$d
x/
d
t
=
σ
(
x
–
y
)$
پارامترهایی بدون بعد هستند.
جاذب لورنتس
دو مؤلفه اصلی نظریه آشوب ایده‌هایی است که سیستم‌ها – هرچقدر هم که پیچیده باشند – به یک نظریه اساسی وابسطه اند و آن این است که سیستم‌ها و وقایع بسیار ساده یا کوچک می‌توانند باعث رفتارها یا حوادث بسیار پیچیده شوند. این ایده اخیر به عنوان «وابستگی حساس به شرایط اولیه» شناخته می‌شود که توسط ادوارد لورنتس کشف شد. این حساسیت به شرایط اولیه اثر پروانه‌ای (Butterfly Effect) نامیده می‌شود و طی چند دهه گذشته تحقیقاتی با عناوین مختلف نظریه آشوب، نظریه پیچیدگی، فرایندهای تصادفی و غیره درباره آن انجام شده است.
چگونه بفهمیم که آیا یک معادله دیفرانسیل معمولی آشفته است؟با فرض اینکه یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) مانند سیستم لورنز داریم:
$\dot x=\sigma(y-x)\\
\dot y=\gamma x-y-xz\\
\dot z=xy-bz$
جایی که
$\sigma = 10\\
\gamma = 28\\
b = \frac{8}{3}\\
x(0)=10\\
y(0)=1\\
z(0)=1$
این سیستم به دلیل رفتارش آشفته است
با این حال، ما معمولاً در مورد یک سیستم با نمودار نتایج خروجی قضاوت می کنیم. اما چگونه می توانم در مورد یک سیستم قضاوت کنم که آیا آن آشفته است یا نه فقط با نگاه کردن به فرمول آن در نمایش فضای حالت بدون ترسیم آن؟
یا اگر هیچ راهی برای قضاوت 100% وجود ندارد، حداقل آیا راهی برای حدس زدن آن وجود دارد؟اگر ابزار کلی برای اثبات آشفتگی یک سیستم دینامیکی پیوسته وجود نداشته باشد، حداقل چندین ابزار وجود دارد که ثابت کند یک سیستم آشفته نیست در اینجا یک لیست کوتاه غیر جامع از ویژگی هایی است که به یک سیستم ODE خودران درجه اول اجازه می دهد
$\dot{X} = F(X) \, \qquad\text{where}\qquad X\in\mathbb{R}^n \;\text{and}\; F \in C^1$
آشفته بودن:f
غیر خطی است بعد فضای فاز n برابر با 3 است یا بزرگتر نتیجه قضیه پوانکاره
حداقل یک مقدار ویژه از ماتریس ژاکوبین$\partial F/\partial X$وجود داره در تعادل سیستمی که دارای بخش واقعی غیر منفی است (نتیجه قضیه هارتمن-گروبمن) ارزیابی می شود.
چندین روش وابسته به مورد برای تحلیل آشوب وجود دارد. در مورد سیستم های همیلتونی اجباری دوره ای، یک ابزار اختصاصی روش ملنیکوف است.
