دینامیک ساختاری: چرا بردارهای حالت شکل متعامدند

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2141

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

دینامیک ساختاری: چرا بردارهای حالت شکل متعامدند

پست توسط rohamjpl »

می گوییم 2 بردار متعامد هستند اگر بر هم عمود باشند. یعنی حاصل ضرب نقطه ای دو بردار صفر است. تعریف. اگر هر جفت بردار متعامد باشد، می گوییم که مجموعه ای از بردارها { v1, v2, ..., vn} متعامد هستند
هنگامی که با یک سیستم دینامیکی MDOF میرایی نشده سروکار داریم، می‌توان فرکانس طبیعی (مقدار ویژه) و بردار حالت متناظر (بردار ویژه) برای حالت n را با حل مسئله مقدار ویژه پیدا کرد:
$[K] \{ \phi \}_n = \omega_n^2 [M] \{ \phi \}_n$
علاوه بر این، در بسیاری از متون گفته شده است که برای هر دو حالت، n و r، بردارهای ویژه آنها متعامد هستند، زیرا می توان آنها را برای انجام موارد زیر نشان داد:
$\{ \phi \}_n [M] \{ \phi \}_r = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \{ \phi \}_n [K] \{ \phi \}_r = 0$
با این حال، به طور کلی، دو بردار به صورت متعامد تعریف می شوند اگر:$\;\;\; \{ \phi \}_n^T \{ \phi \}_r = 0 \;\;\;$، و این در واقع برای بردارهای حالت شکلی که با حل مسئله مقدار ویژه برای یک سیستم دینامیکی بدون میرا پیدا می کنید، صادق نیست!
فقط برای اینکه کاملا واضح باشد، با استفاده از سیستم 2DOF مثالی می زنم:تصویر
سیستم دینامیک 2DOF
برای چنین سیستمی، ماتریس های سختی و جرم به صورت زیر خواهد بود:
$K =
\begin{bmatrix}
k_1 + k_2 & -k_2 \\
-k_2 & k_2
\end{bmatrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; M =
\begin{bmatrix}
m_1 & 0\\
0 & m_2
\end{bmatrix}$
من فقط چند مقدار دلخواه را انتخاب می کنم:
$m_1 = 50 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; m_2 = 20 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; k_1 = 90 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; k_2 = 50$

که می دهد:

$K =
\begin{bmatrix}
140 & -50 \\
-50 & 50
\end{bmatrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; M =
\begin{bmatrix}
50 & 0\\
0 & 20
\end{bmatrix}$
با حل مسئله مقدار ویژه با استفاده از این ماتریس ها، بردارهای ویژه زیر را دریافت می کنم:
$\{ \phi \}_1 =
\begin{Bmatrix}
0.575\\
1.000
\end{Bmatrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \{ \phi \}_2 =
\begin{Bmatrix}
-0.695\\
1.000
\end{Bmatrix}$
که می دهد:
$\{ \phi \}_1^T \{ \phi \}_2 = 0.6 \neq 0$
با استفاده از ماتریس جرم یا سختی، مطمئناً به اندازه کافی به دست می آوریم:
$\{ \phi \}_1 [M] \{ \phi \}_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \{ \phi \}_1 [K] \{ \phi \}_2 = 0$
اما همچنان $\{ \phi \}_1^T \{ \phi \}_2 \neq 0$ بنابراین متعامد نیستند! پس چرا آنها را متعامد می نامیم؟hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست