قانون گرانش نیوتن بر حسب جرم نقطه بیان شده است. بیان میدان گرانشی ناشی از یک ذره ، برگرفته از این قانون ، نقطه شروع توسعه بیان قدرت میدان به دلیل اجسام سفت و سخت است. بنابراین ، استحکام میدان برای اشکال هندسی در این ماژول ، مبتنی بر توسعه تکنیکی برای درمان توده واقعی بدن به عنوان تجمع عناصر کوچک و ترکیب جلوه های فردی است. کمی تجسم مورد نیاز است زیرا ما باید بردارهایی را که دارای ویژگی جهت هستند ، ترکیب کنیم.
اجازه دهید σچگالی مخروط ، α نیم زاویه آن ، H ارتفاع آن ، x مختصات نقطه P واقع در محور تقارن مخروط (که مبدأ آن در راس مخروط است) ، G ثابت گرانشی و R شعاع یک دیسک بی نهایت با عرض dh که مرکز آن در فاصله h واحد از مبدا قرار دارد.
بیایید پتانسیل گرانشی $U_{\text{disc}} (x)$ را در نقطه P به دلیل وجود دیسک بی نهایت کوچک محاسبه کنیم. اجازه دهید dM جرم یک قطعه بی نهایت کوچک از دیسک و d فاصله آن از نقطه P باشد ، سپس $U_{\text{disc}} (x)$ را می توان با رابطه زیر محاسبه کرد:
$U_{\text{disc}} (x) = \iint \limits_{\text{disc}}{\frac{-G}{d} \mathrm {d}M} \tag{1}$
اما $\mathrm {d}M = \sigma \, \mathrm {d}h \, r \, \mathrm {d}r \, \mathrm {d}\theta$ ، بنابراین معادله زیر را بدست می آوریم:
$U_{\text{disc}} (x) = \int_0^{2\pi} \int_0^R{\frac{-G \sigma}{\sqrt{(x+h)^2+r^2}} \, \mathrm {d}h \, r \, \mathrm {d}r \, \mathrm {d}\theta} \tag{2}$ما آن را میدانیم
$R=h \tan{\alpha} \tag{3}$
بنابراین با ارزیابی انتگرال دوگانه و جایگزینی (3) در (2) ، بدست می آوریم:
$U_{\text{disc}} (x) = -2\pi G \sigma\, \mathrm {d}h \left(\sqrt{(x+h)^2+\left(h\tan{\alpha}\right)^2}-|x+h|\right) \tag{4}$
میدان گرانشی g⃗ disk (x) در نقطه P را می توان با موارد زیر محاسبه کرد:
اما ما می دانیم که $\mathrm {grad} \, U_{\text{disc}} (x)=\dfrac{\mathrm {d}U_{\text{disc}}}{\mathrm {d}x}\vec{i}$ ، بنابراین برای $x>-h$بدست می آوریم:
$\vec{g}_{\text{disc}}(x)= 2\pi G \sigma\, \mathrm {d}h \left(\frac{x+h}{\sqrt{(x+h)^2+(h\tan{\alpha})^2}}-1\right)\vec{i} \tag{6}$پس از آن انتگرال را محاسبه کنید:
g⃗ مخروط $\vec{g}_{\text{cone}}(x)=2\pi G \sigma\, \int_0^{H} {\left(\frac{x+h}{\sqrt{(x+h)^2+(h\tan{\alpha})^2}}-1\right)\vec{i}} \, \mathrm {d}h \tag{7}$
جایی که $\vec{g}_{\text{cone}}(x)$ به دلیل وجود مخروط ، میدان گرانشی در نقطه P است. در نهایت x = 0 را جایگزین کنید و کار ما تمام شد.
راه حل دوم .پتانسیل و شدت میدان گرانشی در محور یک صفحه دایره ای منظور شما همین هست دیگه .ابتدا اجازه دهید پتانسیل حلقه شعاع a را محاسبه کنیم در فاصله x از مرکز در امتداد محور پتانسیل ناشی از یک عنصر جرم بی نهایت کوچک$dm$
خواهد بود$ \frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}$پس از آن بالقوه به دلیل حلقه است
$\int{\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}}=\frac{-G}{\sqrt{a^2+x^2}}\int{dm}=\frac{-Gm}{\sqrt{a^2+x^2}}$از آنجا که G ، a ، x
ثابت هستندحالا اجازه دهید دیسک را به حلقه های بی نهایت کوچک با جرم$dm=2\pi rdr\frac{M}{\pi a^2} (=area * density)$ تقسیم کنیم.پتانسیل ناشی از حلقه ای از شعاع rو جرم dm همانطور که در بالا ذکر شده است$\frac{-Gdm}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}$ادغام این از 0 بهa
$\int{\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}}$
$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}}}$
قرار دادن $t^2=r^2+a^2$ و $2rdr=2tdt$
$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}}$
$=\frac{-GM}{a^2}[2t]^{\sqrt{a^2+x^2}}_{x}$
$=\frac{-2GM}{a^2}({\sqrt{a^2+x^2}}-{x})$
از نظر شدت ، با تقارن می توان دریافت که در امتداد محور است یعنی $g = 2\pi G p t \int \ rdr\ x/(a^2 + x2)^{3/2} = 2\pi G p t$، بنابراین ما فقط با اجزای محوری کار می کنیم
بنابراین ، برای حلقه
$\int\frac{-Gdmcos\theta}{a^2+x^2}$
جایی که θ نصف زاویه ای است که توسط نقطه روی حلقه محروم شده است
$cos\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$
$K=\int\frac{-Gxdm}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{-Gxm}{(a^2+x^2)^{3/2}}$
برای یک دیسک ، بر اساس همان استدلال که در حالت بالقوه وجود دارد ، چنین است
$K=\int\frac{-Gxdm}{(r^2+x^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxrdr}{a^2(r^2+x^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxtdt}{a^2(t^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxdt}{a^2t^2}$
$=\frac{-2GMx}{a^2}[\frac{-1}{t}]^{\sqrt{a^2+x^2}}_x$
$K=\frac {2 G M}{a^2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1 \right)$,و پتانسیل ان هم $\phi = - \frac {2 \kappa M}{a^2}(\sqrt{a^2+x^2}-x)$توجه گرانش یک نیروی محافظه کار است (اندازه و جهت آن فقط توابع مکان است) ، بنابراین ما می توانیم هر مسیری را که می خواهیم در پیش بگیریم ، و نتیجه محاسبه کار یکسان است.$\text{Δ}U=-{\int }_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\overset{\to }{F}·d\overset{\to }{r}=G{M}_{\text{E}}m{\int }_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\frac{dr}{{r}^{2}}=G{M}_{\text{E}}m(\frac{1}{{r}_{1}}-\frac{1}{{r}_{2}}).$
حالا بزرگترین ساختار فضایی "توخالی" که می توان ایجاد کرد چیست؟چقدره.ساختاری که من تصور می کنم کاملاً توخالی نیست. با یک ساختار نگهدارنده پر شده است. به عنوان مثال ، این می تواند یک ساختار لانه زنبوری باشد. ایده این است که آن را تا آنجا که ممکن است بزرگ کنیم ، بدون اینکه به دلیل گرانش ایجاد شده ، از نظر ساختاری غلت بزند. من تعجب می کنم که آیا ممکن است حتی بتوان ساختار توخالی را به اندازه ای بزرگ کرد که بتوان آنرا به دلیل نامناسب بودن جرم و گرانش کم ، به طور نامحدود ادامه داد و ساختار را بزرگ کرد. شما نمی توانید یک پوسته با یک پوسته نازک دلخواه بسازید ، زیرا پوسته های نازک مدت زیادی قبل از رسیدن تنش به مقاومت فشاری کج می شوند.
آنچه ما باید انجام دهیم این است که فرمول تنش در یک پوسته نازک تحت وزن خود را در نظر بگیریم و برای چگالی و استحکام کمتر شبکه استفاده کنیم.نیروی Fعمل بر روی قطعه اندازه A بیرونی ترین پوسته با ضخامت t
بر جرم کل ساختار تأثیر می گذارد و با موارد زیر داده می شود:$F = A \rho t G \rho \frac{4}{3} \pi$
به نحوه $\rho$ توجه کنیدبه قسمت چپ - وزن عنصر پوسته - و قسمت راست - گرانش کل - سمت راست می رود. اگر A را با تقسیم به چپ حرکت دهیم ، به نوعی فشار بر روی پوسته می رسیم. تنش حلقه در مخزن تحت فشار با $\sigma = \frac{Pr}{2t}$ داده می شود
، این رابطه در اینجا نیز وجود دارد ، تنش فشاری آن (نه تنش کششی). برای تنش در بیرونی ترین پوسته خود به این موارد می رسیم:$\sigma = \frac{2}{3}G \rho^2 r^2 \pi$
متن ذکر شده در بالا پیوند بین چگالی و قدرت تسلیم را ارائه می دهد:
رهام حسامی