حفظ جرم در معادلات ناویر-استوکس

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1016

سپاس: 677

جنسیت:

تماس:

حفظ جرم در معادلات ناویر-استوکس

پست توسط rohamjpl »

من مشتقات معادلات ناویر-استوکس را دنبال کرده ام و می توانم ببینم چگونه اصطلاحات مختلف در "معادله اصلی" ، معادله حفظ حرکت ، بوجود می آیند.
با این حال من نمی فهمم چرا معادله حفاظت جرم اصطلاح انتشار ندارد. در حفظ معادله حرکت یک اصطلاح نوع انتشار وجود دارد ، بنابراین چرا ما در حفظ معادله جرم چنین واژه ای نداریم؟برای مایع تک جزء ، حفظ جرم دنبال می شود
$\left(\begin{array}{c}\text{mass of fluid } \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of fluid } \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{sources or} \\ \text{sinks in }\Delta V\end{array}\right)$
از نظر مکعب حجم $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$ ، این است
$\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\rho\Delta V&=\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x}-\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x+\Delta x} \\
&+\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y}-\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y+\Delta y} \\
&+\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z}-\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z+\Delta z} \\
&+r\Delta V
\end{align}$
شار در اینجا $\rho v_i$ تعریف می شود: جرمی که به بیرون جریان دارد ، $ρ$ ، باید با سرعت سیال در حجم سلول خارج شود ،$v_i$. اگر انتشار میکروسکوپی انجام شود ، ما نمی توانیم تشخیص دهیم زیرا جرم های مولکولی یکسان هستند ، بنابراین نمی توانیم حالت 1 را از حالت 2 تشخیص دهیم.
سپس با تقسیم هر دو طرف بر ΔV و گرفتن حد $\Delta x\to0$ ، به PDE ختم می شویم
$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}-\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}-\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}+r$
که به معادله تداوم متداول کاهش می یابد
$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0$
بدون منبع/غرق کننده (r = 0).
با این حال ، اگر گونه های شیمیایی متفاوتی را در نظر بگیریم که می توانند برهم کنش داشته باشند ، می توانیم جزء انتشار معادله تداوم را داشته باشیم. برای حجم دلخواه برخی از گونه های شیمیایی i ، تراز جرم برابر است
$\left(\begin{array}{c}\text{mass of species }i \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of species }i \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{mass produced} \\ \text{by reactions}\end{array}\right)$
که واقعاً ،
$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{n}=r\tag{1}$
جایی که n شار گونه $c_i$ است و r اصطلاح منبع است. البته این معادله تداوم مشترک ما با یک عبارت منبع است. در مورد سیال چند جزء در اینجا ، انتشار ذرات حالات را تغییر می دهد ، بنابراین حالت اولیه دیگر معادل حالت نهایی نیست.
برای جریانهای ثابت ، شار برای انتقال جرم است
$\mathbf{n}=-D\nabla c_i$
تا قانون فیک را به ما بدهد. با این حال ، برای یک جریان متحرک ، شار دارای یک انتشار و یک جزء همرفتی/فرارفتی است ،
$\mathbf{n}=-D\nabla c_i+c_i\mathbf{v}$
که سپس اجازه می دهد (1) باشد
$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla \cdot c_i\mathbf{v}=\nabla\cdot\left(D\nabla c_i\right)+r\tag{2}$
که یک معادله همرفت-انتشار است.
با معادله حرکت ، با این حال ، ما برخی اصطلاحات اضافی داریم که با تغییر شکل حجم کنترل ΔV مرتبط است:
$\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\rho \mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho \mathbf u\,d\mathbf S\right)\mathbf u-\oint_S p\,d\mathbf S+\iiint_V\rho\mathbf f_{body}\,dV+\mathbf F_{surf}$
یعنی نیروهای بدن ،$\mathbf{f}_{body}$ و نیروهای سطحی ،$\mathbf{F}_{surf}$. این نیروی سطحی است که اصطلاح انتشار را ایجاد می کند ، زیرا به تنسور تنش مربوط می شود که عبارت $\nu\nabla^2\mathbf{v}$ را در معادله ناویر استوکس ارائه می دهد.
قانون اول فیک ، جریان نفوذی را به گرادیان غلظت مربوط می کند. این فرض را بر این می گذارد که شار از مناطق با غلظت زیاد به مناطق با غلظت کم ، با قدر متناسب با گرادیان غلظت (مشتق فضایی) می رود ، یا به بیان ساده این مفهوم که یک املاح از منطقه ای با غلظت زیاد به منطقه ای با غلظت پایین در سراسر شیب غلظت. در یک بعد (مکانی) ، قانون را می توان به اشکال مختلف نوشت ، جایی که رایج ترین شکل به صورت مولار است:
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$
J شار انتشار است که ابعاد آن مقدار ماده در واحد سطح در واحد زمان است. J مقدار ماده ای را که در یک واحد زمانی در یک واحد زمانی جریان می یابد اندازه می گیرد.
D ضریب نفوذ یا نفوذ است. ابعاد آن مساحت در واحد زمان است.
φ (برای مخلوط های ایده آل) غلظت است که ابعاد آن مقدار ماده در واحد حجم است.
x موقعیت است که ابعاد آن طول است.
D متناسب با سرعت مربع ذرات منتشر کننده است که به دما ، ویسکوزیته سیال و اندازه ذرات با توجه به رابطه استوکس -اینشتین بستگی دارد
اکنون دیافراگم را برداشته و به دنبال تغییرات گاز موجود در جعبه می گردید. اما هیچ اتفاقی نمی افتد زیرا برای هر مولکولی که از سمت چپ تقسیم شروع می کند و به سمت راست تقسیم کننده حرکت می کند ، یک مولکول از راست به چپ حرکت می کند. اما آنها دقیقاً همان جرم ها ، فشارها و دما هستند ، بنابراین هیچ تغییری در وضعیت واقعی جعبه ایجاد نمی شود.
تصور کنید جعبه ای از مولکول های گاز در داخل آنها وجود دارد که در آن تکان می خورند. هر مولکول یکسان است ، بنابراین جرم ، دما و فشار یکسانی دارند. فرض کنید این جعبه دارای یک دیافراگم در وسط است که جعبه را به دو قسمت تقسیم می کند.
حالا تصور کنید که شما همان جعبه را داشتید که از وسط نصف شده بود ، اما این بار یک مولکول سبک در سمت چپ و یک مولکول سنگین در سمت راست قرار دادید ، باز همگی با فشار و دمای یکسان. حالا وقتی دیافراگم را برمی دارید ، وقتی یک مولکول سنگین به سمت مولکول سبک حرکت می کند ، چندین مولکول سبک به سمت سنگین حرکت می کنند. و اگر با گذشت زمان به این موضوع نگاه کنید ، با تکان خوردن این مولکول ها و مخلوط شدن ، سطح تیز از بین می رود. در نهایت ، همگن می شود و دیگر هیچ تغییری در سیستم مشاهده نمی کنید.
حالا تصور کنید اگر ما یک جعبه یکسان ، یک تقسیم کننده ، با مولکول های یکسان در سمت چپ و راست داشتیم ، اما در حال حاضر دمای چپ بیشتر از راست بود. هنگامی که تقسیم کننده برداشته می شود و یک مولکول با درجه حرارت بالا به یک طرف حرکت می کند و درجه حرارت پایین در محل قرار می گیرد ، می بینید که دمای سیستم پراکنده شده و مخلوط می شود تا یکدست شود. برای بدست آوردن اصطلاح انتشار ویسکوزیته می توانید همین بحث را در مورد حرکت ایجاد کنید.
بنابراین همه اینها به این معنی است که معادلات همه چیزهای یکسانی را توصیف می کنند ، اما انتشار جرم یکسان یک سیستم غیرقابل تشخیص از حالت قبلی می دهد. فقط هیچ تفاوت قابل مشاهده ای وجود ندارد و بنابراین هیچ اصطلاحی در معادله جرم وجود ندارد. مگر اینکه چند گونه (مولکول های مختلف) داشته باشید ، در این صورت معادلات جرم جزئی دارای اصطلاح انتشار هستند.help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست