انبساط حرارتی یک دیسک چرخان

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2136

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

انبساط حرارتی یک دیسک چرخان

پست توسط rohamjpl »

تصور کنید که یک دیسک نازک از جرم M ، شعاع R و چگالی یکنواخت دارید که در محور تقارن خود با سرعت زاویه ای ω ثابت می چرخد. اصطکاک را نادیده بگیرید شما دیسک را در یک وان گرمایی غوطه ور می کنید که ΔT درجه گرمتر از دیسک است ، که باعث می شود اندازه دیسک با ضریب $\alpha > 0$ منبسط شود:$\Delta R = \alpha\,\Delta T\,R$ و از این رو اولین قدم در $\alpha \Delta T$ است
$\Delta R^2 \approx 2\alpha\, \Delta T\,R^2$ این به وضوح گشتاور اینرسی$I = \frac{1}{2}MR^2$ دیسک را افزایش می دهد.
سوال این است که اکنون تکانه زاویه ای L و انرژی E دیسک چه اتفاقی می افتد؟ اگر تصور کنید که L حفظ شده باشد زیرا (تا آنجا که من می بینم) هیچ گشتاور خارجی روی سیستم کار نمی کند ، ω با همان فاکتور I افزایش می یابد. اما این باعث کاهش کلی انرژی چرخشی $E = I\omega^2/2$ می شود. به نظر می رسد این ضد خلاف است - انرژی به نوعی برای فرار از دیسک نیاز دارد ، اما نمی تواند به داخل حمام حرارتی جریان یابد زیرا دومی در دمای مساوی یا بالاتر از دیسک است. اگر تصور کنید که L محافظت نشده باشد ، آیا افزایش یا کاهش می یابد و گشتاور مربوطه از کجا می آید یا به کجا می رود؟
این واقعا مشکل جالبی است. قبل از تغییر دمای دیسک ، توزیع جابجایی شعاعی u (r) و فشارها و تنش های همراه در جهت شعاعی و حلقه وجود دارد. بنابراین دیسک از ابتدا تغییر شکل می دهد و این در تعیین توزیع اولیه شعاع شعاعی و انرژی الاستیک ذخیره شده نقش دارد.
هنگامی که دما تغییر می کند ، توزیع جابجایی شعاعی دوباره تغییر می کند و تنش ها در نتیجه تغییر دما و کرنش شعاعی و حلقه ای ، بیش از آنهایی که از انبساط حرارتی غیرقانونی وجود دارند ، تغییر می کنند. این امر منجر به تغییر در انرژی الاستیک ذخیره شده دیسک می شود. بنابراین ، در حالی که تکانه زاویه ای دیسک ثابت خواهد ماند ، انرژی جنبشی آن تغییر خواهد کرد به طوری که مجموع انرژی جنبشی به علاوه انرژی الاستیک ذخیره شده قبل از افزایش دما ، همانند بعد از افزایش دما است.
اینها همه می توانند دقیقاً مدل شوند. اساس چنین مدلی اساساً تعیین توزیع جابجایی شعاعی u (r) قبل و بعد از آن است. جابجایی ها در جهت مماسی صفر خواهند بود و در جهت ضخامت می توان تنش صفحه را فرض کرد.
یک جرم M را در انتهای یک سیم الاستیک بدون جرم در نظر بگیرید که در یک دایره افقی با سرعت زاویه ای $omega_i$ حرکت می کند. سطح مقطع سیم A ، مدول الاستیک آن E ، ضریب انبساط خطی آن$\alpha$ و طول تمدید نشده آن $R_0$ است. در ابتدا ، طول سیم متصل به جرم چرخان $R_i$است. پس از ایجاد این حالت چرخش اولیه ، دمای سیم با ΔT افزایش یافته و در نتیجه ، طول آن به $R_f$ افزایش می یابد و سرعت زاویه ای آن به $\omega_f$ کاهش می یابد. با استفاده از تجزیه و تحلیل تنش-کرنش خطی (به عنوان مثال ، برای سویه های کوچک) ، (از نظر $R_0$ ، M ، E ، A ، α و $\alpha$) طول توسعه یافته اولیه $R_i$ ، طول طولانی نهایی $R_f$ و سرعت زاویه ای نهایی $\omega_f$ را پیدا کنید . همچنین نشان دهید که کاهش انرژی جنبشی جرم در نتیجه گرم شدن برابر با افزایش انرژی الاستیک ذخیره شده سیم است.تعادل نیرو بر روی جرم در حالت چرخش اولیه و در حالت گرم شده توسط:$k(R_i-R_0)=M\omega_i^2R_i\tag{1}$و$k(R_f-R_0-\alpha \Delta T R_0)=M\omega_f^2R_f\tag{2}$
$k=EA/R_0$. علاوه بر این ، حفظ حرکت زاویه ای نیاز به موارد زیر دارد:$\omega_fR_f^2=\omega_iR_i^2\tag{3}$
راه حل خطی (کرنش کوچک) این معادلات برای Ri ، Rf و ωf با استفاده از:$R_i=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}\right)\tag{4}$و$R_f=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}+\alpha \Delta T\right)\tag{5}$و$\omega_f=\omega_i(1-2\alpha \Delta T)\tag{6}$ تغییر در انرژی جنبشی جرم $\Delta (KE)$ توسط:$\Delta (KE)=\frac{M}{2}(\omega_f R_f)^2-\frac{M}{2}(\omega_i R_i)^2\tag{7}$ تغییر در انرژی الاستیک ذخیره شده سیم $\Delta (SE)$ توسط داده می شود
$\Delta (SE)=k\left[\frac{(R_f-R_0)^2}{2}-\frac{(R_i-R_0)^2}{2}-\frac{\alpha \Delta TR_0}{2}(R_f-R_i)\right]\tag{8}$
اگرمعادلات را جایگزین کنیم. 4-6 به 7 و 8 ، و اصطلاحات غیر خطی مرتبه بالاتر را نادیده می گیریم
$\Delta (KE) = M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{9}$
$\Delta (SE) = -M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{10}$
این تأیید می کند که کاهش انرژی جنبشی سیستم دقیقاً با افزایش انرژی الاستیک ذخیره شده سیستم جبران می شود. این روشی است که انرژی در سیستم حفظ می شود..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست