ماه در یک محور نیمه اصلی به طول 384400 کیلومتر به دور زمین می چرخد که پریاپسیس آن 363300 کیلومتر و آپوآپسیس 405500 کیلومتر است. (همه ارقام این برگه اطلاعات ناسا.)
اگر ماه با سرعت ثابت به دور زمین بچرخد، میانگین فاصله آن 384400 کیلومتر خواهد بود. متأسفانه، همانطور که کپلر دریافت، اجرام آسمانی در نزدیکی پریاپسیس سریعتر و در آپوآپسیس کندتر حرکت می کنند.
این بدان معناست که میانگین فاصله واقعی ماه از زمین کمی بزرگتر از 384400 کیلومتر است، زیرا سرعت مداری کمتری در دورتر از زمین دارد.
بنابراین، میانگین فاصله واقعی ماه از زمین چقدر است؟ آیا فرمولی وجود دارد (من فرض می کنم شامل حساب دیفرانسیل و انتگرال است) که برای هر سیستم دو بدنه راه حلی ارائه دهد؟میانگین فاصله میانگین در طول زمان برای هر مدار کپلین $a(1+\frac{1}{2}e^2)$ است، که در آن a محور نیمه اصلی و e خارج از مرکز است. با استفاده از برگه اطلاعات ناسا شما، حدود 384979 کیلومتر برای ماه بدست میآورم. همانطور که انتظار می رود این مقدار کمی بزرگتر از 384400 کیلومتر است.
توجه: من این را فاصله متوسط "واقعی" نمی نامم زیرا بیش از یک راه برای محاسبه میانگین وجود دارد.
نظریه قمری پیچیده است. ؛) مدار ماه به دور زمین تقریباً یک بیضی کپلر ثابت است. همانطور که در اینجا ذکر کردم، مدار ماه به دور مرکز زمین-ماه دارای گریز از مرکز ~ 0.0549 است و کاملاً پویا است، با چرخههای عقبگرد و گرهی نسبتاً کوتاه، عمدتاً به دلیل اغتشاش توسط خورشید.
اندازه مدار ماه در طول سال متفاوت است. در اینجا یک نمودار روزانه (با اجازه JPL Horizons) از فاصله زمین تا ماه برای 13 ماه قمری (ناهنجار) آمده است.
فاصله زمین تا ماه
میانگین مسافت طی آن دوره تقریباً 384975 کیلومتر است. حداکثر تغییرات ماهانه زمانی رخ می دهد که منظومه زمین-ماه نزدیک به حضیض یا آفلیون باشد.
این نمودار با استفاده از این اسکریپت Sage / Python که بر روی سرور SageMathCell اجرا می شود، ایجاد شده است. دستورالعمل های مختصری در مورد استفاده از نسخه قبلی آن اسکریپت در اینجا وجود دارد.
اغلب گفته می شود که محور نیمه اصلی فاصله «متوسط» بین کانون اصلی بیضی و جسم در حال گردش است. این کاملاً دقیق نیست، زیرا بستگی به میانگین دارد.
میانگین فاصله بیش از ناهنجاری خارج از مرکز در واقع منجر به محور نیمه اصلی می شود.
میانگین گیری بیش از ناهنجاری واقعی (زاویه مداری واقعی، اندازه گیری شده در کانون) منجر به محور نیمه کوچک می شود، $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$
میانگین گیری بیش از ناهنجاری میانگین (کسری از دوره مداری که از مرکز سپری شده است، که به صورت زاویه بیان می شود) میانگین زمانی، $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)$ را به دست می دهد.
در معادلات فوق، e خارج از مرکز بیضی است.حدس شما در مورد نیاز حساب دیفرانسیل و انتگرال صحیح است. کاری که باید انجام دهید این است که فاصله ماه را در یک مدار ادغام کنید تا فاصله متوسط را پیدا کنید.
با شروع از معادله زیر، فاصله مداری ماه (یا در واقع هر جسم در حال گردش)، r، به عنوان تابعی از زاویه ی θ با معادله مداری به دست می آید.$r(\theta) = \frac{L^2}{m^2\mu}\frac{1}{1+e\cos(\theta)}$
در این معادله، متغیرها دارای تعاریف زیر هستند:
r - فاصله جسم از جسمی که به دور آن می چرخد.
θ - زاویه در یک نقطه معین در مدار، همانطور که از پریاپسیس اندازه گیری می شود. این به معنای θ=0 در پریاپسیس و θ=π در آپوآپسیس است.
L - تکانه زاویه ای مداری جسم. این به سادگی توسط mrv داده می شود که در آن m جرم، r فاصله در هر نقطه از مدار، و v سرعت مداری در آن نقطه است. از آنجایی که تکانه زاویه ای مداری حفظ می شود، هر نقطه در امتداد مدار مقدار یکسانی را نشان می دهد. برگه اطلاعاتی که به آن پیوند دادید، هم فاصله آپوآپسیس و هم سرعت آن نقطه را نشان می دهد، بنابراین می توانید L را از روی آن محاسبه کنید.
m - مانند بالا، جرم جسم در حال گردش. توجه داشته باشید که از نظر فنی فرمول L با m در این معادله لغو می شود، به همین دلیل است که اغلب قسمت$L^2/m^2\mu$ را می بینید که اغلب به صورت $\ell^2/\mu$نوشته می شود که در آن ℓ تکانه زاویه ای در واحد جرم است (یعنی فقط rv).
μ - پارامتر گرانشی استاندارد سیستم، با $G(m_1 + m_2)$ که در آن m1 و m2 جرم دو جسم درگیر (زمین و ماه در این مورد) و G ثابت گرانشی است.
ه - گریز از مرکز مدار. همچنین در برگه اطلاعات.
بنابراین در اینجا کمی کار وجود دارد، اما می توانید همه اعداد را پیدا کنید و آنها را به معادله وصل کنید.
حال، اینجا به بخش حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد. برای یافتن فاصله مداری متوسط، r¯، باید r(θ) را در کل مدار ادغام کنید. بنابراین میانگین می شود
$\bar{r} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} r(\theta)\ d\theta = \frac{\ell^2/\mu}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+0.0549\cos(\theta)}\ d\theta$
من هیچ علاقه ای به انجام آن انتگرال ناخوشایند ندارم، بنابراین فقط آن را به یک ماشین حساب برای خودم متصل می کنم. من متوجه شدم که این به موارد زیر جواب می دهد:
$\bar{r} = 1.00151\frac{\ell^2}{\mu}$
با استفاده از برگه اطلاعاتی که در سوال خود پیوند دادید، مقادیر زیر $\ell = 3.922\times10^{11}\:\mathrm{m^2/s}$ و $\mu = 4.033\times10^{14}\:\mathrm{m^3/s^{-2}}$را پیدا کردم. به این معنی که وقتی آن اعداد را به معادله متصل میکنم، فاصله مداری متوسطی به دست میآورم
$\bar{r} = 384\ 234\:\mathrm{km}$
با این حال، همه اینها کار زیادی برای محاسبه چیزی بود که میتوانست خیلی راحتتر به آن دست یابد. به یاد داشته باشید که در بالا گفتم که L حفظ می شود بنابراین مقدار آن در هر نقطه از مدار ثابت است. بنابراین می توانید بگویید r1v1=r2v2 و چون برگه اطلاعات شعاع و سرعت در اوج و سرعت متوسط را به شما می دهد، می توانید به راحتی شعاع متوسط را محاسبه کنید. هر چند شما همان مقدار را پیدا خواهید کرد.
و در اینجا دوباره، ما بیش از آنچه نیاز داشتیم کار کرده ایم. ما بر روی ناهنجاری واقعی ادغام کردیم تا میانگین فاصله مداری را پیدا کنیم، اما این فقط یک محور نیمه فرعی است که 383 800 کیلومتر است، خیلی دور از آنچه من محاسبه کردم نیست. ما فقط می توانستیم آن را از ابتدا نگاه کنیم!I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering
رهام حسامی ترم هفتم مهندسی هوافضا