معادله برنولی امتداد خطی و ناویر استوکس

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1016

سپاس: 677

جنسیت:

تماس:

معادله برنولی امتداد خطی و ناویر استوکس

پست توسط rohamjpl »

متوجه شدم که در فرآیند استخراج معادله برنولی ،
$constant=P/d+gh+1/2v^2$
باید در تراکم ضرب شود برای ثابت نگه داشتن سمت چپ ، چگالی سیال باید ثابت باشد و بنابراین قابل تراکم نیست.
اما ویژگیهای دیگر مانند گرانوری یا چسبندگی و غیرقابل چرخش چیست؟ منظورشون چیه؟ و چرا آنها ضروری هستند؟معادله ارنولی در واقع شبیه یک معادله حفاظت از انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم $\dot{m}$ ضرب کنید (همچنین ثابت است) بدست می آورید:
$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$
اصطلاحات همه انرژی در واحد زمان است. اولین مورد ، 12m˙v2 ، نشان دهنده انرژی جنبشی ترجمه (در واحد زمان) سیال است. اما اصطلاحی برای انرژی جنبشی چرخشی در نظر گرفته نشده است (به هر حال ، سیالی که از طریق مجاری عبور می کند به ندرت می چرخد!) بنابراین با استفاده از برنولی ، ما فقط حرکت انتقالی سیال را فرض می کنیم.
این معادله فقط در مورد مایعات نامنظم صدق می کند زیرا مایعات با ویسکوزیته قابل توجه ، اتلاف انرژی چسبناکی را تجربه می کنند ، که حفظ نمی شود: انرژی از دست رفته در اثر اصطکاک ویسکوز باید برای جلوگیری از کاهش $\dot{m}$ کاهش) ، به عنوان مثال با فشار اضافی ، تأمین شود.
من فکر می کنم استخراج معادله برنولی به روشن شدن مسائل کمک می کند.
ما با معادلات ناویر استوکس شروع می کنیم
$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u} =-\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p +\nu \nabla^2 \vec{u},$
جایی که $\rho$ چگالی ،$ p$ فشار و $\nu$ گرانروی سینماتیکی است. اصطلاح جاذبه را می توان به صورت بازنویسی کرد
$\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\times \vec{\omega}$
جایی که$\vec{\omega}=\vec{\nabla}\times \vec{u}$ گرداب است.
اکنون می توانیم این معادله را با فرضیات مختلف بررسی کنیم.
برای مثال ، فرض کنیم چگالی ثابت است. علاوه بر این ، ما جریان را غیرقابل چرخش می دانیم. طبق تعریف این بدان معناست
$\vec{\nabla}\times\vec{u}=0\implies \vec{u}=\vec{\nabla}\phi$
$\phi$ یک تابع اسکالر سرانجام جریان را نامرئی کنید (یعنی $\nu =0$.
با این مفروضات می توان معادلات ناویر استوکس را به صورت زیر بازنویسی کرد
$\vec{\nabla}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}+\frac{1}{\rho}p\right)=0.$
این دلالت می کنه که
$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}+\frac{1}{\rho}p=B(t)$
جایی که B فقط تابعی از زمان است. این معمولاً جذب $\phi$ می شود ، اما نمونه هایی وجود دارد که باید به ارزش سر برنولی توجه کرد (به عنوان مثال Whitham 1962).
ساده سازی های دیگری نیز وجود دارد (مانند زمان مستقل ، اما احتمالاً چرخشی) که می توانید از آنها برای بدست آوردن معادله برنولی استفاده کنید.
همچنین می توان از معادله حرکت اویلر برای حرکت یک عنصر سیال dm در حال حرکت (ترجمه اما بدون چرخش) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا مشتق شد:
ذره اویلر:
این معادله (تعادل نیروهایی که بر عنصر سیال وارد می شود) عبارت است از:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$
چهارمین اصطلاح عبارت تنش برشی برای یک مایع چسبناک است. برای یک مایع نامرئی آن عبارت صفر می شود ، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$
بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض عدم تراکم پذیری (ρ = ثابت) ، بدست می آوریم:
$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و$\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
کمی بازسازی شده:
$\
frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست