حفاظت از قانون نیوتن

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1852

سپاس: 3351

جنسیت:

تماس:

حفاظت از قانون نیوتن

پست توسط rohamjpl »

فرض کنید F مستقل از سرعت است، بنابراین قانون نیوتن را می توان به صورت: $m \ddot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) .$ بیان کرد. سپس یک تابع انرژی از فرم
$E(\mathbf{x}, \dot{\mathbf{x}})=\frac{1}{2} m|\dot{\mathbf{x}}|^{2}+V(\mathbf{x})$
ثابت است (یعنی برای هر جواب معادله نیوتن E ثابت مستقل از t است) اگر و فقط اگر V راضی باشد
$-\nabla V=\mathbf{F}.$
اثبات با محاسبه است:
$\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m|\dot{\mathbf{x}}(t)|^{2}+V(\mathbf{x}(t))\right) &=m \sum_{j=i}^{n} \dot{x}_{j}(t) \ddot{x}_{j}(t)+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} \dot{x}_{j}(t) \\
&=\dot{\mathbf{x}}(t) \cdot[m \ddot{\mathbf{x}}(t)+\nabla V] \\
&=\dot{\mathbf{x}}(t) \cdot[\mathbf{F}(\mathbf{x})+\nabla V(\mathbf{x})].
\end{aligned}$
سوال اینجاست که آیا $-\nabla V=\mathbf{F}$ انرژی قابل مشاهده حفظ شده است؟
اما چگونه می توان بخش "تنها اگر" را ثابت کرد؟
شما قبلاً بخش "فقط اگر" را ثابت کرده اید. چیزی که اشتقاق شما نشان می دهد این است
$\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m|\dot{\mathbf{x}}(t)|^{2}+V(\mathbf{x}(t))\right)$
فقط در صورتی برابر با صفر است
$\mathbf{F} = -\nabla V.$به عبارت دیگر، کار شما ثابت می کند
$\mathbf{F} = -\nabla V \implies \frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m|\dot{\mathbf{x}}(t)|^{2}+V(\mathbf{x}(t))\right) = 0.$
حال، برای جهت دیگر، با این فرض شروع کنید که
$\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m|\dot{\mathbf{x}}(t)|^{2}+V(\mathbf{x}(t))\right) = 0$و استخراج کنید
$\mathbf{F} = -\nabla V.$
مشتق بسیار شبیه به آنچه قبلاً انجام داده اید به نظر می رسد.اجازه دهید به این مثال یک بعدی نگاه کنیم
انرژی جنبشی است$T=\frac{m}{2}\,\dot{x}^2$
و انرژی پتانسیل است$U=U(x)$
با اویلر لاگرانژ دریافت می کنید$m\,\ddot{x}+\frac{\partial}{\partial x}\,U(x)=0$
بنابراین طبق قانون دوم نیوتن$F=-\frac{\partial}{\partial x}\,U(x)$
و کل انرژی$E=T+U(x)=~\text{constant}$ ثابت
اما اگر انرژی پتانسیل :
$U=U(x,t)$معادله حرکت را بدست می آورید$m\,\ddot{x}+\frac{\partial}{\partial x}\,U(x,t)=0$
و نیروی شماست$F=-\frac{\partial}{\partial x}\,U(x,t)$و$E=T+U(x,t)\ne ~\text{constant}$ ثابت
بنابراین فقط اگر انرژی پتانسیل U=U(x) باشد، یا F=F(x) انرژی کل ثابت باشد.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست