ممان دوم اینرسی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1622

سپاس: 3160

جنسیت:

تماس:

ممان دوم اینرسی

پست توسط rohamjpl »

ممان دوم سطح از کجا میاد منظور از ممان دوم اینرسی چیه
ممان دوم مساحت که به عنوان ممان اینرسی سطح صفحه یا ممان ناحیه دوم نیز شناخته می شه یک ویژگی هندسی یک منطقه است که چگونگی را نشان می ده نقاط آن با توجه به یک محور دلخواه توزیع میشه. (مشابه نحوه توزیع جرم فقط در این ناحیه)ممانّ اول و دوم اینرسی چیست؟
اولین ممان مساحت، توزیع مساحت یک شکل حول محور چرخشیه برای یافتن مرکز یک ناحیه استفاده میشه. واحد در متر مکعب می باشد. ممان دوم مساحت یا ممان ناحیه دوم پراکندگی نقاط یک شکل در یک محور دلخواه است.
تفاوت بین ممان اول و دوم اینرسی چیست؟
تفاوت بین ممان اینرسی اول و دوم در این است که ممان اول از توان اول فاصله استفاده می کند در حالی که ممان اینرسی دوم از توان دوم فاصله استفاده می کند.(الف) اولین ممان مساحت برابر است با مجموع مساحت بار مسافت به یک محور [Σ(a x r)]. اندازه گیری توزیع مساحت یک شکل در رابطه با یک محور است. ممان اول مساحت معمولاً در کاربردهای مهندسی برای تعیین مرکز یک جسم یا ممان استاتیکی منطقه استفاده میشه
شما اگه یک دیسک دایره ای دارید و ممان اول را در مورد محوری که از مرکز آن می گذرد بگیرید، باید ممان اول صفر بشه یعنی در شرایط ایستا، دیسک شما می تواند روی یک سر پین که در مرکز قرار گرفته است، ساکن باشد. تعریفی از مرکز)
ب) ممان دوم مساحت که به عنوان ممان مساحت اینرسی یا ممان دوم اینرسی نیز شناخته می شود، خاصیتی از یک شکل است که برای پیش بینی مقاومت آن در برابر خمش و انحراف که با هم متناسب هستند، استفاده می شود.
ممان دوم مساحت که به عنوان ممان مساحت اینرسی نیز شناخته می‌شود، یک ویژگی هندسی یک ناحیه است که نحوه توزیع نقاط آن را با توجه به یک محور دلخواه نشان می‌دهد. واحد بعد ممان دوم مساحت طول تا توان چهارم L4 است و نباید با ممان جرمی اینرسی اشتباه گرفته شود. با این حال، اگر قطعه نازک باشد، گشتاور جرمی اینرسی برابر است با چگالی سطح ضربدر ممان سطحی اینرسی.${\displaystyle I_{x}=\iint _{A}y^{2}\,dx\,dy}$و${\displaystyle I_{y}=\iint _{A}x^{2}\,dx\,dy.}$
به عبارت دیگر منشأ چیست
$I_{xx} = \int\int yy \text{ }dxdy$
به نظر می رسد که مربوط به Radius of gyration باشد، اما هنوز برای من کاملاً اشکار و روشن نیست
$M_n = \int_{\mathbb{R}} x^n \rho(x) \mathrm{d}x.$در مورد مکانیک، ρ(x) به سادگی چگالی جرم است
دومین ممان منطقه از شعاع چرخش منشا می گیره. شعاع چرخش ریشه میانگین مربع فاصله ذرات از محور است. به عبارت دیگر، این یک فاصله متوسط با ذرات یک جسم صلب از یک محور است که برای حذف علائم منفی مربع می شود.
برای سیستمی از n ذره، برای به دست آوردن مرکز جرم - یک نقطه مرجع در نظر می گیریم. جرم موثر ضربدر فاصله تا مرکز جرم (که یک ممان است) برابر با مجموع گشتاورهای جرم های منفرد خواهد بود. اگر xc فاصله مرکز جرم تا نقطه مرجع باشد، پس
$\sum_{i=1}^nm_i\ x_{c}=\sum_{i=1}^nm_i x_i$
بنابراین، در مرکز جرم - وصل کردن هر دو معادله به سمت چپ $\sum_{i=1}^nm_i(x_{c}-x_i)=0$
خوب، من فکر می کنم این اولین ممان جرم است (که آن نیز برابر با صفر شده است).
تا آنجایی که من در تعریف شما می بینم، حدس می زنم که ممان دوم تقریباً می گویدممان (ممان جرم) است که به این معنی است
$I=\sum_{i=1}^nm_ix_i\times x_i\implies I=MX^2$
تصویر
با نگاهی به ناحیه A که حول محور X می چرخد، از شعاع چرخش برای نشان دادن توزیع میانگین ذرات در ناحیه استفاده می شود. بنابراین، برای بدست آوردن مقاومت این ناحیه (مقطع A) در مورد محور X، می توانیم آن را روی dx و dy ادغام کنیم.
به همین دلیل y مربع است. شعاع چرخش یا میانگین مجذور فاصله عمود بر محور چرخش است.
ایجاد معادله:
$I_{xx}=\int_A{R_{gr}^2}dA = \int_A{y^2}dA$
و در صورت چرخش حول محور y:
$I_{yy}=\int_A{R_{gr}^2}dA = \int_A{x^2}dA$
ممان دوم مساحت برای یک شکل دلخواه R با توجه به یک محور دلخواه ${\displaystyle BB'}$ به صورت تعریف می شود
${\displaystyle J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA}$
جایی که ${\displaystyle dA}$ عنصر مساحت بینهایت کوچک است و
${\displaystyle \rho }$ فاصله عمود بر محور ${\displaystyle BB'}$' است.
به عنوان مثال، وقتی محور مرجع مورد نظر، محور x است ممان دوم ناحیه$ {\displaystyle I_{xx}}$(اغلب به عنوان$ {\displaystyle I_{x}}$ نشان داده می‌شود) را می توان در مختصات دکارتی به عنوان محاسبه کرد
${\displaystyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy}$ ممان دوم منطقه در نظریه اویلر-برنولی تیرهای باریک بسیار مهم است.
ممان محصول منطقه به طور کلی تر، ممان حاصل از ناحیه به صورت تعریف می شود.
${\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}$
بینید ممان اینرسی $\bar{I}_{yz}=\int yz\text{ d}A$ممان دوم اینرسی نسبت به محور Z به شکل است
$\bar{I}_{yz}=\int yz^2\text{ d}A$ منظور من از این عبارت I-z است اما زمانی که پایه تیر Y در نظر گرفته می شود. به طور متناوب می توانیم I_xz را جستجو کنیم که x به عنوان پایه و z به عنوان ارتفاع تیر باشد.
در غیر این صورت اگر به دنبال مورب I_yz باشیم می دانیم که $\space Iyz = \sqrt{[(I_z)^2 + (I_y)^2]}$ است.
آنچه شما نشان داده اید اولین ممان سطح است، نه دوم. ممان دوم مساحت مجموع تمام بخش‌های کوچک سطح یک تیر است که در بازوی خمشی آنها WRT محور خنثی میله ضرب می‌شود.با فرض یک چگالی ثابت، تعاریف گشتاورهای اینرسی در مورد مبدأ سیستم مختصات عبارتند از
$I_x = \int y^2\ dA\\I_y = \int x^2\ dA\\I_{xy} = \int xy\ dA$
حتما میگین چرا از گشتاور دوم جرم به عنوان ممان اینرسی استفاده می شود و چرا از ممان اول جرم حول یک محور به عنوان ممان اینرسی استفاده نمی شود؟من می‌دانم که ممان اول حاصلضرب جرم و فاصله آن از محور چرخشی است وممان دوم حاصل ضرب مجذور فاصله و جرم از محور چرخشی است، بنابراین ارائه آن فرمول‌های ریاضی کمکی به من نخواهد کرد.این نتیجه مستقیم چیزی است که وقتی از معادلات حرکت برای ذرات تک نقطه ای به حرکت جمعی اجسام گسترده می رویم، ظاهر می شود. شما با قانون دوم نیوتن شروع می کنید:
$m_i \vec{a}_i = \vec{F}_{i}$
مجموع در کل سیستم، جفت نیروهای داخلی متضاد متقابل را خنثی می کند و نیروی خارجی و شتاب را برای ما باقی می گذارد:
$\sum m_i \vec{a}_i = \vec{F}$
اکنون، طبق تعریف، $\vec{a}_i = \frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_i$ است. بنابراین می توان این را به صورت نوشتاری کرد
$\frac{d^2}{dt^2} \sum m_i \vec{r}_i = \vec{F}$
توجه داشته باشید که مجموع دقیقاً همان چیزی است که $m=\sum m_i$ را جایگزین می کنید، جایی که$m=\sum m_i$ جرم کل و $\vec{r}_0$ مرکز جرم است. چرا از مرکز جرم استفاده می کنیم؟ زیرا به نظر می رسد معادلات حرکت خطی به FORCE = جرم کل * شتاب مرکز جرم کاهش می یابه حالا قسمت چرخشی. البته اگر معادله ای درست باشد، اگر همان عملیات را در هر دو طرف انجام دهید، درست باقی می ماند. در این مورد، با توجه به چارچوب مختصات ما (به طور خودسرانه انتخاب شده)، موقعیت ذرات $\vec{r}_i$ بود. فقط قانون نیوتن را با این رد کنید:
$m_i \vec{r}_i\times \vec{a}_i = \vec{r}_i\times \vec{F}_{i}$
اکنون جمع بندی را در کل جسم انجام دهید دوباره. در این مورد، سمت راست به گشتاور نیروهای خارجی، به علاوه جمع بر روی تمام فعل و انفعالات جفت جدا می شود:
$\sum_i m_i \vec{r}_i\times \vec{a}_i = \sum_i \vec{r}_{ext,i}\times \vec{F}_{ext,i}+\sum_{i,j}(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\times \vec{F}_{ij}$
در اینجا من در نظر گرفتم که جفت‌های نیروهای داخلی از نظر قدر برابر هستند، اما از آنجایی که موقعیت‌ها متفاوت هستند، لزوماً از بین نمی‌روند. اما به طور کلاسیک، آنها این کار را انجام می دهند: نیروهای یک ذره بر نقطه دیگر در امتداد خط اتصال خود، بنابراین محصولات متقاطع جمله دوم صفر هستند (مغناطیس در اینجا به احتیاط نیاز دارد، اما من وارد آن نمی شوم). آنچه باقی مانده است
$\sum_i m_i \vec{r}_i\times \vec{a}_i = \vec{M}$
شما $\vec{a}_i=d^2 \vec{r}_i/dt^2$دارید. همچنین رعایت کنید:
$\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\frac{d}{dt}\vec{r})=\frac{d}{dt}\vec{r}\times\frac{d}{dt}\vec{r}+\vec{r}\times\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}$
جمله اول صفر است (بردار را با خودش رد کنید)، بنابراین می توانید بنویسید
$\frac{d}{dt}\sum_i m_i \vec{r}_i\times \vec{v}_i = \vec{M}$
این بقای حرکت زاویه ای است. با این حال ... اگر حرکت صلب دارید، می توانید سرعت ها را به صورت مجموع ترجمه و چرخش بنویسید! فرض کنید یک نقطه مرجع دلخواه $\vec{A}$ و یک جابجایی از آن داریم:$\vec{r}_i=\vec{A}+\vec{R}_i$ اکنون، مشتق زمانی باید حرکت مرجع را در نظر بگیرد، اما چرخش را نیز در مورد مرجع در نظر بگیرد: $\vec{v}_i=\vec{v}_A+\omega\times\vec{R}_i$. در اینجا جمله دوم سرعت مماسی چرخش حول محور ω است. اکنون این را در معادله بالا قرار می دهیم و همه را با جابجایی نسبی بیان می کنیم:
$\frac{d}{dt}\sum_i m_i (\vec{A}+\vec{R}_i)\times (\vec{v}_A+\omega\times\vec{R}_i) = \vec{M}$
$\frac{d}{dt}\left(m\vec{A}\times \vec{v}_A+\vec{A}\times\omega\times\sum_i m_i \vec{R}_i+\sum_i m_i \vec{R}_i\times \vec{v}_A+\sum_i m_i \vec{R}_i\times \omega\times\vec{R}_i\right) = \vec{M}$
این وحشتناک به نظر می رسد، و این است، مگر اینکه شما به طور خاص مرجع را در مرکز جرم قرار دهید، $\vec{A}=\vec{r}_0$. در آن صورت، موقعیت های نسبی در سیستمی که$\sum_i m_i \vec{R}_i=0$ بیان می شود. این موضوع بیشتر کاهش می‌یابد، و اجازه دهید توسعه محصول متقاطع دوگانه را نیز به یاد بیاوریم:
$\frac{d}{dt}\left(m\vec{r}_0\times \vec{v}_0+\sum_i m_i\left( \omega|\vec{R}_i|^2-\vec{R}_i(\omega\cdot\vec{R}_i)\right)\right) = \vec{M}$
اولین جمله، تکانه زاویه ای مرکز حرکت جرم است. جمله دوم $J\vec{\omega}$ است که در آن J تانسوری است که به صورت تعریف شده است
$J_{ab}=\sum_{i} \left(|R_i|^2\delta_{ab}-R_{i,a}R_{i,b}\right)$
به طور خلاصه قانون دوم نیوتن و متعاقباً حفظ تکانه در مورد حرکت جسم صلب به بیانی که شامل ممان دوم جرم است کاهش می یابد..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست