پرش توپ در اب چقدر بالا خواهد رفت؟

[rohamavation]

یک توپ کوچک با چگالی ρ در مایعی با چگالی σ، (σ>ρ) تا عمق h غوطه ور می شود و آزاد می شود. چگونه می توانیم ارتفاع بالای سطح مایعی که توپ به آن می پرد را پیدا کنیم؟
و اگر سوال را طوری تغییر دهیم که توپ از ارتفاع h پرتاب شود، توپ چقدر در مایع فرو خواهد رفت؟ آیا این با همان روش سوال اول حل می شود؟
اگر کشش سطحی و کشش نادیده گرفته شود، آیا توپ به حرکت ساده هارمونیک ادامه خواهد داد؟یک توپ کوچک با چگالی ρ در مایعی با چگالی σ، (σ>ρ) تا عمق h غوطه ور می شود و آزاد می شود. چگونه می توانیم ارتفاع بالای سطح مایعی که توپ به آن می پرد را پیدا کنیم؟
و اگر سوال را طوری تغییر دهیم که توپ از ارتفاع h پرتاب شود، توپ چقدر در مایع فرو خواهد رفت؟ آیا این با همان روش سوال اول حل می شود؟
اگر کشش سطحی و کشش نادیده گرفته شود، آیا توپ به حرکت ساده هارمونیک ادامه خواهد داد؟
محاسبات من
1.نیروی خالص رو به بالا که بر بدن وارد می شود. $\sigma vg-\rho vg$
$a=g(\frac{\sigma}{\rho}-1)$
سرعت بعد از ارتفاع $v=\sqrt{2g(\frac{\sigma}{\rho}-1)h}$
حفظ انرژی مکانیکی در حداکثر ارتفاع h' و در سطح،
$\frac{1}{2}m(2g(\frac{\sigma}{\rho}-1)h)$
$\fbox{$h'=(\frac{\sigma}{\rho}-1)h$}$
سرعت درست قبل از لمس مایع = $\sqrt{2gh}$
شتاب منفی $g(\frac{\sigma}{\rho}-1)$ از قسمت 1.
با استفاده از، $v^2=u^2-2g(\frac{\sigma}{\rho}-1)h'$
$\fbox{$h'=\frac{h}{(\frac{\sigma}{\rho}-1)}$}$
.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

[jhvh]

تا راه حل نبینم نمی تونم قضاوت کنم
اما انگار مسئله به شکل ساده انگارانه حل شده
انتگرال و طیفی از نیرو و شتاب باید در نظر گرفته میشد

احتمالا با در نظر گرفتن سرعت اولیه برا توپ و با تعمیم فرمول پیشنهادی در مسیر توپ ، جواب ذکر شده فرو بپاشد ..

[rohamavation]

فرض کنید از ارتفاع H توپی به جرم M پرتاب می کنم و شعاع R با سرعت اولیه u در حوضچه ای از عمق x داشتن مایعی با چگالی ρ و ضریب ویسکوزیته η.آب تا چه ارتفاعی پاشیده می شود؟
در واقع به نظر میرسه این مشکل بسیار پیچیده است اما من ساده بعش نگاه کنم بنابراین یک سنگ معمولی با حجم $V$ را در نظر بگیرید که از ارتفاع $H_{0}$ در آب می افتد. شکل سنگ ممکن است دلخواه باشه. مقاومت هوا را نادیده بگیرین
سرعت سنگ قبل از برخورد با سطح آب $$v_{0}=\sqrt{2gH_{0}}$$ است منطقی است که برخورد را غیر کشسان در نظر بگیریم. حجم آبی که سنگ در آن برهمکنش دارد در لحظه برخورد برابر با حجم سنگ $V$ می گیریم.بنابراین دو جرمی که برهم کنش دارند $m_{s}=\rho_{s}V$ و $m_{w}=\rho_{w}V$ هستند که $\rho_{s}$ چگالی سنگ و $\ rho_{w}$ چگالی آب است.
از قانون بقای حرکت من $$m_{s}v_{0}=(m_{s}+m_{w})v$$ یا
$$v=\frac{\rho_{s}v_{0}}{\rho_{s}+\rho_{w}}=\frac{v_{0}}{1+\frac{\rho_{w} }{\rho_{s}}}$$
بنابراین $v$ بالاتر، سرعتی است که با آن آب (با حجم $ V$) میترکه تا چه ارتفاعی از $H$؟
$H=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}\frac{1}{\left (1+\frac{\rho_{w}}{\rho_{s}}\right )^{2}
}=\frac{H_{0}}{\left (1+\frac{\rho_{w}}{\rho_{s}}\right )^{2}
}$یا $$\frac{H}{H_{0}}=\frac{1}{\left (1+\frac{\rho_{w}}{\rho_{s}}\right )^{2} } $$
زیرا $\rho_{w}=1\frac{g}{cm^{3}}$ و $\rho_{s}=3\frac{g}{cm^{3}}$ (تقریباً) یک برآورد کردن:
$\frac{H}{H_{0}}=\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\approx 0.6$
من نه ویسکوزیته و نه درگ $F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_D\, A = \rho \left( \frac{1}{2} v^2 C_D A \right)$ در نظر نگرفتم
نکته: معادله حرکت توپ را بنویسید تا شتاب توپ را پیدا کنید و از معادلات حرکت یک بعدی برای یافتن ارتفاع استفاده کن. معادله حرکت توپ را میتونی به صورت $ VDa = Vdg - VDg $ بنویسی که در آن، $ VD $ جرم توپ است. $ d $ چگالی آب است. $ VDg $ کشش گرانشیه $ Vdg $ نیروی شناور رو به بالاست
مم میدونم که معادله حرکت یک جسم به دست می آید، $ F = ma $ که در آن $ F $ نیروی نامتعادل خالص و $ a $ شتاب جسم با جرم $ m $ است.
در اینجا، جسم غوطه وره بنابراین عدم تعادل بین نیروی شناور و کشش گرانشی وجود خواهد داشت که تا شتاب توپ افزایش پیدا میکنه
من میتونم معادله حرکت توپ را به صورت $ VDa = Vdg - VDg $ بنویسیم که در آن، $ VD $ جرم توپ است. $ d $ چگالی آب است. $ VDg $ کشش گرانشی است. $ Vdg $ نیروی شناور رو به بالا است.
بنابراین، شتاب جسم عبارت است از
$ a = \dfrac{{Vdg - VDg}}{{VD}} $
با توجه به $ D $ چگالی چوب و $ V $ حجم اون هستش
بنابراین، $ a = \left( {\dfrac{{d - D}}{D}} \right)g $. (که رو به بالا است و من به عنوان جهت مثبت انتخاب میکنم)
حال از معادله حرکت 1 بعدی $ {v^2} = {u^2} + 2 به عنوان $ دارم
در اینجا، من دادم $ u = 0 $ $ s = h $
با قرار دادن مقادیر سرعت توپ را در ارتفاع $ h $ به محاسبه میکنم
$ v = \sqrt {2ah} $.
حالا وقتی توپ از آب بیرون میاد هیچ نیروی شناوری روی آن وارد نمیشه من درگ هوا و ویسکوزیته سیال نیاوردم فقط کشش گرانشی وجود دارد که به سمت پایین عمل میکنه بنابراین شتاب توپ به سمت پایین خارج از آبه بنابراین دوباره با استفاده از معادله برای حرکت یک بعدی در خارج از آب من $ u = \sqrt {2ah} $، $ v = 0 $، $ a = - g $ داریم و اجازه میدم توپ چوبی به ارتفاع $ H $ از سطح آب بپرد.
بنابراین، با قرار دادن ارزش هایی که داریم $ {0^2} = {(\sqrt {2ah} )^2} - 2gH $
$ \Rightarrow 2ah = 2gH $
$ \Rightarrow ah = gH $
بنابراین من $ H = \dfrac{{ah}}{g} $ دارم
با قرار دادن مقدار $ a $ که دارم $ H = \dfrac{h}{g}\left( {\dfrac{{d - D}}{D}} \right)g $
$ \therefore H = h\left( {\dfrac{{d - D}}{D}} \right) $
بنابراین، توپ تا ارتفاع $ h\left( {\dfrac{{d - D}}{D}} \right) $ خواهد پرید.
توجه کن
اگر نیرو متعادل بود، توپ چوبی از آب بیرون نمیپرید همانطور که در آن زمان نیرو متعادل میشد همان جایی که بود میموند. با افزایش چگالی و کاهش ارتفاع پرش بلوک ارتفاع پرش به چگالی توپ بستگی دارد. اگر چگالی بلوک از آب بیشتر باشد، بلوک حتی بالا نمیاد زیرا کشش گرانشی بیشتر از نیروی شناوره
نیروی پسا متناسب با تابعی از سرعت جسم در آن سیاله. این عملکرد پیچیدیه و به شکل جسم، اندازه سرعتش و مایعی که در آن قرار دارد بستگی دارد. با مجذور سرعت جسم متناسبه. میتونم این رابطه را به صورت $F=\frac12 \rho A v^2 C_D$ بنویسم. میشه که در آن C ضریب پسا A مساحت جسم رو به سیال و ρ چگالی سیاله. این معادله همچنین می تواند به شکل تعمیم یافته تری به صورت$ F_D = bv^2 $نوشته شودبا فرض کروی بودن من یک سرعت ترمینال دارم$V_t=\frac{2}{9}\frac{gr^2\rho_s}{\eta}\tag 1$ ببین با داشتن $\mathbf{F}_{drag}=-\frac{1}{2} \rho A c_d v \left|v\right|$و$\frac{\partial v}{\partial t} = g - k v^2$لذا$\partial t = \frac{\partial v}{g-kv^2}$حالا$t=\frac{1}{\sqrt{gk}}\tanh^{-1}\left(\sqrt{k/g} \cdot v \right)$در پایایان$v_{max}=\sqrt{\frac{2gm}{\rho A c_d}}$سرعت نهایی اونه

[jhvh]

کاملا درسته
یک توپ رو از عمق یک متری ول کنی شاید یک یا دو متر بالا بره اما همون توپ رو از عمق یک کیلومتری ول کنی شاید چند متر بالا نرود
می خوام علاوه بر ویسکوزیته مایع ، مقاومت مایع رو معرفی کنم
البته ایده خودمه و مثال هایی که میزنم به خاطر توضیح آسون تره
شتاب بسیار به سرعت وابسته است

دو تا مثال میزنم
یک ضربه با سرعت کم به مولکول هوا ، سرعت اون رو بسیار بالا خواهد برد، حتی بسیار بیشتر از سرعتی که بهش ضربه زدیم

پس در عمل ما به مولکول هوا با سرعت و شرایط لازم با سرعت دستمون نمی تونیم ضربه وارد کنیم

مایی که می تونیم سرعت مولکول را بسیار بالا ببریم ، از برخورد با مولکول با سرعت کم عاجز هستیم
(به نظر من مسئله برخورد در فیزیک موضوعی ه که جالبه و احتمالا مورد غفلت واقع شده )

در طبیعت منشا نیرویی بی نهایتی نداریم ، هر چیزی که نیرویی به ما میده ، یک سرعت رفت و آمد ثابتی داره

مثال دوم ، ماشینی که به نظر نیروی ثابتی تولید می کند با حذف اصطکاک و ... در نهایت سرعت بیشینه ای خواهد داشت

فقط می خوام ارتباط نامحسوس بین شتاب و سرعت بگم
این دور رو ادامه بدیم ، احتمالا به این نتیجه برسیم که سرعت بیشینه ای وجود داره که احتمالا همون سرعت نوره

اینو در نظر بگیرید که برای اعمال نیرو به جسمی با سرعت اولیه ، باید سرعت خاصی داشته باشیم


با تکنولوژی فعلی شاید هر چقدر انرژی مصرف کنیم سرعتمون بالاتر نره ، وقتی سرعت موشک از صوت بیشتره ، صوت کمکی به موشک می تونه بکنه ؟ نه


می تونه ایده خامی باشه.
خوشحال میشم نظر تون بدونم