توصیف لاگرانژی و ایولری

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1016

سپاس: 677

جنسیت:

تماس:

توصیف لاگرانژی و ایولری

پست توسط rohamjpl »

دو روش برای توصیف حرکت سیال وجود دارد. یکی لاگرانژی نامیده می شود ، جایی که همه ذرات سیال را دنبال می کند و تغییرات اطراف هر ذره سیال را در طول مسیر آن شرح می دهد. دیگری Eulerian است ، جایی که تغییرات در همه ایستگاههای ثابت به عنوان تابعی از زمان توصیف می شود
رویکرد لاگرانژی با ذرات منفرد سروکار دارد و مسیر هر ذره را به طور جداگانه محاسبه می کند ، در حالی که رویکرد ایولری به غلظت ذرات می پردازد و انتشار و جابجایی کلی تعدادی از ذرات را محاسبه می کند.هدف از توصیف لاگرانژی و ایولری چیست؟
اطلاعات Eulerian مربوط به زمینه هایی است ، یعنی خواصی مانند سرعت ، فشار و دما که در زمان و مکان متفاوت است. دیدگاه لاگرانژی یک راه طبیعی برای توصیف حرکت اجسام جامد است. به عنوان مثال ، فرض کنید یک سیب از درخت می افتد
مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در ۱۷۸۸ میلادی) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست (اصل کمترین کنش). بنا به تعریف، لاگرانژین تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. یعنی داریم:
${\displaystyle L=T-V\!}$
در اینجا، تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژین کمینه شود. مثلاً، در ساده‌ترین حالت، کُنشِ مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر نوشته می‌شود:
${\displaystyle S=\int _{0}^{T}{({{1} \over {2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x))dt}}$
در اینجا x خود تابعی از زمان است. ${\displaystyle x=x(t)}$. کمینه‌کردن کمیت S منجر به معادلاتی می‌شود که اصطلاحاً به آن‌ها معادلات اولر-لاگرانژ می‌گویند:
${\displaystyle {\partial L \over {\partial x}}-{d \over {dt}}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0}$
که می‌شود:
${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\partial V \over \partial x}=F}$
که همان قانون دوم نیوتن است. زمانیکه ما ذره را به صورت نسبیتی بررسی کنیم. لاگرانژی دیگر یک کمیت نرده‌ای نیست، بلکه، یک چاربردار است. تفاضل چابردار جنبشی و پتانسیل به ما چاربردار لاگرانژی را میدهد. و کنش انتگرال چاربردار دیفرانسیلی مکان روی چاربردار لاگرانژی خواهد بود.
همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذیرد. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دسترسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دسترسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.
تفاوت بین فرمول Eulerian و Lagrangian از Fluid Dynamics
من دانشجوی مهندسی هوافضا هستم و با مکانیک سیالات تا حدودی اشنا هستم و . تا کنون تعریف F = ma برای من کافی بود تا هرگونه مشکل جسم سخت در مکانیک کلاسیک را حل کنم. با مشکلاتی در ارتباط با تغییر جرم (به عنوان مثال ، پیشرانه موشک) ، تعریف اساسی تری مطرح می شود ، یعنی$F = \frac{\partial (mv)}{\partial t}$
من سعی کردم این تعریف را به ترتیب برای یک حجم ثابت از اضلاع $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ اعمال کنم و به شرح زیر عمل کردم (در چارچوب Eulerian):
$\begin{eqnarray}
\mathbf{F} &=& \frac{\partial (m \mathbf{v})}{\partial t} \\
&=& \Delta x \Delta y \Delta z \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} \\
&=& \Delta x \Delta y \Delta z \left[ \rho\frac{\partial ( \mathbf{v})}{\partial t} + \mathbf{v}\frac{\partial (\rho)}{\partial t} \right] \\
&=& \Delta x \Delta y \Delta z\left[ \rho\frac{\partial ( \mathbf{v})}{\partial t} - \mathbf{v}\left (\nabla (\rho \mathbf{v}) \right) \right] \qquad \text{ continuity equation} \\
\end{eqnarray}$ معادله تداوم
این به شرح زیر پیش می رود: از آنجا که mv تابع سرعت و فضا است ، نسبت به همه متغیرها متمایز می شود تا تغییرات کلی حاصل شود.
$\begin{eqnarray}
\mathbf{F} &=& \frac{\partial (m \mathbf{v})}{\partial t} + \frac{\partial (m \mathbf{v})}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial (m \mathbf{v})}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} +\frac{\partial (m \mathbf{v})}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t}\\
&=& \Delta x \Delta y \Delta z \left[\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial x} v_x+\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial y} v_y +\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial z} v_z \right] \\
\end{eqnarray}$
من فکر می کنم تصور غلط اصلی این است که در مورد Eulerian ، حرکت به عنوان یک میدان پیوسته در نظر گرفته می شود که تابعی از زمان و مکان است ، یعنی $m\mathbf{v}=m\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$ ، در حالی که در مورد لاگرانژی ، ما یک بسته جداگانه مایع ، که با جریان در حال حرکت است. بنابراین ، تکانه فقط یک تابع زمان است $m\mathbf{v}=m\mathbf{v}(t)$ ، اما بسته نیز دارای موقعیتی است که آن نیز تابع زمان است$\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$
بنابراین ، به نظر Eulerian ، همانطور که در نظر SMeznaric آمده است:
$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{d t}$نه$\mathbf{F}=\frac{\partial(m\mathbf{v})}{\partial t}$
نیرو مشتق کل حرکت از قانون دوم نیوتن است. از آنجا که شتاب تابع زمان و مکان است $m\mathbf{v}=m\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$ ، مشتقات جزئی با توجه به موقعیت و زمان باید گسترش یابد ، همانطور که در کتاب درسی نشان داده شده است. سپس نتیجه می شود:
$\mathbf{F}=\Delta x\Delta y\Delta z\Bigl[\frac{\partial(\rho\mathbf{v})}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla(\rho\mathbf{v})\Bigr]$
که در سمت راست ، شرایط گذرا و افزاینده معادله حرکت ناویر استوکس را ارائه می دهد. F در سمت چپ از کمکهای ناشی از گرادیان فشار ، گرانش و نیروهای چسبناک بر حجم تشکیل شده است.
در مورد لاگرانژی ، قانون دوم نیوتن همچنان برقرار است ، یعنی:
$\mathbf{F}=\frac{d(m\mathbf{v})}{d t}$
اما تفاوت اصلی این است که ما در حال بررسی یک قطعه مایع هستیم که با جریان حرکت می کند. بنابراین ، همانطور که در بالا توضیح داده شد ، حرکت اکنون تابع زمان است. جرم بسته ثابت است ، بنابراین می توان آن را از مشتق خارج کرد:
$\mathbf{F}=m\frac{d(\mathbf{v})}{d t}$
بنابراین ، در حال حاضر همان نیروها از شیب فشار ، گرانش و گرانروی در سمت چپ توسط میدان جریان وسیع تری بر روی بسته تحمیل می شوند و برابر جرم برابر مشتق کل سرعت بسته است. بنابراین در اینجا ، اگر نیروهای تحمیل شده را بدانیم ، می توانیم به سادگی با هم ادغام شده و سرعت بسته را بیابیم و مسیر آن را از طریق میدان جریان ردیابی کنیم.
بدیهی است که دو نتیجه یکسان نیستند. اشتباه من چیست.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست