زمان صرف شده برای رسیدن به سرعت جریان
با ترکیب معادله برنولی و معادله پیوستگی، میتوان سرعت جریان را به صورت زیر بدست آورد:
$u = \sqrt{2gh\left(\frac{{A_1}^{2}}{{A_1}^{2}-{A_2}^{2}}\right)}$
که در آن A1 مساحت سطح باز و A2 مساحت سوراخ است.
اما سوال من این است که چقدر طول می کشد تا به این سرعت برسیم؟
فرض کنید سوراخ در ابتدا بسته بود، و ناگهان باز شد، ذرات سیال از حالت سکون اولیه تحت فشار قرار میگیرند و شتاب میگیرند تا زمانی که به این سرعت ثابت برسند. چه مدت این می کشد؟ فکر نمی کنم بتوان آن را آنی فرض کرد؟
معادله معمول برنولی حالت پایدار تأثیر نسبت مساحت a/A (که در آن a مساحت سوراخ و A سطح مقطع مخزن است) بر سرعت پساب را به درستی توصیف نمی کند. این به این دلیل است که معادله برنولی فقط برای جریان حالت پایدار کاربرد دارد و جریان در این سیستم گذرا است. از آنجایی که سطح سیال در حال تغییر است، سرعت سیال در هر ارتفاع ثابت داخل مخزن با زمان تغییر می کند. اما معادله معمول برنولی این بخش از شتاب سیال را در نظر نمی گیرد. فقط شامل بخش انفعالی شتاب می شود. با افزایش نسبت مساحت های a/A، خطای پیش بینی از پیش بینی معمول معادله برنولی بدتر می شود. برای موردی که a/A = 1، معادله برنولی به طور کامل نمی تواند سقوط آزاد مورد نیاز را پیش بینی کند. برای تعیین صحیح راهحل این مسئله، باید از اصلاح وابسته به زمان معادله برنولی استفاده کرد که به درستی قسمت از دست رفته شتاب را شامل میشود.
شرح مدل در توسعه حاضر، ما فرض می کنیم که سوراخ خروجی در پایین مخزن قرار دارد. این به ما اجازه می دهد تا فرض کنیم که سرعت جریان در مخزن اساساً عمودی و یک بعدی است، نه اینکه مجبور باشیم با یک جریان سیال دو بعدی پیچیده که به سوراخ خروجی نزدیک می شود، مبارزه کنیم. این امر به طور قابل ملاحظه ای تعیین انرژی جنبشی سیال در مخزن و همچنین سرعت انجام کار گرانشی روی سیال در مخزن را ساده می کند.
فرض کنید $v_x(t)$ = سرعت خروج عمودی رو به پایین از مخزن$v(t)$ = سرعت عمودی رو به پایین سیال در مخزن a = سطح مقطع سوراخ خروجی A = سطح مقطع مخزن h(t) = موقعیت سطح بالایی آب در زمان tاز معادله تداوم:
$v(t)=\frac{av_x(t)}{A(z)}\tag{1}$
از سینماتیک،$\frac{dh}{dt}=-v(t)=-\frac{av_x(t)}{A}\tag{2}$
ما در مرحله بعد یک تعادل انرژی مکانیکی را روی سیستم انجام خواهیم داد، و سرعت انجام کار گرانشی روی محتویات مخزن را برابر با نرخ تغییر انرژی جنبشی سیال در مخزن به اضافه سرعت خروج انرژی جنبشی تنظیم می کنیم. مخزن در جریان خروجی
سرعت انجام کار گرانشی روی محتویات مخزن در زمان t با ضرب سرعت انجام کار گرانشی در واحد حجم در حجم مخزن به دست می آید:
$\rho g v(t) Ah(t)=\rho g v_x(t)ah(t)\tag{3}$
کل انرژی جنبشی سیال در مخزن در زمان t از ضرب انرژی جنبشی در واحد حجم در حجم مخزن به دست می آید:
$\rho \frac{v^2(t)}{2}Ah=\rho \frac{v_x^2(t)}{2}\frac{a^2}{A}h(t)\tag{4}$
نرخ تغییر انرژی جنبشی سیال در مخزن با ارزیابی مشتق زمانی بیان در Eqn به دست می آید. 4:
$\rho \frac{v_x^2(t)}{2}\frac{a^2}{A}\frac{dh}{dt}+\rho v_x(t)\frac{a^2}{A}h(t)\frac{dv_x(t)}{dt}\tag{5}$
جایگزینی معادله. 2 در این عبارت حاصل می شود:
$-\rho \frac{v_x^3(t)}{2}\frac{a^3}{A^2}+\rho v_x(t)\left(\frac{a^2}{A}\right)h(t)\frac{dv_x(t)}{dt}\tag{6}$
سرعت خروج انرژی جنبشی از مخزن در زمان t به صورت زیر است:
$\rho v_x(t)a\frac{v_x^2(t)}{2}\tag{roham7}$
اگر اکنون با تنظیم نرخ انجام کار گرانشی بر روی سیال در مخزن برابر با نرخ تولید انرژی جنبشی درون مخزن به اضافه نرخ انرژی جنبشی خروجی در جریان خروجی، تعادل انرژی مکانیکی گذرا را روی سیستم انجام دهیم، ما به دست آوردن:
$\rho g v_x(t)ah(t)=-\rho \frac{v_x^3(t)}{2}\frac{a^3}{A^2}+\rho v_x(t)\left(\frac{a^2}{A}\right)h(t)\frac{dv_x(t)}{dt}+\rho v_x(t)a\frac{v_x^2(t)}{2}\tag{8}$
اگر معادله را تقسیم کنیم. 8 با$\rho v_x(t)a$، به دست می آوریم:
$g h(t)=\frac{v_x^2(t)}{2}\left[1-\left(\frac{a}{A}\right)^2\right]+h(t)\frac{a}{A}\frac{dv_x(t)}{dt}\tag{9}$
معادله 9 به طور کامل با فرم استاندارد معادله گذرا برنولی ارائه شده در ادبیات مطابقت دارد.
زمان t را می توان به عنوان متغیر مستقل در این معادله با عمق h با ترکیب Eqn جایگزین کرد. 9 با معادله 2 تا بازده:
$2g h=v_x^2\left[1-\left(\frac{a}{A}\right)^2\right]-h\left(\frac{a}{A}\right)^2\frac{dv_x^2}{dh}\tag{roham10}$
تفاوت اصلی بین Eqn. 10 و شکل حالت پایدار معمول معادله برنولی عبارت دوم در سمت راست است که مشتق v2x نسبت به h را شامل می شود. این عبارت اثرات بخشی از شتاب سیال را که از نسخه جریان ثابت معادله برنولی حذف شده است را نشان می دهد.
راه حل مدل معادله معادله. 10 به ما می گوید که سرعت جریان خروجی از مخزن$ v_x $تابعی از نسبت مساحت a/A، عمق اولیه سیال (غیر لزج) در مخزن $h_0$ و عمق سیال در هر نقطه خواهد بود. زمان دلخواه t، h(t). جواب تحلیلی کلی برای این معادله، مشروط به شرط اولیه $v_x=0$ در $h=h_0$ به صورت زیر به دست میآید:
$v_x=\sqrt{2gh\frac{\left[1-(h/h_0)^{\frac{1-2r}{r}}\right]}{1-2r}}\tag{11}$
جایی که $r=(a/A)^2$ برای موارد محدود کننده خاص که $r=1/\sqrt{2}$ و r=1، این راه حل به:
$v_x=\sqrt{-4gh\ln(h/h_0)}\tag{for r=1/√2}$
$v_x=\sqrt{2g(h_0-h)}\tag{for r = 1}$(برای r=1)
برای مورد r=1 (یعنی موردی که در آن مساحت سوراخ خروجی برابر با مساحت مخزن است)، معادله بالا برای سرعت جریان vx، همانطور که انتظار میرود، دقیقاً همان چیزی است که برای سقوط آزاد پیشبینی شده است.
نتایج مدل نتایج محاسبه شده از معادله. 11 برای جریان v_x (نرمال شده توسط$\sqrt{2gh_0}$ به عنوان تابعی از نسبت عمق سیال (بدون بعد) $h/h_0$ و نسبت مساحت (بدون بعد) a/A در شکل زیر نشان داده شده است.
. در تمام موارد، سرعت جریان برابر با z است
ابتدا ero (یعنی زمانی که$h = h_0$) و سپس با شتاب گرفتن سیال، هم در داخل مخزن و هم در جریان، به سرعت بالا می رود. با این حال، با ادامه کاهش عمق سیال در مخزن، سرعت جریان از حداکثر عبور می کند و سپس شروع به کاهش می کند. در نهایت با نزدیک شدن به عمق سیال به صفر، سرعت جریان خروجی نیز به صفر می رسد. (در مورد a/A = 1، حداکثر سرعت درست زمانی که مخزن خالی می شود به دست می آید.)
نتایج در شکل بالا کاملاً مطابقت دارد، به وضوح، سرعت جریان$v_x$ همیشه کمتر از سرعت توریسلی بر اساس عمق اولیه سیال در مخزن $\sqrt{2gh_0}$ است. با این حال، مقایسه$v_x$ با سرعت توریسلی که بر اساس عمق لحظهای سیال در مخزن h(t) محاسبه میشود، به جای عمق در زمان صفر، جالب است. شکل زیر سرعت جریان $v_x$ نرمال شده را بر حسب سرعت توریسلی محاسبه شده بر اساس عمق لحظه ای h(t) نشان می دهد که به عنوان تابعی از عمق بدون بعد h/h0 در مجموعه ای از مقادیر نسبت مساحت a/A رسم شده است. با توجه به نتایج در شکل، برای مقادیر (کوچک) نسبت مساحت a/A کمتر از 0.5، سرعت جریان بدون بعد $v_x/\sqrt{2gh(t)}$ به یک مقدار ثابت کاهش مییابد. با کاهش عمق سیال در مخزن. هرچه مقدار a/A کوچکتر باشد، سرعت بدون بعد با سرعت بیشتری کاهش می یابد. از راه حل تحلیلی ما (معادل 11)، مقداری که سطح سرعت بدون بعد به آن کاهش می یابد توسط:
$(v_x)_{level}=\sqrt{\frac{2gh(t)}{[1-2(a/A)^2]}}\tag{12}$
برای حالت a/A = 0.1 در OP این رشته، از شکل می بینیم که وقتی عمق h(t) به حدود 90 درصد عمق اولیه h0 کاهش یافت، سرعت قبلاً یکسان شده است.
برای مقادیر کوچک a/A، معادله. 12 برای سطح$ (v_x)$ را می توان به صورت خطی در $(a/A)^2$بیان کرد:
$(v_x)_{level}~\approxeq \frac{\sqrt{2gh}}{[1-(a/A)^2]}$
helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering