فرمول خمش میله از کجا آمده است؟
ارسال شده: چهارشنبه ۱۴۰۱/۲/۲۱ - ۰۸:۱۶
برای میله ای به طول l، عرض b، عمق d و مدول یانگ Y، هنگامی که یک وزنه W از مرکز آن آویزان شود، مرکز جرم میله با فاصله δ پایین می آید.
$\delta = \frac{Wl^3}{4bYd^3}.$
چگونه این فرمول را بدست بیارم خوب فرض من گفتم رهام بیا یک میله نازک در نظر بگیریم (میله) با طول ℓ، گشتاور مساحت دوم $I = \frac{1}{12} b d^3$ و مدول یانگ E از معادله دیفرانسیل زیر تبعیت می کند.
$M(x) = E I \frac{\partial ^2 y(x)}{\partial x^2}$
که در آن y(x) شکل انحراف و M(x) تابع گشتاور داخلی است.
با استفاده از استاتیک، میله را به دو بخش تقسیم کنم و یک نمودار جسم آزاد را روی هر یک انجام بدم
تیر 1
برای بخش اول از A تا C ممان داخلی است
$M_1(x) = -x\,A_y = - x \,\frac{F}{2}$
برای بخش دوم از C تا B ممان داخلی است
$M_2(x) = -x \, A_y+ F (x-\frac{\ell}{2}) = - (\ell -x) \frac{F}{2}$
اکنون می توانید لحظه را برای بدست آوردن شیب و انحراف ادغام کردم و مطمئن بشم که از ثابت های یکپارچگی در شرایط مرزی (در$y_1(0)=0$و $y_2(\ell)=0$) و پیوستگی $y_1(\frac{\ell}{2})=y_2(\frac{\ell}{2})$ استفاده می کنید. $y_1'(\frac{\ell}{2}) = y_2'(\frac{\ell}{2})$
شکل انحراف است
$y_1(x) = \frac{1}{E I} \int \int M_1(x)\,{\rm d}x{\rm d}x + K_1 + K_2 x = -\frac{F x (4 x^2-3 \ell^2)}{48 E I} \\
y_2(x) = \frac{1}{E I} \int \int M_2(x)\,{\rm d}x{\rm d}x + K_3 + K_4 x =
-\frac{F ( \ell^3 -9 \ell^2 x+12 \ell x^2 -4 x^3)}{4 8 EI }$
در وسط از x=ℓ/2 برای استفاده کنید
$\boxed{\delta = -\frac{F \ell^3}{48 E I} }$
در اینجا نتیجه منفی است زیرا انحراف در جهت منفی y است
روش کوتاه تری نیز وجود داره که به آن روش انرژی می گن اینم داداش امیر گلم امیر زارعی فرمودند. پس از یافتن ممان های داخلی، کل انرژی داخلی سیستم را به عنوان تابعی از بار اعمال شده پیدا کنید
$U(F) = \int \limits_{0}^{\ell/2} \frac{M_1^2(x)}{2 E I}\,{\rm d}x + \int \limits_{\ell/2}^{\ell} \frac{M_2^2(x)}{2 E I}\,{\rm d}x = \frac{F^2 \ell^3}{96 E I}$
انحراف در نقطه F اعمال می شود (وسط) از مشتق جزئی زیر استفاده کنید
$\boxed{ \delta = \frac{\partial U(F)}{\partial F} = \frac{F \ell^3}{48 E I} }$
در اینجا نتیجه مثبت است زیرا انحراف در امتداد جهت نیرو است
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
$\delta = \frac{Wl^3}{4bYd^3}.$
چگونه این فرمول را بدست بیارم خوب فرض من گفتم رهام بیا یک میله نازک در نظر بگیریم (میله) با طول ℓ، گشتاور مساحت دوم $I = \frac{1}{12} b d^3$ و مدول یانگ E از معادله دیفرانسیل زیر تبعیت می کند.
$M(x) = E I \frac{\partial ^2 y(x)}{\partial x^2}$
که در آن y(x) شکل انحراف و M(x) تابع گشتاور داخلی است.
با استفاده از استاتیک، میله را به دو بخش تقسیم کنم و یک نمودار جسم آزاد را روی هر یک انجام بدم
تیر 1
برای بخش اول از A تا C ممان داخلی است
$M_1(x) = -x\,A_y = - x \,\frac{F}{2}$
برای بخش دوم از C تا B ممان داخلی است
$M_2(x) = -x \, A_y+ F (x-\frac{\ell}{2}) = - (\ell -x) \frac{F}{2}$
اکنون می توانید لحظه را برای بدست آوردن شیب و انحراف ادغام کردم و مطمئن بشم که از ثابت های یکپارچگی در شرایط مرزی (در$y_1(0)=0$و $y_2(\ell)=0$) و پیوستگی $y_1(\frac{\ell}{2})=y_2(\frac{\ell}{2})$ استفاده می کنید. $y_1'(\frac{\ell}{2}) = y_2'(\frac{\ell}{2})$
شکل انحراف است
$y_1(x) = \frac{1}{E I} \int \int M_1(x)\,{\rm d}x{\rm d}x + K_1 + K_2 x = -\frac{F x (4 x^2-3 \ell^2)}{48 E I} \\
y_2(x) = \frac{1}{E I} \int \int M_2(x)\,{\rm d}x{\rm d}x + K_3 + K_4 x =
-\frac{F ( \ell^3 -9 \ell^2 x+12 \ell x^2 -4 x^3)}{4 8 EI }$
در وسط از x=ℓ/2 برای استفاده کنید
$\boxed{\delta = -\frac{F \ell^3}{48 E I} }$
در اینجا نتیجه منفی است زیرا انحراف در جهت منفی y است
روش کوتاه تری نیز وجود داره که به آن روش انرژی می گن اینم داداش امیر گلم امیر زارعی فرمودند. پس از یافتن ممان های داخلی، کل انرژی داخلی سیستم را به عنوان تابعی از بار اعمال شده پیدا کنید
$U(F) = \int \limits_{0}^{\ell/2} \frac{M_1^2(x)}{2 E I}\,{\rm d}x + \int \limits_{\ell/2}^{\ell} \frac{M_2^2(x)}{2 E I}\,{\rm d}x = \frac{F^2 \ell^3}{96 E I}$
انحراف در نقطه F اعمال می شود (وسط) از مشتق جزئی زیر استفاده کنید
$\boxed{ \delta = \frac{\partial U(F)}{\partial F} = \frac{F \ell^3}{48 E I} }$
در اینجا نتیجه مثبت است زیرا انحراف در امتداد جهت نیرو است
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا