گرانش یک لایه تخت

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
saba_si

عضویت : سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۰ - ۱۴:۲۳


پست: 4



جنسیت:

گرانش یک لایه تخت

پست توسط saba_si »

چجوری از رابطه گرانش کره (a شعاع کره ، p چگالی ، r فاصله نقطه تا مرکز) میتونیم به رابطه گرانش یک لایه تخت برسیم با ضخامت t
با توجه به اینکه لایه تخت فاصله بین دو کره متحدالمرکز به شعاع بی نهایت است
روابط.pdf
فرمول ها در پیوست است
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.
آخرین ویرایش توسط saba_si یک‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۵ - ۲۰:۲۸, ویرایش شده کلا 1 بار

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

$t$ چیه؟ اگر حالت آرمانی در نظر بگیریم و فرض کنیم از صفحه خیلی دور نشویم (یا صفحه خیلی خیلی بزرگ باشد)، میدان گرانشی فقط تابع چگالی جرمی صفحه است.
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

saba_si

عضویت : سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۰ - ۱۴:۲۳


پست: 4



جنسیت:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط saba_si »

maxrg.ir نوشته شده:
یک‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۵ - ۱۷:۵۹
$t$ چیه؟ اگر حالت آرمانی در نظر بگیریم و فرض کنیم از صفحه خیلی دور نشویم (یا صفحه خیلی خیلی بزرگ باشد)، میدان گرانشی فقط تابع چگالی جرمی صفحه است.
t ضخامت لایه هست smile205

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

از قانون گاوس استفاده کنید که می‌گوید شار میدان گرانشی برابر است با:
\[
4\pi G m
\]
که $G$ ثابت گرانش نیوتن است.

به ازای صفحه تخت با ضخامت $t$، عنصر سطحی استوانه‌ای بسیار کوچکی در نظر بگیرید. از سطح جانبی شاری نمی‌گذرد. از قاعده‌ها شار برابر می‌گذرد و چون صفحه بسیار بزرگ فرض می‌شود، میدان گرانشی باید بر صفحه عمود باشد. پس
\[
2 g A=4\pi G \rho A t \quad \Rightarrow \quad g=2\pi G\rho t
\]
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 25

سپاس: 6

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط Player »

برای رسیدن از رابطه اول به دوم باید انتگرال گیری انجام دهید. یک کره بینهایت کوچک (یک نقطه) را روی صفحه ای که می خواهید گرانش آن را پیدا کنید در نظر بگیرید. باید گرانش این نقطه، و بینهایت نقطه دیگری که روی این صفحه وجود دارد را با یک دیگر جمع بزنید تا شتاب گرانشی را در فاصله ای خاص از سطح صفحه پیدا کنید. برای انجام این کار، از رابطه اول بر حسب جرم دیفرانسیل بگیرید و بعد روی حجم مکعب مستطیل انتگرال گیری انجام دهید؛ که در مختصات کارتازین کار نسبتا دشواری خواهد بود اما در مختصات استوانه ای با انتگرال های معقولی رو به رو خواهید شد.

( جرم برابر است با چگالی در حجم کره. دیفرانسیل جرم هم برابر است با چگالی ضربدر دیفرانسیل حجم. )

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

Player نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۷ - ۰۳:۱۳
برای رسیدن از رابطه اول به دوم باید انتگرال گیری انجام دهید. یک کره بینهایت کوچک (یک نقطه) را روی صفحه ای که می خواهید گرانش آن را پیدا کنید در نظر بگیرید. باید گرانش این نقطه، و بینهایت نقطه دیگری که روی این صفحه وجود دارد را با یک دیگر جمع بزنید تا شتاب گرانشی را در فاصله ای خاص از سطح صفحه پیدا کنید. برای انجام این کار، از رابطه اول بر حسب جرم دیفرانسیل بگیرید و بعد روی حجم مکعب مستطیل انتگرال گیری انجام دهید؛ که در مختصات کارتازین کار نسبتا دشواری خواهد بود اما در مختصات استوانه ای با انتگرال های معقولی رو به رو خواهید شد.

( جرم برابر است با چگالی در حجم کره. دیفرانسیل جرم هم برابر است با چگالی ضربدر دیفرانسیل حجم. )
با المان کروی خیلی سخت میشه. باید المان استوانه‌ای در نظر گرفت. صفحه رو هم مکعب مستطیل فرض نکنید، بلکه قرص بزرگی در نظر بگیرید. ضمناً قبل از شروع محاسبه برای قرص، باید دید میدان گرانشی روی محور استوانه چقدر میشه.
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1003

سپاس: 644

جنسیت:

تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط rohamjpl »

قانون گرانش نیوتن بر حسب جرم نقطه بیان شده است. بیان میدان گرانشی ناشی از یک ذره ، برگرفته از این قانون ، نقطه شروع توسعه بیان قدرت میدان به دلیل اجسام سفت و سخت است. بنابراین ، استحکام میدان برای اشکال هندسی در این ماژول ، مبتنی بر توسعه تکنیکی برای درمان توده واقعی بدن به عنوان تجمع عناصر کوچک و ترکیب جلوه های فردی است. کمی تجسم مورد نیاز است زیرا ما باید بردارهایی را که دارای ویژگی جهت هستند ، ترکیب کنیم.
اجازه دهید σچگالی مخروط ، α نیم زاویه آن ، H ارتفاع آن ، x مختصات نقطه P واقع در محور تقارن مخروط (که مبدأ آن در راس مخروط است) ، G ثابت گرانشی و R شعاع یک دیسک بی نهایت با عرض dh که مرکز آن در فاصله h واحد از مبدا قرار دارد. تصویر
بیایید پتانسیل گرانشی $U_{\text{disc}} (x)$ را در نقطه P به دلیل وجود دیسک بی نهایت کوچک محاسبه کنیم. اجازه دهید dM جرم یک قطعه بی نهایت کوچک از دیسک و d فاصله آن از نقطه P باشد ، سپس $U_{\text{disc}} (x)$ را می توان با رابطه زیر محاسبه کرد:
$U_{\text{disc}} (x) = \iint \limits_{\text{disc}}{\frac{-G}{d} \mathrm {d}M} \tag{1}$
اما $\mathrm {d}M = \sigma \, \mathrm {d}h \, r \, \mathrm {d}r \, \mathrm {d}\theta$ ، بنابراین معادله زیر را بدست می آوریم:
$U_{\text{disc}} (x) = \int_0^{2\pi} \int_0^R{\frac{-G \sigma}{\sqrt{(x+h)^2+r^2}} \, \mathrm {d}h \, r \, \mathrm {d}r \, \mathrm {d}\theta} \tag{2}$ما آن را میدانیم
$R=h \tan{\alpha} \tag{3}$
بنابراین با ارزیابی انتگرال دوگانه و جایگزینی (3) در (2) ، بدست می آوریم:
$U_{\text{disc}} (x) = -2\pi G \sigma\, \mathrm {d}h \left(\sqrt{(x+h)^2+\left(h\tan{\alpha}\right)^2}-|x+h|\right) \tag{4}$
میدان گرانشی g⃗ disk (x) در نقطه P را می توان با موارد زیر محاسبه کرد:
اما ما می دانیم که $\mathrm {grad} \, U_{\text{disc}} (x)=\dfrac{\mathrm {d}U_{\text{disc}}}{\mathrm {d}x}\vec{i}$ ، بنابراین برای $x>-h$بدست می آوریم:
$\vec{g}_{\text{disc}}(x)= 2\pi G \sigma\, \mathrm {d}h \left(\frac{x+h}{\sqrt{(x+h)^2+(h\tan{\alpha})^2}}-1\right)\vec{i} \tag{6}$پس از آن انتگرال را محاسبه کنید:
g⃗ مخروط $\vec{g}_{\text{cone}}(x)=2\pi G \sigma\, \int_0^{H} {\left(\frac{x+h}{\sqrt{(x+h)^2+(h\tan{\alpha})^2}}-1\right)\vec{i}} \, \mathrm {d}h \tag{7}$
جایی که $\vec{g}_{\text{cone}}(x)$ به دلیل وجود مخروط ، میدان گرانشی در نقطه P است. در نهایت x = 0 را جایگزین کنید و کار ما تمام شد.
راه حل دوم .پتانسیل و شدت میدان گرانشی در محور یک صفحه دایره ای منظور شما همین هست دیگه .ابتدا اجازه دهید پتانسیل حلقه شعاع a را محاسبه کنیم در فاصله x از مرکز در امتداد محور پتانسیل ناشی از یک عنصر جرم بی نهایت کوچک$dm$
خواهد بود$ \frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}$پس از آن بالقوه به دلیل حلقه است
$\int{\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}}=\frac{-G}{\sqrt{a^2+x^2}}\int{dm}=\frac{-Gm}{\sqrt{a^2+x^2}}$از آنجا که G ، a ، x
ثابت هستندحالا اجازه دهید دیسک را به حلقه های بی نهایت کوچک با جرم$dm=2\pi rdr\frac{M}{\pi a^2} (=area * density)$ تقسیم کنیم.پتانسیل ناشی از حلقه ای از شعاع rو جرم dm همانطور که در بالا ذکر شده است$\frac{-Gdm}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}$ادغام این از 0 بهa
$\int{\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}}$
$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}}}$
قرار دادن $t^2=r^2+a^2$ و $2rdr=2tdt$
$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}}$
$=\frac{-GM}{a^2}[2t]^{\sqrt{a^2+x^2}}_{x}$
$=\frac{-2GM}{a^2}({\sqrt{a^2+x^2}}-{x})$
از نظر شدت ، با تقارن می توان دریافت که در امتداد محور است یعنی $g = 2\pi G p t \int \ rdr\ x/(a^2 + x2)^{3/2} = 2\pi G p t$، بنابراین ما فقط با اجزای محوری کار می کنیم
بنابراین ، برای حلقه
$\int\frac{-Gdmcos\theta}{a^2+x^2}$
جایی که θ نصف زاویه ای است که توسط نقطه روی حلقه محروم شده است
$cos\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$
$K=\int\frac{-Gxdm}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{-Gxm}{(a^2+x^2)^{3/2}}$
برای یک دیسک ، بر اساس همان استدلال که در حالت بالقوه وجود دارد ، چنین است
$K=\int\frac{-Gxdm}{(r^2+x^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxrdr}{a^2(r^2+x^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxtdt}{a^2(t^2)^{3/2}}$
$=\int\frac{-2GMxdt}{a^2t^2}$
$=\frac{-2GMx}{a^2}[\frac{-1}{t}]^{\sqrt{a^2+x^2}}_x$
$K=\frac {2 G M}{a^2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1 \right)$,و پتانسیل ان هم $\phi = - \frac {2 \kappa M}{a^2}(\sqrt{a^2+x^2}-x)$توجه گرانش یک نیروی محافظه کار است (اندازه و جهت آن فقط توابع مکان است) ، بنابراین ما می توانیم هر مسیری را که می خواهیم در پیش بگیریم ، و نتیجه محاسبه کار یکسان است.$\text{Δ}U=-{\int }_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\overset{\to }{F}·d\overset{\to }{r}=G{M}_{\text{E}}m{\int }_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\frac{dr}{{r}^{2}}=G{M}_{\text{E}}m(\frac{1}{{r}_{1}}-\frac{1}{{r}_{2}}).$
حالا بزرگترین ساختار فضایی "توخالی" که می توان ایجاد کرد چیست؟چقدره.ساختاری که من تصور می کنم کاملاً توخالی نیست. با یک ساختار نگهدارنده پر شده است. به عنوان مثال ، این می تواند یک ساختار لانه زنبوری باشد. ایده این است که آن را تا آنجا که ممکن است بزرگ کنیم ، بدون اینکه به دلیل گرانش ایجاد شده ، از نظر ساختاری غلت بزند. من تعجب می کنم که آیا ممکن است حتی بتوان ساختار توخالی را به اندازه ای بزرگ کرد که بتوان آنرا به دلیل نامناسب بودن جرم و گرانش کم ، به طور نامحدود ادامه داد و ساختار را بزرگ کرد. شما نمی توانید یک پوسته با یک پوسته نازک دلخواه بسازید ، زیرا پوسته های نازک مدت زیادی قبل از رسیدن تنش به مقاومت فشاری کج می شوند.
آنچه ما باید انجام دهیم این است که فرمول تنش در یک پوسته نازک تحت وزن خود را در نظر بگیریم و برای چگالی و استحکام کمتر شبکه استفاده کنیم.نیروی Fعمل بر روی قطعه اندازه A بیرونی ترین پوسته با ضخامت t
بر جرم کل ساختار تأثیر می گذارد و با موارد زیر داده می شود:$F = A \rho t G \rho \frac{4}{3} \pi$
به نحوه $\rho$ توجه کنیدبه قسمت چپ - وزن عنصر پوسته - و قسمت راست - گرانش کل - سمت راست می رود. اگر A را با تقسیم به چپ حرکت دهیم ، به نوعی فشار بر روی پوسته می رسیم. تنش حلقه در مخزن تحت فشار با $\sigma = \frac{Pr}{2t}$ داده می شود
، این رابطه در اینجا نیز وجود دارد ، تنش فشاری آن (نه تنش کششی). برای تنش در بیرونی ترین پوسته خود به این موارد می رسیم:$\sigma = \frac{2}{3}G \rho^2 r^2 \pi$
متن ذکر شده در بالا پیوند بین چگالی و قدرت تسلیم را ارائه می دهد: تصویر

رهام حسامی
آخرین ویرایش توسط rohamjpl پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۹ - ۰۸:۲۸, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 25

سپاس: 6

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط Player »

maxrg.ir نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۷ - ۰۵:۵۷
Player نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۷ - ۰۳:۱۳
برای رسیدن از رابطه اول به دوم باید انتگرال گیری انجام دهید. یک کره بینهایت کوچک (یک نقطه) را روی صفحه ای که می خواهید گرانش آن را پیدا کنید در نظر بگیرید. باید گرانش این نقطه، و بینهایت نقطه دیگری که روی این صفحه وجود دارد را با یک دیگر جمع بزنید تا شتاب گرانشی را در فاصله ای خاص از سطح صفحه پیدا کنید. برای انجام این کار، از رابطه اول بر حسب جرم دیفرانسیل بگیرید و بعد روی حجم مکعب مستطیل انتگرال گیری انجام دهید؛ که در مختصات کارتازین کار نسبتا دشواری خواهد بود اما در مختصات استوانه ای با انتگرال های معقولی رو به رو خواهید شد.

( جرم برابر است با چگالی در حجم کره. دیفرانسیل جرم هم برابر است با چگالی ضربدر دیفرانسیل حجم. )
با المان کروی خیلی سخت میشه. باید المان استوانه‌ای در نظر گرفت. صفحه رو هم مکعب مستطیل فرض نکنید، بلکه قرص بزرگی در نظر بگیرید. ضمناً قبل از شروع محاسبه برای قرص، باید دید میدان گرانشی روی محور استوانه چقدر میشه.
متوجه منظورتون از سخت نمی شوم؟

$g = Gm/r^2$ شتاب گرانشی یک کره

$dg = Gdm/r^2=Gpdv/r^2$ شتاب گرانشی یک کره بینهایت کوچک و در مختصات کارتازین: $dg = Gp \ dxdydz/(x^2 + y^2 + z0^2)$

$g = \int cos(phi)\ dg = \int Gp \ dxdydz \ cos(phi)/(x^2 + y^2 + z0^2)$ انتگرال گیری روی بینهایت کره کوچک یا المان حجمی کارتزین. cos(phi) به این علت اضافه شده که المان ها دو به دو گرانش یک دیگر را در صفحه xy خنثی می کنند و تنها در محور z گرانش خالص داریم.

از آنجایی که ضخامت صفحه t است، پس انتگرال گیری روی محور z به راحتی انجام می شود، و برابر t می گردد. از طرف دیگر $cos(phi) = z0/\sqrt{x^2 + y^2 + z0^2}$

$g = \int cos(phi)\ dg = Gpt\int \ dxdy \ z0/(x^2 + y^2 + z0^2)^{3/2} = Gpt\int \ rdrd\theta\ z0/(r^2 + z0^2)^{3/2}$ تغییر متغییر به مختصات استوانه ای. از آنجایی که حد y و x از منفی بینهایت تا بینهایت است (صفحه نامحدود می باشد) حدود r و تتا بین صفر تا بینهایت، و 0 تا دو پی می شود. (تتا برابر تانژانت معکوس ایگرگ به ایکس، و r برابر جذر توان دوم ایگرگ و جمع آن با توان دوم ایکس است)
$ g = 2\pi G p t \int \ rdr\ z0/(r^2 + z0^2)^{3/2} = 2\pi G p t $ و تمام.

در واقع هر المان حجمی مختصات کارتزین (که یک مکعب است) گرانشی مشابه با یک کره بینهایت کوچک با جرم dm اعمال می کند که با مجذور فاصله کم می شود. ظاهر و شکل المان، ارزش فیزیکی ندارد. اگرچه یک مکعب بزرگ، گرانشی متفاوت با یک کره دارد؛ اما زمانی که مکعب بینهایت کوچک می شود، می توان فرض کرد که گرانش آن مشابه یک کره بسیار کوچک است. به هیچ فرض اضافه ای مثل قرصی شکل بودن صفحه و ... احتیاجی نیست و با تغییر متغییر و پیدا کردن حدود متغییر های جدید می توان مسئله را در هر صورت حل کرد. (انتظار داریم تحت چه شرایطی یک مکعب بزرگ، میدان گرانشی مشابه با یک کره داشته باشد؟)

نکته: در حدی که صفحه نامحدود است، قرصی شکل کردن آن اهمیتی ندارد. یک دایره با شعاع بینهایت معادل یک صفحه تخت است. اما در حدی که صفحه محدود است، دیگر نمی توان آن را قرصی شکل در نظر گرفت، و لبه های صفحه ارزش پیدا می کند. با این حال؛ همچنان می توان مسئله را در مختصات قطبی، مثل بالا، حل کرد. اما انتگرال ها دیگر لزوما جواب تحلیلی نخواهند داشت. (همیشه می توان تغییر متغییر داد؛ اما همیشه نمی توان یک قرص را معادل یک صفحه گرفت)

ویرایش: تغییر t داخل کسینوس به phi (چون ضخامت صفحه هم t است و زاویه بردار گرانش پارامتری مستقل است)

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

Player نوشته شده:
چهارشنبه ۱۴۰۰/۷/۲۸ - ۱۳:۳۴
maxrg.ir نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۷ - ۰۵:۵۷
Player نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۷ - ۰۳:۱۳
برای رسیدن از رابطه اول به دوم باید انتگرال گیری انجام دهید. یک کره بینهایت کوچک (یک نقطه) را روی صفحه ای که می خواهید گرانش آن را پیدا کنید در نظر بگیرید. باید گرانش این نقطه، و بینهایت نقطه دیگری که روی این صفحه وجود دارد را با یک دیگر جمع بزنید تا شتاب گرانشی را در فاصله ای خاص از سطح صفحه پیدا کنید. برای انجام این کار، از رابطه اول بر حسب جرم دیفرانسیل بگیرید و بعد روی حجم مکعب مستطیل انتگرال گیری انجام دهید؛ که در مختصات کارتازین کار نسبتا دشواری خواهد بود اما در مختصات استوانه ای با انتگرال های معقولی رو به رو خواهید شد.

( جرم برابر است با چگالی در حجم کره. دیفرانسیل جرم هم برابر است با چگالی ضربدر دیفرانسیل حجم. )
با المان کروی خیلی سخت میشه. باید المان استوانه‌ای در نظر گرفت. صفحه رو هم مکعب مستطیل فرض نکنید، بلکه قرص بزرگی در نظر بگیرید. ضمناً قبل از شروع محاسبه برای قرص، باید دید میدان گرانشی روی محور استوانه چقدر میشه.
متوجه منظورتون از سخت نمی شوم؟

$g = Gm/r^2$ شتاب گرانشی یک کره

$dg = Gdm/r^2=Gpdv/r^2$ شتاب گرانشی یک کره بینهایت کوچک و در مختصات کارتازین: $dg = Gp \ dxdydz/(x^2 + y^2 + z0^2)$

$g = \int cos(phi)\ dg = \int Gp \ dxdydz \ cos(phi)/(x^2 + y^2 + z0^2)$ انتگرال گیری روی بینهایت کره کوچک یا المان حجمی کارتزین. cos(phi) به این علت اضافه شده که المان ها دو به دو گرانش یک دیگر را در صفحه xy خنثی می کنند و تنها در محور z گرانش خالص داریم.

از آنجایی که ضخامت صفحه t است، پس انتگرال گیری روی محور z به راحتی انجام می شود، و برابر t می گردد. از طرف دیگر $cos(phi) = z0/\sqrt{x^2 + y^2 + z0^2}$

$g = \int cos(phi)\ dg = Gpt\int \ dxdy \ z0/(x^2 + y^2 + z0^2)^{3/2} = Gpt\int \ rdrd\theta\ z0/(r^2 + z0^2)^{3/2}$ تغییر متغییر به مختصات استوانه ای. از آنجایی که حد y و x از منفی بینهایت تا بینهایت است (صفحه نامحدود می باشد) حدود r و تتا بین صفر تا بینهایت، و 0 تا دو پی می شود. (تتا برابر تانژانت معکوس ایگرگ به ایکس، و r برابر جذر توان دوم ایگرگ و جمع آن با توان دوم ایکس است)
$ g = 2\pi G p t \int \ rdr\ z0/(r^2 + z0^2)^{3/2} = 2\pi G p t $ و تمام.

در واقع هر المان حجمی مختصات کارتزین (که یک مکعب است) گرانشی مشابه با یک کره بینهایت کوچک با جرم dm اعمال می کند که با مجذور فاصله کم می شود. ظاهر و شکل المان، ارزش فیزیکی ندارد. اگرچه یک مکعب بزرگ، گرانشی متفاوت با یک کره دارد؛ اما زمانی که مکعب بینهایت کوچک می شود، می توان فرض کرد که گرانش آن مشابه یک کره بسیار کوچک است. به هیچ فرض اضافه ای مثل قرصی شکل بودن صفحه و ... احتیاجی نیست و با تغییر متغییر و پیدا کردن حدود متغییر های جدید می توان مسئله را در هر صورت حل کرد. (انتظار داریم تحت چه شرایطی یک مکعب بزرگ، میدان گرانشی مشابه با یک کره داشته باشد؟)

نکته: در حدی که صفحه نامحدود است، قرصی شکل کردن آن اهمیتی ندارد. یک دایره با شعاع بینهایت معادل یک صفحه تخت است. اما در حدی که صفحه محدود است، دیگر نمی توان آن را قرصی شکل در نظر گرفت، و لبه های صفحه ارزش پیدا می کند. با این حال؛ همچنان می توان مسئله را در مختصات قطبی، مثل بالا، حل کرد. اما انتگرال ها دیگر لزوما جواب تحلیلی نخواهند داشت. (همیشه می توان تغییر متغییر داد؛ اما همیشه نمی توان یک قرص را معادل یک صفحه گرفت)

ویرایش: تغییر t داخل کسینوس به phi (چون ضخامت صفحه هم t است و زاویه بردار گرانش پارامتری مستقل است)
$z_0$ چیه؟ ثابت گرفتیدش؟ چرا؟
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 25

سپاس: 6

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط Player »

z0 مکانیست که در آن میدان گرانشی را اندازه گیری میکنیم. z0 پارامتر آزاد مسئله است و می تواند هر مقداری داشته باشد؛ اما روی آن انتگرال نمیگیریم چرا که اصلا این کار معنی نمی دهد. ما به دنبال یافتن شتاب گرانشی، در فاصله ای مشخص از مبدا مکانی هستیم. نمیخواهیم میدان گرانشی دریافتی را در نقاط مختلف را با یک دیگر جمع بزنیم که اصلا روی z0 انتگرالی بگیریم. اگر به جای شتاب گرانشی، به دنبال پیدا کردن پتانسیل سیستم بودیم؛ انگاه روی z0 نیز انتگرال میگرفتیم؛ اما مسئله چنین چیزی را طلب نکرده است. البته z0 تنها یک انتخاب خاص برای اندازه گیری میدان گرانشی است که مسئله را راحت تر می کند. حالت کلی تری که میتوانستیم حل کنیم

$$ g = Gp\int dxdydz \ cos(phi') \ /( (x0-x)^2 + (y0-y)^2 + z0^2) $$

بود که همچنان به نتیجه ای مشابه ختم میشد (کافیست تغییر متغییر x0- x = X بدهیم، به عنوان مثال). اگر هنوز مسئله برایتان روشن نشده است، به خاطر بیاورید که ما در واقع داریم روی dm انتگرال میگیریم و نه dr. این مسئله درست مانند مسائل الکترومغناطیس است. سه بردار می توانیم تصور کنیم. برداری که از مبدا، به هر dm وصل شده است. اسم آن را 'r بگذاریم. برداری که از مبدا، به مکانی که در آن میدان گرانشی اندازه گیری می شود وصل شده است. اسم آن را r بگذاریم. و در نهایت بردار R که تفاضل بردار 'r و r است. از طرف دیگر می دانیم که میدان گرانشی هر نقطه دیفرانسیلی در 'r برابر است با $dg = Gdm(r'-r)/|r'-r|^3$ اما $dm = pdv'$ پس چه بخواهیم و چه نخواهیم روی $r'$ انتگرال خواهیم گرفت و r در انتگرال گیری نقشی پیدا نمی کند.

اگر همچنان متقاعد نشده اید، فرض کنید سطح در ابتدا ضخامتی ندارد. بنابرین روی z انتگرالی نمیگیریم و تنها dxdy وجود دارد و باقی روابط بدون تغییر باقی می مانند. پس از انتگرال گیری جواب شتاب گرانشی سطح برابر می شود با $ g = 2\pi \sigma G$ حالا می توانیم از سیگما دیفرانسیل بگیریم تا شتاب گرانشی بینهایت سطح را با یک دیگر جمع بزنیم تا گرانش سطح ضخامت دار در بیاید. و چون

$$d\sigma = dm/A = pAdz/A = pdz $$

با یک جایگذاری ساده و انتگرال گیری روی z از 0 تا t مجددا به جواب مشابهی میرسیم.

توضیحات اضافه:
به جای فرض کردن یک سطح بی ضخامت و بعد جمع زدن بینهایت از این سطح برای یافتن میدان گرانشی (مثل شیوه حلی که توی پست قبل داشتم)، می توانیم مستقیما روی مکعب مستطیل هم انتگرال بگیریم. اما در معادله g دو تفاوت به وجود می آید:

$$ g = Gp\int dxdydz \ cos(phi(z)) \ /( (x)^2 + (y)^2 + (z-z0)^2) $$

تفاوت اول این است که فی خود تابعی از z می شود. تفاوت دوم این است که در مخرج، به جای z0 با عبارت z0 - z رو به رو می شویم. (در واقع مکان هر نقطه دیفرانسیلی ماده، نسبت به محور z اهمیت پیدا می کند). اما داریم

$$cos(phi(z)) = \frac{(z0-z)}{\sqrt{ x^2 + y^2 + (z0-z)^2}}$$

حالا به جای این که روی z انتگرال بگیریم، اول وارد دستگاه استوانه ای میشویم و روی r انتگرال میگیریم که میشود
$$g = 2\pi G p \int (z0-z)/\sqrt{(z0-z)^2}dz = 2\pi G p \int dz = 2\pi G p t$$

که همان پاسخ قبل است. شیوه حل واقعا اهمیتی ندارد. ( شاید یکم داشته باشد smile139 )
آخرین ویرایش توسط Player پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۹ - ۰۵:۲۳, ویرایش شده کلا 1 بار

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

پس شما هم انتگرال حجمی نگرفته‌اید!
شما انتگرال سطحی گرفته‌اید. فرض کردید چندین لایه خیلی نازک روی هم قرار گرفته‌اند؛ مسأله را برای یک لایه حل کرده‌اید؛ در نهایت همه حلها را با هم جمع زده‌اید.

منظور من از سخت، انتگرال حجمی بود. در انتگرال حجمی، گرانش ناشی از هر المان به $x$ و $y$ و $z$ بستگی دارد. و این مسأله تقارن کروی ندارد که با مختصات کروی به‌سادگی حل شود.
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 25

سپاس: 6

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط Player »

من پستم رو ویرایش کردم و انتگرال حجمی هم گرفتم که در بخش توضیحات اضافه میتوانید ببینید. آنچنان سخت نمی شود. و این که من در هیچ جا نگفتم که در مختصات کروی انتگرال را حل کنیم. به دو پست قبل من اگر مراجعه کنید، خط آخر نوشتم در مختصات کارتزین حل کردن انتگرال حجمی دشوار است، اما در مختصات استوانه ای بدون مشکل حل می شود. خودتان آن را نقل قول کرده اید.

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 55

سپاس: 19


تماس:

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط maxrg.ir »

الآن دیدم. ممنون.
حق با شماست. نمیدونم چرا تصور کردم می‌خواید در مختصات کروی حل کنید.
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 25

سپاس: 6

Re: گرانش یک لایه تخت

پست توسط Player »

maxrg.ir نوشته شده:
چهارشنبه ۱۴۰۰/۷/۲۸ - ۲۲:۱۶
الآن دیدم. ممنون.
حق با شماست. نمیدونم چرا تصور کردم می‌خواید در مختصات کروی حل کنید.
خواهش میکنم. البته یک سهل انگاری داشتم که در حالت حجمی پس از محاسبه انتگرال dz دقت نکردم که انتگرال dr مبهم می شود. در واقع تفاضل دوتا بینهایت می شود که سر و کله زدن با آن آسان نیست. مگر این که به جای محاسبه دو انتگرال و تفریق آن ها از یک دیگر، مخرج مشترک بگیریم و سپس انتگرال گیری انجام دهیم که خیلی ساده نیست. راه بهتر این است که ابتدا روی r انتگرال بگیریم. ناخودآگاه صورت و مخرج کسر خط خورده می شود و به همان انتگرال dz معمولی میرسیم. این مسئله را در ویرایش تازه نوشتم.

ارسال پست