دینامیک روی سطح شیبدار

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
Maryammirzae

نام: maryam

محل اقامت: تهران

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۱ - ۱۸:۲۵


پست: 1



جنسیت:

دینامیک روی سطح شیبدار

پست توسط Maryammirzae »

باید از شتاب نسبی و نیرو های عکس العمل هم استفاده کرد.
پیوست ها
۲۰۲۱۰۲۱۳_۱۹۵۸۴۲.jpg
۲۰۲۱۰۲۱۳_۱۹۵۸۴۲.jpg (588.79 کیلو بایت) مشاهده 541 مرتبه

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: دینامیک روی سطح شیبدار

پست توسط rohamjpl »

فرض کنید سطح رمپ دارای اصطکاک نباشد. در این صورت جرم m با شتاب ثابتی به سمت پایین حرکت خواهد کرد. به منظور حل چنین سیستمی در ابتدا باید دستگاه مختصات مناسب در نظر گرفته شود. در نتیجه برای راحتی کار محور yها را در جهت R و محورxها را در جهتF در نظر می‌گیریم.$R = mg \cos \theta $, و مولفع عمودی نیرو $\large f _ x = – m g \sin \theta $پس مینویسم $\large \begin {align*} \sum F _ y = 0 & \ \ \Rightarrow \ \ mg \cos \theta – R = 0 \end {align*} $و همچنین $\large \begin {align*} \sum F _ x = 0 & \ \ \Rightarrow \ \ mg \sin \theta – F = m a \end {align*} $شتاب من $\large \begin {align*} a = \frac { mg \sin \theta – F } { m } \end {align*} $محاسبه شدو در نر گرفتن نیروی اصطکاک $\large F = \mu R = \mu m g \cos \theta $ شتاب من $\large \begin {align*} a = \frac { mg \sin \theta – \mu m g \cos \theta } { m } \end {align*} = g \sin \theta – \mu g \cos \theta $ محاسبه مکیشهتصویر
مساله بعد دینامیک ک توپ در یک رمپ هست باز راحت حساب میشه من تصور می کنم که اصطکاک انرژی را پراکنده نمی کند بلکه فقط باعث می شود که توپ بدون لغزش رول شود. سپس ، انرژی پتانسیل $ E_p = m g h$و سینتیک $ E_{pot} = \frac{1}{2} m v^2$ و به حرکت زاویه ای انرژی ناشی از تکانه زاویه ای را می توان از طریق گشتاور اینرسی ، که برای یک توپ جامد است ، محاسبه کرد
$I= \frac{2}{5} m r^2 $ با انرژی مربوطه $ E_{rot}= \frac{1}{2} I \omega^2.$با شرط نوردن و لیز نخوردن$\omega=\frac{v}{r} $خوب $mg\sin(\theta)-f=ma $و $fR=I\alpha $و $a_c=R\alpha $
و $\implies a_c=\dfrac{g\sin(\theta)}{(1+k^2 /R^2)} $و $f=\dfrac{mg\sin(\theta)}{(1+R^2/k^2)} $و $v_{final}^2=0+2(a_c)(\dfrac{h}{\sin(\theta)}) $حفاظت از انرژی مکانیکی:
$0+mgh=\dfrac 12 mv_{final} ^2 +\dfrac 12 I_{c}\omega_{final}^2 $و$ v_{final}=R\omega_{final}$
$W_{friction}=0 $ از آنجا که نقطه تماس بدن کروی با صفحه خط دار همیشه در حالت استراحت است.نظریه کار-انرژی به طور جداگانه در حرکتانتقالی و حرکت چرخشی:
$-f(\dfrac{h}{\sin(\theta)})+mgh=\dfrac{1}{2}mv_{final}^2 $و $(fr)(\dfrac{h/\sin(\theta)}{r})=\dfrac{I_{c}w_{final}^2}{2} $
تورك * جابجایی زاویه ای = چرخش نهایی KE] روش تئوری حرکت اصطکاک ANGULAR: $L=L_{translational}+L_{rotational} $
با استفاده از قضیه تکانه تکانه در هر نقطه تصادفی در زمان t و t + dt: راحت $( \dfrac{I_{c}}{r_{final}} + mr )(v)(- \hat k) + mgr\sin(\theta)dt
(-\hat k)=( \dfrac{I_{c}}{r_{final}} + mr )(v + dv)(- \hat k) $ بدست میاد
dv/dt را از معادله بالا که برابر با ac است پیدا کنید و سپس از آن برای یافتن سرعت نهایی استفاده کنید.
برای حل مسئله می توانید از قضیه حرکت تکانه ای خطی نیز استفاده کنید: $mv + mgsin (θ) dt − fdt = m (v + dv)$. فقط مقدار f را که در روش اول بدست آوردیم
مساله بعد من فرض کنم وزنه به یک فنر در بالای رمپ متصل هست سیستم بلوک و فنر در یک رمپ من سیستم چشمه جرمی بالا را با ثابت k فنر روی رمپ بدون اصطکاک دارم. من می خواهم انرژی کل سیستم را در هر زمان t پیدا کنم.
برای به دست آوردن معادله حرکت ، استفاده از روش انرژی آسان تر است. بگذارید L روش لاگرانژی باشد $ L=T-V$که T انرژی جنبشی و V انرژی پتانسیل است.
$\begin{align*}
\,L & =T-V\\
& =\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\left( -mgx\sin\theta+\frac{1}{2}kx^{2}\right)
\\
& =\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+mgx\sin\theta-\frac{1}{2}kx^{2}
\end{align*} $از این رو ، از آنجا که هیچ نیروی خارجی وجود ندارد ،$\begin{align*}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right) -\left(
\frac{\partial L}{\partial x}\right) & =0\\
\frac{d}{dt}\left( m\dot{x}\right) -\left( mg\sin\theta-kx\right) & =0\\
m\ddot{x}+kx & =mg\sin\theta
\end{align*} $با یک سیستم مختصات منفرد - در امتداد سطح شیب دار. جابجایی عمودی (برای بیان $U_g $ لازم است) را می توان با توجه به جابجایی از تعادل در امتداد سطح شیب دار و زاویه θ بیان کرد: $y = s \sin\theta $.پس کل انرژی $ E = \frac{1}{2}mv^2 - mgs \sin\theta + \frac{1}{2}ks^2$
این یکی ازاشتباهات بسیاری است که دانشجویان مکانیک با آن روبرو هستند ، زیرا بسیاری از اولین نمونه های اجسام روی شیب شامل$N=mg\cos\theta $ است ، بنابراین ما دانشجویان به استفاده از آن عادت می کنند و فراموش می کنیم که چرا حتی در وهله اول می توانیم این استفاده کنیم . سو تفاهم نیروی N
قانون دوم نیوتن یک معادله برداری است که می گوید نیروی خالصی که بر یک جسم وارد می شود متناسب با شتابی است که در هر برهه از زمان متحمل می شود$ \sum\mathbf F=m\mathbf a$ما می توانیم بردارهای خود را به اجزا کوچک بشکنیم و تبدیل کنیم و قانون دوم نیوتن برای هر جز. اعمال می شود. به عنوان مثال ، ما می توانیم افقی و عمودی را انتخاب کنیم $\sum F_x=ma_x $و$\sum F_y=ma_y $یا برای اشیا روی یک شیب می توانیم موازی و عمود بر شیب را انتخاب کنیم$ \sum F_\parallel=ma_\parallel$و$ \sum F_\bot=ma_\bot$به طور معمول ، ما اجزای سازنده را طوری انتخاب می کنیم که یکی در امتداد شتاب قرار داشته باشد و دیگری عمود بر شتاب باشد.$ \sum F_\bot=N_\bot+w_\bot=N-mg\cos\theta=0\to N=mg\cos\theta$اما ، برای منحنی شیب دار اینگونه نیست. شتاب دارای یک component عمود بر شیب است ، بنابراین اکنونa_\bot\neq0 $
$ و ما داریم$N-mg\cos\theta=ma_\bot\neq0\to N\neq mg\cos\theta $برای منحنیشیب دار بدون اصطکاک ، استفاده از اجزای موازی و عمود بر شیب نادرست نیست ، اما شتاب در هر دو جهت دارای اجزایی است ، بنابراین اشتباه می شود. در عوض اگر جسم همان ارتفاع خود را روی منحنی حاشیه ای حفظ کند تا حرکت دایره ای یکنواخت داشته باشد ، شتاب کاملاً افقی است. بنابراین ، ما اجزای افقی و عمودی را انتخاب می کنیم که ay = 0 باشد. قانون دوم نیوتن سپس به ما می گوید$\sum F_y=N_y+w_y=N\cos\theta-mg=0\to N\cos\theta=mg $
سوال شمابلوک لغزنده را روی گوه مثلثی صاف نگه داشته شده در کف صاف نگه دارید. سرعت گوه را پیدا کنید وقتی بلوک به پایین می رسد
پس آنچه اتفاق می افتد این است که نیروی عادی گوه بر روی جرم کاملا $ mg\cos\alpha$ را متعادل می کند ، و همانطور که میدانید جز component $mg\sin\alpha $ در پایین گوه باقی می ماند.
اما اکنون اوضاع کمی پیچیده تر شده است ، زیرا همزمان با سر خوردن بلوک کوچک ، گوه همزمان حرکت می کند. تصویر
می توان از نظر انرژی به آن نگاه کرد تا ایده بهتری به دست آورد. سیستم جرم گوه زمین جدا شده است ، بنابراین انرژی کل آن صرفه جویی می شود. گوه هیچ انرژی بالقوه ای به دست نمی آورد یا از دست نمی دهد ، بنابراین تنها تغییر در انرژی پتانسیل از جرم ناشی می شود. تغییر −mgh است. این باید به انرژیهای سینتیک هر دو گوه و جرم توزیع شود. به این معنا که $\begin{align}
&\Delta K + \Delta U = \Delta E = 0 \nonumber \\
\implies & \Delta K_{wedge} + \Delta K_{block} - mgh = 0.
\end{align} $پس $\begin{align}
\frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}mv^2 - mgh = 0.
\end{align} $ لذا سرعت $\sqrt { \frac {2 m^2 gh \cos^2a}{(M+m)(M+ m\ sin^2 a)}} $ ببینید $N-mg cos (x) = m(-A sin (x))\tag 1 $ با جایگزینی$ N=MA/sin(x)$در معادله (1) ، $A= \frac{mg cos(x)sin(x)}{M+m sin^2 (x)} $ بدست می آوریمA = شتاب M به سمت چپ
a = شتاب در m پایین شیب
a ′ = شتاب m نسبت به M در امتداد شیب
N = واکنش طبیعی بین بلوک و صفحه
t = زمان گرفته شده توسط بلوک پایین امدن از شیب $\frac{h}{sin(x)}= \frac{a't^2}2 = \frac{(g sin(x)+A cos(x))t^2}2 $
حل کردن برای $t= \sqrt{\frac{2h}{sin(x) (g sin(x) + A cos(x)}}\tag 2 $
در معادله عبارت A را جایگزین کنید. (2) سرعت $\sqrt{\frac{2gh}{(m+M)(M+m sin^2(x))}} \times m cos(x) $
توجه کنید $\frac{1}{2} m (v_b^2 + v_I^2 + 2 v_b v_I \cos \alpha) + \frac{1}{2} M v_I^2 = mgh $
تصویر
$F = (M + m)g \space \tan\theta$چگونه نیروی عادی بر روی گوه ایجاد می شود؟$N\sin\theta=Ma\tag{1} $, $mg\sin\theta+ma\cos\theta=mb \tag{2} $, $mg\cos\theta-ma\sin\theta=N \tag{3} $که در آن b شتاب بلوک در امتداد سطح گوه است که توسط گوه مشاهده شده است.با حل این معادلات ، به دست می آوریم$a=\dfrac{g\sin2\theta}{2\bigg(\dfrac{M}{m}+\sin^2\theta\bigg)}\tag{4} $, $b=g\sin\theta\bigg(\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}\bigg)\tag{5} $,$N=\dfrac{g\cos\theta}{\bigg(\dfrac{1}{m}+\dfrac{\sin^2\theta}{M}\bigg)}\tag{6} $jتوجه کنید $N=mg\cos\theta $اگر $M\to\infty $
تصویر

ارسال پست