) نامیده میشود و طی چند دهه گذشته تحقیقاتی با عناوین مختلف نظریه آشوب، نظریه پیچیدگی، فرایندهای تصادفی و غیره درباره آن انجام شده است.
چگونه بفهمیم که آیا یک معادله دیفرانسیل معمولی آشفته است؟با فرض اینکه یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) مانند سیستم لورنز داریم:
$\dot x=\sigma(y-x)\\
\dot y=\gamma x-y-xz\\
\dot z=xy-bz$
جایی که
$\sigma = 10\\
\gamma = 28\\
b = \frac{8}{3}\\
x(0)=10\\
y(0)=1\\
z(0)=1$
این سیستم به دلیل رفتارش آشفته است
با این حال، ما معمولاً در مورد یک سیستم با نمودار نتایج خروجی قضاوت می کنیم. اما چگونه می توانم در مورد یک سیستم قضاوت کنم که آیا آن آشفته است یا نه فقط با نگاه کردن به فرمول آن در نمایش فضای حالت بدون ترسیم آن؟
یا اگر هیچ راهی برای قضاوت 100% وجود ندارد، حداقل آیا راهی برای حدس زدن آن وجود دارد؟اگر ابزار کلی برای اثبات آشفتگی یک سیستم دینامیکی پیوسته وجود نداشته باشد، حداقل چندین ابزار وجود دارد که ثابت کند یک سیستم آشفته نیست در اینجا یک لیست کوتاه غیر جامع از ویژگی هایی است که به یک سیستم ODE خودران درجه اول اجازه می دهد
$\dot{X} = F(X) \, \qquad\text{where}\qquad X\in\mathbb{R}^n \;\text{and}\; F \in C^1$
آشفته بودن:f
غیر خطی است بعد فضای فاز n برابر با 3 است یا بزرگتر نتیجه قضیه پوانکاره
حداقل یک مقدار ویژه از ماتریس ژاکوبین$\partial F/\partial X$وجود داره در تعادل سیستمی که دارای بخش واقعی غیر منفی است (نتیجه قضیه هارتمن-گروبمن) ارزیابی می شود.
چندین روش وابسته به مورد برای تحلیل آشوب وجود دارد. در مورد سیستم های همیلتونی اجباری دوره ای، یک ابزار اختصاصی روش ملنیکوف است.
$d
x/
d
t
=
σ
(
x
–
y
)$
پارامترهایی بدون بعد هستند.
جاذب لورنتس
دو مؤلفه اصلی نظریه آشوب ایدههایی است که سیستمها – هرچقدر هم که پیچیده باشند – به یک نظریه اساسی وابسطه اند و آن این است که سیستمها و وقایع بسیار ساده یا کوچک میتوانند باعث رفتارها یا حوادث بسیار پیچیده شوند. این ایده اخیر به عنوان «وابستگی حساس به شرایط اولیه» شناخته میشود که توسط ادوارد لورنتس کشف شد. این حساسیت به شرایط اولیه اثر پروانهای (Butterfly Effect) نامیده میشود و طی چند دهه گذشته تحقیقاتی با عناوین مختلف نظریه آشوب، نظریه پیچیدگی، فرایندهای تصادفی و غیره درباره آن انجام شده است.
چگونه بفهمیم که آیا یک معادله دیفرانسیل معمولی آشفته است؟با فرض اینکه یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) مانند سیستم لورنز داریم:
$\dot x=\sigma(y-x)\\
\dot y=\gamma x-y-xz\\
\dot z=xy-bz$
جایی که
$\sigma = 10\\
\gamma = 28\\
b = \frac{8}{3}\\
x(0)=10\\
y(0)=1\\
z(0)=1$
این سیستم به دلیل رفتارش آشفته است
با این حال، ما معمولاً در مورد یک سیستم با نمودار نتایج خروجی قضاوت می کنیم. اما چگونه می توانم در مورد یک سیستم قضاوت کنم که آیا آن آشفته است یا نه فقط با نگاه کردن به فرمول آن در نمایش فضای حالت بدون ترسیم آن؟
یا اگر هیچ راهی برای قضاوت 100% وجود ندارد، حداقل آیا راهی برای حدس زدن آن وجود دارد؟اگر ابزار کلی برای اثبات آشفتگی یک سیستم دینامیکی پیوسته وجود نداشته باشد، حداقل چندین ابزار وجود دارد که ثابت کند یک سیستم آشفته نیست در اینجا یک لیست کوتاه غیر جامع از ویژگی هایی است که به یک سیستم ODE خودران درجه اول اجازه می دهد
$\dot{X} = F(X) \, \qquad\text{where}\qquad X\in\mathbb{R}^n \;\text{and}\; F \in C^1$
آشفته بودن:f
غیر خطی است بعد فضای فاز n برابر با 3 است یا بزرگتر نتیجه قضیه پوانکاره
حداقل یک مقدار ویژه از ماتریس ژاکوبین$\partial F/\partial X$وجود داره در تعادل سیستمی که دارای بخش واقعی غیر منفی است (نتیجه قضیه هارتمن-گروبمن) ارزیابی می شود.
چندین روش وابسته به مورد برای تحلیل آشوب وجود دارد. در مورد سیستم های همیلتونی اجباری دوره ای، یک ابزار اختصاصی روش ملنیکوف است.