کاربرد فیزیکی بردارها در یک سوال سیستم قرقره

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2140

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

کاربرد فیزیکی بردارها در یک سوال سیستم قرقره

پست توسط rohamjpl »

Physical application of vectors on a pulley system question

اجسام با جرم m1 و m2 روی صفحات شیبدار هموار 30 و 60 درجه به هم چسبیده اند که d فاصله m1 از قرقره صاف است. آنها توسط یک رشته سبک غیر قابل امتداد به هم متصل می شوند بنابراین هیچ نیروی کششی وجود ندارد.
تصویر
(الف) نشان دهید که وقتی اجسام آزاد می شوند، m1 ​​فقط در صورتی به قرقره شتاب می گیرد که $m_1<\sqrt{3}m_2$
(ب) با فرض اینکه شرط در (a) برآورده شده است، نشان دهید که m1 با سرعت $\sqrt{\frac{dg(\sqrt{3}m_2-m_1)}{m_1+m_2}}$ که g نیروی شتاب دهنده است، به قرقره برخورد می‌کند. به جاذبه
برای (الف) نوشتم؛ اگر m1 به قرقره می رود، مولفه عمودی m2> جزء عمودی m1
$\therefore \sin{(30)}m_1<\sin{(60)}m_2$ که $m_1<\sqrt{3}m_2$است. من مطمئن نیستم که استدلال من درست است، آیا کسی می تواند آن را تأیید کند؟
برای قسمت (ب) من هیچ سرنخی نداشتم که قرار است چه کار کنم، سعی کردم از$a=\frac{F}{m}$ استفاده کنم و $a=\frac{\sqrt{3}m_2-gm_1}{m_1}$را دریافت کردم و سپس ادغام کردم اما به جایی نرسید، آیا کسی می تواند این قسمت را حل کند؟
این یک مشکل استاتیک ساده است. یک FBD (نمودار نیروی آزاد بدن) در اطراف توده ها ترسیم کنید. تمام نیروها را در دو جهت متعامد، یکی موازی با شیب مربوطه، دیگری عمود بر شیب مربوطه، حل کنید. ما فقط باید مولفه های قبلی را برای راه حل در نظر بگیریم.
جرم m_1$ $شروع به شتاب گرفتن (با قدر a) به سمت قرقره در امتداد سطح شیبدار خواهد کرد اگر و تنها در صورتی که یک جزء خالص نیرویی وجود داشته باشد که آن را به سمت بالا بکشد. یک جزء از وزن آن وجود دارد که آن را از قرقره دور می کند برابر $m_1g cos 60^{\circ}$کشش T در ریسمان آن را به سمت قرقره می کشد. بنابراین می توانیم این شرط را بیان کنیم:
$F_1 = m_1a = T - m_1g cos 60^{\circ} = T - \frac 12 m_1g$
از آنجایی که ریسمان انبساط ناپذیر است و کشیده می ماند، کشش با همان قدر T نیز در m_2$ $به عقب کشیده می شود، و همچنین با قدر a شتاب می گیرد (در غیر این صورت ریسمان متلاشی می شود، کشیده می شود یا می شکند).
بنابراین می توانیم بیان کنیم:
$F_2 = m_2a = m_2g cos 30^{\circ} - T = \frac {\sqrt 3}2 m_2g - T$
با اضافه کردن این دو برای حذف T، دریافت می کنیم:
$(m_1+m_2)a = \frac 12g(\sqrt 3m_2 - m_1)$
$a = \frac{g(\sqrt 3m_2 - m_1)}{2(m_1+m_2)}$
و این معادله ای است که می خواهیم برای بقیه راه حل استفاده کنیم.
برای قسمت a)، ما به a>0 نیاز داریم، بنابراین $\sqrt 3m_2 - m_1 > 0 \implies m_1 < \sqrt 3m_2$.
برای بخش ب) توجه می کنیم که شتاب ثابت است، بنابراین می توانیم یک بار نسبت به زمان ادغام کنیم تا بزرگی سرعت را بیابیم و بار دیگر بزرگی جابجایی را پیدا کنیم (و این از مبدأهای مربوط به جرم ها است. ، به موازات شیب های مربوطه خود).
$v_1(t) = \frac{g(\sqrt 3m_2 - m_1)}{2(m_1+m_2)}t$
$s_1(t) = \frac{g(\sqrt 3m_2 - m_1)}{4(m_1+m_2)}t^2$
وقتی مسافت طی شده توسط m1 در امتداد سطح شیب دار d باشد،
$\frac{g(\sqrt 3m_2 - m_1)}{4(m_1+m_2)}t^2 = d$
$t = 2\sqrt{\frac{(m_1+m_2)d}{g(\sqrt 3 m_2 - m_1)}}$
آن را در معادله بزرگی سرعت جایگزین کنید تا به دست آورید:$v_1 = \frac{g(\sqrt 3m_2 - m_1)}{2(m_1+m_2)} \cdot 2\sqrt{\frac{(m_1+m_2)d}{g(\sqrt 3 m_2 - m_1)}} = \sqrt{\frac{dg(\sqrt 3m_2 - m_1)}{m_1+m_2}}$
همان طور که خواسته شده.
اما، صادقانه بگویم، بخش ب) به سادگی توسط حفاظت از انرژی انجام می شود. انرژی مکانیکی کل سیستم دو رشته جرمی ثابت می ماند زیرا صرفاً توسط یک میدان نیروی محافظه کار (گرانش) بر روی آن تأثیر می گذارد. هیچ نیروی اتلافی مانند اصطکاک (رمپ صاف) وجود ندارد.
انرژی پتانسیل بدست آمده توسط m1 هنگام رسیدن به قرقره $m_1g\sin 30^{\circ}d$ است. انرژی پتانسیل از دست رفته توسط m2 در طول همان رویداد $m_2g\cos 30^{\circ}d$ است. انرژی جنبشی به دست آمده توسط سیستم$\frac 12(m_1 + m_2)v^2$است
$\Delta PE + \Delta KE = 0$
$m_1g\sin 30^{\circ}d-m_2g\cos 30^{\circ}d + \frac 12(m_1 + m_2)v^2$
v را حل کنید و به همان نتیجه خواهید رسید و بسیار ساده تر و زیباتر.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست