اجازه دهید یک جسم صلب را در نظر بگیریم که از دو ذره به جرم m در دو طرف یک میله صلب بدون جرم به طول 2lتشکیل شده است.
فرض کنید که میله در فضای آزاد با تکانه زاویه ای Ls در امتداد جهت z می چرخد.
فرض کنید اکنون نیروهایی را بر دو جرم اعمال می کنم به طوری که نیروها همیشه عمود بر سرعت هر جرم برای همیشه هستند. همچنین نیروها برابر و مخالف هستند به طوری که مرکز جرم در حالت سکون باقی می ماند. پیکربندی اولیه نشان داده شده است.
من علاقه مند به تجسم حرکت متعاقب بدن هستم. برای انجام این کار، من بر بردار تکانه زاویه ای تمرکز کردم، زیرا اگر بدانم که جهت گیری سیستم را می شناسم، صفحه چرخش است.
من رابطه تکانه زاویه ای گشتاور را اعمال کردم و به این نتیجه رسیدم که بردار تکانه زاویه ای مطابق شکل زیر می چرخد.
من مطمئن نیستم که آیا این درست است. هر گونه راهنمایی لطفا
اگر تفسیر جسم صلب سرعت زاویه‌ای/تکانه زاویه‌ای را فراموش کنید، مسیرهای واقعی حرکت نقاط فقط دایره‌هایی روی کره هستند که توسط نقاط انتهایی میله که کره‌ای به شعاع l است و مرکز آن در مرکز قرار دارد، عبور می‌کنند. با جرم G. دایره هایی هستند که به سادگی از تقاطع کره با صفحات به دست می آیند. حرکت نقطه در امتداد چنین دایره ای یکنواخت است. این واقعیت از این واقعیت ناشی می شود که حرکت روی کره منحنی است تحت شتابی که همیشه بر کره مماس است، همیشه به همان اندازه و همیشه عمود بر جهت حرکت است. و تنها منحنی‌هایی که این شرط را برآورده می‌کنند، دایره‌هایی هستند که در بالا توضیح داده شد، که به طور یکنواخت طی شده‌اند.
اما، اگر هنوز می‌خواهید تفسیر سرعت زاویه‌ای را با جزئیات مرور کنید، اینجاست.
اول، من فکر می کنم که این وضعیت معادل یک میله چرخان در یک میدان گرانشی ثابت نیست.
از آنجایی که وضعیت توصیف شده در این مشکل یک وضعیت انتزاعی است، یعنی میله بدون جرم است، توده های نقطه اتصال و اجسام صلب نیست، برای اینکه به درستی آن را به عنوان یک مشکل بدنه صلب تلقی کنیم، ابتدا باید مدلی را برای نسخه بدنه صلب بنویسیم که عبارت است از مسئله برای یک جفت کره جامد با شعاع r که نشان دهنده نقاط جرمی است که توسط یک میله بدون جرم به هم متصل شده اند. سپس در صورت تمایل می توانید r=0 را تنظیم کنید و جواب نقاط جرم را بدست آورید.
ایده خوبی است که به این مشکل از سیستم مختصات$G \, \vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3$ نگاه کنیم که محکم به جسم صلب متصل شده است (و بنابراین با توجه به یک سیستم مختصات اینرسی جهانی در حال حرکت است). سیستم مختصات $G \, \vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3$غیر اینرسی است. فرض کنید مبدأ این سیستم مختصات در مرکز جرم G باشد، بردار واحد $\vec{e}_1$ با قطعه از G به یکی از نقاط جرمی تراز شده است، در حالی که دو بردار واحد دیگر $\vec{e}_2$ و $\vec{e}_3$ هستند. عمود بر $\vec{e}_1$ و عمود بر یکدیگر.
کره ها نسبت به هر محوری دارای گشتاور اینرسی $\frac{2}{5}mr^2$ هستند. از آنجایی که گشتاورهای اینرسی افزایشی هستند، گشتاور اینرسی نسبت به محور $G\,\vec{e}_1$ مقدار$I_1 = \frac{4}{5}mr^2$است. با قضیه محور موازی، گشتاورهای اینرسی نسبت به دو محور دیگر $G\,\vec{e}_2$ و $G\,\vec{e}_3$ یکسان و برابر با$I = I_1 + 2ml^2$ است.
به عبارت دیگر، ماتریس اینرسی در این سیستم مختصات ثابت جسم شکل می گیرد
$J = I_1 \, P_1 \, + I \, P_{23}$
که در آن P1 عملگر طرح ریزی متعامد از فضای سه بعدی به محور $G\vec{e}_1$ است، و P23 ماتریس طرح ریزی متعامد است که فضای سه بعدی را بر روی صفحه مختصاتی که توسط $\vec{e}_2$ و $\vec{e}_3$ کشیده شده است، ترسیم می کند.
$P_{1} \vec{e}_1 = \vec{e}_1 \,\,\,\,\, P_{1} \vec{e}_2 = 0, \,\,\,\,\, P_{23} \vec{e}_3 = 0$
$P_{23} \vec{e}_1 = 0, \,\,\,\,\, P_{23} \vec{e}_2 = \vec{e}_2, \,\,\,\,\, P_{23} \vec{e}_3 = \vec{e}_3$
در این سیسم مختصات، بردار سرعت توسط
$\vec{v} = \vec{\omega} \times (\,l\,\vec{e}_1\,) = l\, \vec{\omega} \times \vec{e}_1$
بنابراین، یک بردار واحد، عمود بر هر دو $l \, \vec{e}_1$ و $\vec{v}$ است
$\frac{ \big(\,\vec{\omega} \times \vec{e}_1 \,\big) \times \vec{e}_1}{|\vec{\omega} \times \vec{e}_1|}$
و بنابراین، دو نیروی با قدر ثابت F، همانطور که در تصویر ترسیم شده است، هستند
$\vec{F} \, = \, F \, \frac{ \big(\,\vec{\omega} \times \vec{e}_1 \,\big) \times \vec{e}_1}{|\vec{\omega} \times \vec{e}_1|} \,\,\, \text{ and } \,\,\, -\, \vec{F} \, = \, - \, F \, \frac{ \big(\,\vec{\omega} \times \vec{e}_1 \,\big)\times \vec{e}_1}{|\vec{\omega} \times \vec{e}_1|}$
نیروها به ترتیب در نقاطی با بردارهای موقعیت$\vec{r} = l \, \vec{e}_1$ و $- \, \vec{r} = -\, l \, \vec{e}_1$ اعمال می شوند. در نتیجه، گشتاورها باید باشند
$\begin{align}
\vec{r} \times \vec{F} \, =&\, l \, \vec{e}_1 \times \left(\, F \, \frac{ \big(\, \vec{\omega} \times \vec{e}_1\,\big) \times \vec{e}_1}{|\vec{\omega} \times \vec{e}_1|} \,\right) \, = \, l F \,\, \frac{\vec{e}_1 \times \Big( \vec{e}_1 \times \big(\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}\,\big)\Big)}{| \vec{e}_1 \times \vec{\omega}|} \\
=& \,-\, lF \,\, \frac{ \,\vec{e}_1 \times \vec{\omega}\,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}|}
\end{align}$
و$(-\vec{r}) \times (- \vec{F}) \, =\, \vec{r} \times \vec{F} \, = \, \,-\, lF \,\, \frac{\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}\,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}|}$
به ترتیب، بنابراین کل گشتاور اعمال شده بر روی بدنه است
$-\, 2lF \,\, \frac{\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}\,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}|}$
معادلات حرکت در قاب مرجع$G \, \vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3$ متصل به بدنه، همانطور که توضیح داده شد،
$\begin{align}
&\frac{d}{dt} J \, \vec{\omega} \, = \, \big(\,J \, \vec{\omega}\,\big) \times \vec{\omega} \, -\, 2lF \,\, \frac{\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}\,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}|}\\
&\frac{d}{dt} U^T \, = \, - \big(\,\vec{\omega} \times \cdot \,\big)\, U^T
\end{align}$
که در آن $\vec{\omega}$ بردار سرعت زاویه ای در قاب مختصات ثابت بدنه $G \, \vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3$ و ماتریس$U \, \in \, \text{SO}(3)$ ماتریس چرخشی است که هر مختصاتی را از قاب ثابت بدنه$G \, \vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \, \vec{e}_3$ می گیرد. ,e⃗ 3 به مختصات مربوطه در سیستم مختصات جهان اینرسی، دومی نیز در مرکز جرم G متمرکز شده است. علامت گذاری $\big(\,\vec{\omega} \times \cdot \,\big)$ ماتریسی است که برآورده می کند.
$\big(\,\vec{\omega} \times \cdot \,\big) \,\vec{r} \, = \, \vec{\omega} \times \vec{r}$
برای هر بردار سه بعدی $\vec{r}$ در کادر ثابت بدنه.
توجه کنید که معادله اول (بردار) از معادله دوم (ماتریسی) جدا شده است، بنابراین آن را جداگانه حل می کنیم.
ابتدا اجازه دهید $\, \omega_1 \, \vec{e}_1 = P_1\, \vec{\omega}\,$ و$\,\vec{\omega}_{23} = P_{23}\, \vec{\omega}\,$را تنظیم کنیم. سپس
$\vec{\omega} = {\omega}_1 \, \vec{e}_1 \, + \, \vec{\omega}_{23}$
سپس
$J \, \vec{\omega} \,=\,I_1 \, P_1 \vec{\omega} \, + \, I P_{23} \, \vec{\omega} = I_1 \, \omega_1\, \vec{e}_1 \, + \, I\, \vec{\omega}_{23}$
و معادله می شود$\begin{align}
I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} \vec{e}_1 \, + \, I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \, =& \,\big(\, I_1 \, \omega_1\, \vec{e}_1 \, + \, I\, \vec{\omega}_{23}\,\big) \times \big(\, \omega_1 \, \vec{e}_1 + \vec{\omega}_{23} \,\big)\\ & \, -\, 2lF \,\, \frac{\, \vec{e}_1 \times\big( {\omega}_1 \vec{e}_1 + \vec{\omega}_{23}\big)\,}{|\vec{e}_1 \times \big( {\omega}_1 \vec{e}_1 + \vec{\omega}_{23}\big)|}\\
=& \, \big(\, I_1 \, \omega_1\, \, - \, I\, \omega_1\,\big) \,\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23} \, -\, 2lF \,\, \frac{\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}\,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}|}
\end{align}$
یا معادل آن،
$\begin{align}
I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} \vec{e}_1 \, + \, I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,
=& \, \left(\big(\, I_1 - I\,\big) \, \omega_1 \, - \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}
\end{align}$
از قبل،$I = I_1 + 2ml^2$، بنابراین $I - I_1 = 2ml^2$، که معادله را می سازد.
$\begin{align}
I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} \vec{e}_1 \, + \, I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,
=& \, - \, \left( 2ml^2\, \omega_1 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}
\end{align}$
سپس، اجازه دهید هنجار $|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}|$ را ساده کنیم. طبق تعریف، $\vec{\omega}_{23}$طرح متعامد سرعت زاویه ای$\vec{\omega}$ بر روی صفحه مختصاتی است که توسط بردارهای مختصات $\vec{e}_2$ و $\vec{e}_3$که عمود بر بردار مختصات باقی مانده $\vec{e}_1$هستند. بنابراین،$\vec{e}_1$ بر$\vec{e}_1$عمود بر$\vec{\omega}_{23}$ است. معادل حاصل ضرب نقطه ای $\vec{e}_1 \cdot \vec{\omega}_{23} \, = \, 0$ است. از این رو هنجار است
$\begin{align}
|\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}| &= |\vec{e}_1| \, |\vec{\omega}_{23}| = |\vec{\omega}_{23}|
\end{align}$
و معادله را می توان در from نوشت
$\begin{align}
I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} \vec{e}_1 \, + \, I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,=& \, - \, \left( 2ml^2\, \omega_1 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}
\end{align}$
حال، از آنجایی که معادله دارای دو جزء متعامد است، یکی در امتداد$\vec{e}_1$ و دیگری موازی با$G \,\vec{e}_2 \, \vec{e}_3$، اجازه دهید هر دو طرف معادله را با$\vec{e}_1$ ضرب نقطه ای کنیم.
$\begin{align}
\vec{e}_1 \cdot \left( I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} \vec{e}_1 \, + \, I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23}\right) \,=& \, - \, \vec{e}_1 \cdot \left( \, \left( 2ml^2\, \omega_1 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23} \right)\\
&\\
I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1) \, + \, I\, \left(\vec{e}_1 \cdot \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \right) \,=& \, - \, \left( 2ml^2\, \omega_1 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \big(\, \vec{e}_1 \cdot ( \,\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23} ) \big)\\
\end{align}$با این حال، با توجه به ویژگی های محصول متقاطع $\vec{e}_1$ عمود بر $\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}$ است، به این معنی که
$\big(\, \vec{e}_1 \cdot ( \,\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23} ) \big) = 0$
در نتیجه به آن می رسیم
$I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} (\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1) \, + \, I\, \frac{d}{dt}(\vec{e}_1 \cdot \vec{\omega}_{23} ) \,= \, 0$
و از آنجایی که $(\vec{e}_1 \cdot \vec{\omega}_{23} ) = 0$ و $(\vec{e}_1 \cdot \vec{\omega}_{23} ) = 0$ نتیجه می گیریم که
$I_1 \, \frac{d\omega_1}{dt} = 0$
از آنجایی که فرض کرده ایم $I_1$ صفر نیست، تنها احتمال باقی مانده این است
$\frac{d\omega_1}{dt} = 0$
یعنی مولفه $\vec{e}_1$ سرعت زاویه ای ثابت است. اجازه دهید این ثابت را با $\omega_1^0$ نشان دهیم
معادله دیفرانسیل برداری برای سرعت زاویه ای به کاهش می یابد
$\begin{align}
I\, \frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,=& \, - \, \left( 2ml^2\, \omega_1^0 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}
\end{align}$
ساده‌سازی نهایی معادله از این نتیجه حاصل می‌شود که قدر$|\vec{\omega}_{23}|$ ثابت است. برای اثبات آن، با تفکیک قدر $|\vec{\omega}_{23}|$با توجه به زمان t به مجذور شروع می کنیم:
$\begin{align}
\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} \,|\vec{\omega}_{23}|^2\right) \, =& \, \vec{\omega}_{23} \cdot \frac{d\vec{\omega}_{23}}{dt}\\
=& \, \vec{\omega}_{23} \cdot \left( - \, \frac{1}{I}\left( 2ml^2\, \omega_1^0 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23} \right)\\
=& \, - \, \frac{1}{I}\left( 2ml^2\, \omega_1^0 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{|\vec{\omega}_{23}|}\right) \big( \vec{\omega}_{23} \cdot ( \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}) \big)\\
=& \, 0
\end{align}$
زیرا با توجه به ویژگی های حاصلضرب متقاطع $|\vec{\omega}_{23}|$ عمود بر $\vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}$ است. زنجیره هویت های اخیر تنها زمانی امکان پذیر است که
$\frac{1}{2} \,|\vec{\omega}_{23}|^2 = \text{const}$
یعنی قدر $|\vec{\omega}_{23}|$ نیز ثابت است. اجازه دهید این ثابت را با علامت گذاری کنیم
$\omega_{23}^0 = |\vec{\omega}_{23}|$
در نهایت، معادله دیفرانسیل برداری برای سرعت زاویه ای به معادله دیفرانسیل بردار ضریب ثابت خطی ساده می شود.
$\begin{align}
\frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,=& \, - \, \left( \frac{2ml^2}{I}\, \omega_1^0 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{I \,{\omega}_{23}^0}\right) \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}
\end{align}$
در مجموع، کل سیستم به کاهش می یابد
$\begin{align}
&\vec{\omega} = {\omega_1^0} \,\vec{e}_1 + \,\vec{\omega}_{23}\\
&\omega_{23}^0 = |\vec{\omega}_{23}|\\
&I = \frac{4}{5}mr^2 \, + \, 2ml^2\\
&\nu_0 = - \, \left( \frac{2ml^2}{I}\, \omega_1^0 \, + \,\, \frac{\, 2lF \,}{I \,{\omega}_{23}^0}\right)\\
&\frac{d}{dt}\vec{\omega}_{23} \,= \, \nu_0\, \vec{e}_1 \times \vec{\omega}_{23}\\
&\frac{d}{dt} U^T \, = \, - \big(\,\vec{\omega} \times \cdot \,\big)\, U^T
\end{align}$
در این مرحله، می توانیم معادله دیفرانسیل برداری را برای $\vec{\omega}_{12}$ حل کنیم، جایی که جواب
$\vec{\omega}_{12} \, = \, \omega_{23}^0\cos(\nu_0 t)\,\vec{e}_2 \, + \, \omega_{23}^0\sin(\nu_0 t)\,\vec{e}_3$
و بنابراین سرعت کامل زاویه ای است
$\vec{\omega} \, = \, \omega_1^0\, \vec{e}_1 \, + \, \omega_{23}^0\cos(\nu_0 t)\,\vec{e}_2 \, + \, \omega_{23}^0\sin(\nu_0 t)\,\vec{e}_3$
در مورد شما $\omega_1^0 = 0$ (و در صورت تمایل می توانید r=0 را تنظیم کنید، یعنی جفت کره را به نقاط جرمی کوچک کنید) سرعت زاویه ای برابر است با
$\vec{\omega} \, = \, \omega_0\cos(\nu_0 t)\,\vec{e}_2 \, + \, \omega_0\sin(\nu_0 t)\,\vec{e}_3$
که در آن ω0 قدر ثابت سرعت زاویه ای است. همانطور که می بینید، $\vec{\omega}$ دایره ای را می پیماید که در صفحه مختصات $\,G \, \vec{e}_2 \, \vec{e}_3\,$، در مرکز G و شعاع ω0 قرار دارد. علاوه بر این، $\vec{\omega}$ از آن ها به طور یکنواخت، با فرکانس ثابت $\nu_0$ عبور می کند.
