ترمودینامیک: مونتاژ فنر پیستونی
ارسال شده: یکشنبه ۱۳۹۹/۱۱/۱۲ - ۰۷:۵۰
ما یک مجموعه پیستون (پر از گاز) به یک فنر متصل داریم. قسمت بالای پیستون به جو باز است. گاز به صورت برگشت پذیر تا 100 درجه سانتی گراد گرم می شود.
این یک نمونه مشکل در کتاب راهنمای ترمودینامیک من است
روند برگشت پذیر است و سپس توسط کار داده می شود$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV $
جابجایی فنر را می توان با توجه به تغییر حجم نوشت$x = \frac{V-V_1}{A} = \frac{\Delta V}{A} $
تعادل نیرو در بازده پیستون$ P_{air}A = P_{ext}A + kx$,$ P_{air} = P_{ext} + \frac{kx}{A^2}$
اتصال این معادله به اولین معادله:$ W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV = -\int^{V_2}_{V_1}P_{ext}dV -\int^{\Delta V = V_2-V_1} _{0}\frac{k \Delta V}{A^2}d({\Delta V} )$,$ W = -P_{ext}(\Delta V) - \frac{k \Delta V^2}{2A^2}$اعمال قانون ایده آل گاز$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{V_2}{T_2}(P_{ext} + \frac{kx}{A^2}) $
و حل این معادله را می دهد و کار را می توان یافت.V2
EDIT: تغییر در انرژی داخلی توسط$ \Delta u = \int^{T_2}_{T_1}C_pdT = R\int^{T_2}_{T_1}[(A-1) + BT + DT^{-2}]dT$,$ \Delta u = R[(A-1)T+\frac{B}{2}T^2 - \frac {D}{T}] | [T_2 T_1]$
با پارامترهای ظرفیت گرمایش هوا از جداول موجود در کتاب ، تغییر انرژی داخلی را می توان یافت.سپس انتقال حرارت كاملQ=Δu−Wسوال من.چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
اگر پیستون نوسان داشته باشد ، فرایند قابل برگشت نیست. انرژی حرکتی مطمئناً با گذشت زمان توسط تنش های چسبناک (یک اثر برگشت ناپذیر) پراکنده می شود تا زمانی که سیستم به حالت ثابت جدیدی دست یابد. و ، چه اتفاقی برای تغییرات انرژی داخلی U گاز هنگام انبساط یا فشرده شدن آن افتاده است. که قطعاً از این تحلیل ها حذف شده است. در بیان مسئله هیچ چیزی وجود ندارد که بگوید انعطاف پذیری برگشت پذیر به صورت هم دما انجام می شود و ، اگر جرم پیستون ناچیز باشد ، چه می شود؟ از آنجا که هیچ کس به نظرات من در مورد پست اصلی پاسخ نداده است ، در حال حاضر گفتن موارد دشوار است.تعادل نیرو بر روی پیستون عبارت است از: که x در زمان صفر صفر گرفته می شود. تغییر در حجم گاز توسط: بنابراین ، با ترکیب این معادلات می توان به این موارد اشاره کرد: میزان کار در حال انجام است در محیط اطراف نرخ تغییر انرژی داخلی گاز برابر است با: بنابراین، از قانون اول ترمودینامیک، کجا$PA=P_{atm}A+kx $,$V-V_0=Ax $,$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0) $.$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt} $,$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt} $,$ nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$اگر این را با توجه به زمان ادغام کنیم ، به دست می آوریم :$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1} $
nCv(T−T0)=∫t0Q˙dt−Patm(V−V0)−kA2(V−V0)22(1)
$ T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
و بنابراین ، اگر این نتیجه را برای اختلاف دما به جایگزین کنم. 1 برای به دست آوردن معادله حجم فقط از نظر گرمای تجمعی اضافه شده ، من بدست می آورم: که Q مقدار تجمعی است گرمای اضافه شده در طول زمان t.
$ T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$,$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR} $,$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q $چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
جابجایی پیستون.در ولوم فرض کنید در فشار و موقعیت پیستون باشد. فشار خارجی ، سطح مقطع پیستون و وزن پیستون . ما همه اصطکاک ها را نادیده می گیریم. اکنون ما به یک معادله حرکت نیوتنی احتیاج داریم.$ F_y=pA-p_aA-ky$
نیروی خالص در جهت ، در هر زمان:y
قانون دوم نیوتن:$ F_y=ma_y$قانون گاز ایده آل ایزوترمال:$pV=p_0V_0 $
در طول گسترش:$p=p_0\frac{V_0}{V} $,$ V=V_0+yA$,$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA} $
معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $
قانون زنجیره:$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy} $
بنابراین ما باید:$ mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
ادغام بین مرزهای مربوطه:$ \int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$,$ \frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$
,$ K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$
این انرژی جنبشی پس از جابجایی و سرعت پیستون را می توان از آن محاسبه کرد:$ v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$
با می توان عبارتی برای را امتحان کرد اما عبارت:$ v_y=\frac{dy}{dt}$
... قابل تجزیه و تحلیل نیست. بنابراین هیچ عبارتی برای یافت نمی شود ، حداقل به صورت تحلیلی.$ p(t)$, $t=\int_0^t\frac{dy}{v_y} $
question را کمی به روز می کنم. من به طور تصادفی بخشی از سوال را حذف کردم. از این بابت عذرخواهی می کنم question موجود در کتاب راهنما بیان می کند که گاز به طور برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
فرض فشار اولیه به در و ، این کار را با $ p_0V_0=nRT_0$
پس از گرم شدن به گسترش یافته و اکنون تحت فشار است : بنابراین: و: اکنون می توانیم این عبارت را در معادله حرکت وارد کنیم اما متأسفانه عبارتی برای نداریم . به این دلیل که نوع گسترش مشخص نشده است: به عنوان مثال آدیاباتیک یا پلی استروپیک. بدیهی است که در مورد ایزوترمال به محلول فوق کاهش می یابد.Tp
$ p(V_0+yA)=nRT$
$ \frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$
$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1} $
بنابراین تعریف مسئله برای قسمت اول سوال کافی است اما برای قسمت دوم نه.معادله حرکت:
آیا می توانیم معادله گرت را به صورت زیر تغییر دهیم و برای راه حلی پیداy(t)?
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $یا:$ p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$
,$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$اگر بتوانیم از آن معادله دیفرانسیل پیدا کنیم ، بنابراین می توانیم از این معادله پیدا کنیم:y(t)p(t)
$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A} $
این یک نمونه مشکل در کتاب راهنمای ترمودینامیک من است
روند برگشت پذیر است و سپس توسط کار داده می شود$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV $
جابجایی فنر را می توان با توجه به تغییر حجم نوشت$x = \frac{V-V_1}{A} = \frac{\Delta V}{A} $
تعادل نیرو در بازده پیستون$ P_{air}A = P_{ext}A + kx$,$ P_{air} = P_{ext} + \frac{kx}{A^2}$
اتصال این معادله به اولین معادله:$ W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV = -\int^{V_2}_{V_1}P_{ext}dV -\int^{\Delta V = V_2-V_1} _{0}\frac{k \Delta V}{A^2}d({\Delta V} )$,$ W = -P_{ext}(\Delta V) - \frac{k \Delta V^2}{2A^2}$اعمال قانون ایده آل گاز$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{V_2}{T_2}(P_{ext} + \frac{kx}{A^2}) $
و حل این معادله را می دهد و کار را می توان یافت.V2
EDIT: تغییر در انرژی داخلی توسط$ \Delta u = \int^{T_2}_{T_1}C_pdT = R\int^{T_2}_{T_1}[(A-1) + BT + DT^{-2}]dT$,$ \Delta u = R[(A-1)T+\frac{B}{2}T^2 - \frac {D}{T}] | [T_2 T_1]$
با پارامترهای ظرفیت گرمایش هوا از جداول موجود در کتاب ، تغییر انرژی داخلی را می توان یافت.سپس انتقال حرارت كاملQ=Δu−Wسوال من.چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
اگر پیستون نوسان داشته باشد ، فرایند قابل برگشت نیست. انرژی حرکتی مطمئناً با گذشت زمان توسط تنش های چسبناک (یک اثر برگشت ناپذیر) پراکنده می شود تا زمانی که سیستم به حالت ثابت جدیدی دست یابد. و ، چه اتفاقی برای تغییرات انرژی داخلی U گاز هنگام انبساط یا فشرده شدن آن افتاده است. که قطعاً از این تحلیل ها حذف شده است. در بیان مسئله هیچ چیزی وجود ندارد که بگوید انعطاف پذیری برگشت پذیر به صورت هم دما انجام می شود و ، اگر جرم پیستون ناچیز باشد ، چه می شود؟ از آنجا که هیچ کس به نظرات من در مورد پست اصلی پاسخ نداده است ، در حال حاضر گفتن موارد دشوار است.تعادل نیرو بر روی پیستون عبارت است از: که x در زمان صفر صفر گرفته می شود. تغییر در حجم گاز توسط: بنابراین ، با ترکیب این معادلات می توان به این موارد اشاره کرد: میزان کار در حال انجام است در محیط اطراف نرخ تغییر انرژی داخلی گاز برابر است با: بنابراین، از قانون اول ترمودینامیک، کجا$PA=P_{atm}A+kx $,$V-V_0=Ax $,$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0) $.$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt} $,$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt} $,$ nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$اگر این را با توجه به زمان ادغام کنیم ، به دست می آوریم :$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1} $
nCv(T−T0)=∫t0Q˙dt−Patm(V−V0)−kA2(V−V0)22(1)
$ T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
و بنابراین ، اگر این نتیجه را برای اختلاف دما به جایگزین کنم. 1 برای به دست آوردن معادله حجم فقط از نظر گرمای تجمعی اضافه شده ، من بدست می آورم: که Q مقدار تجمعی است گرمای اضافه شده در طول زمان t.
$ T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$,$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR} $,$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q $چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
جابجایی پیستون.در ولوم فرض کنید در فشار و موقعیت پیستون باشد. فشار خارجی ، سطح مقطع پیستون و وزن پیستون . ما همه اصطکاک ها را نادیده می گیریم. اکنون ما به یک معادله حرکت نیوتنی احتیاج داریم.$ F_y=pA-p_aA-ky$
نیروی خالص در جهت ، در هر زمان:y
قانون دوم نیوتن:$ F_y=ma_y$قانون گاز ایده آل ایزوترمال:$pV=p_0V_0 $
در طول گسترش:$p=p_0\frac{V_0}{V} $,$ V=V_0+yA$,$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA} $
معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $
قانون زنجیره:$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy} $
بنابراین ما باید:$ mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
ادغام بین مرزهای مربوطه:$ \int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$,$ \frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$
,$ K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$
این انرژی جنبشی پس از جابجایی و سرعت پیستون را می توان از آن محاسبه کرد:$ v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$
با می توان عبارتی برای را امتحان کرد اما عبارت:$ v_y=\frac{dy}{dt}$
... قابل تجزیه و تحلیل نیست. بنابراین هیچ عبارتی برای یافت نمی شود ، حداقل به صورت تحلیلی.$ p(t)$, $t=\int_0^t\frac{dy}{v_y} $
question را کمی به روز می کنم. من به طور تصادفی بخشی از سوال را حذف کردم. از این بابت عذرخواهی می کنم question موجود در کتاب راهنما بیان می کند که گاز به طور برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
فرض فشار اولیه به در و ، این کار را با $ p_0V_0=nRT_0$
پس از گرم شدن به گسترش یافته و اکنون تحت فشار است : بنابراین: و: اکنون می توانیم این عبارت را در معادله حرکت وارد کنیم اما متأسفانه عبارتی برای نداریم . به این دلیل که نوع گسترش مشخص نشده است: به عنوان مثال آدیاباتیک یا پلی استروپیک. بدیهی است که در مورد ایزوترمال به محلول فوق کاهش می یابد.Tp
$ p(V_0+yA)=nRT$
$ \frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$
$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1} $
بنابراین تعریف مسئله برای قسمت اول سوال کافی است اما برای قسمت دوم نه.معادله حرکت:
آیا می توانیم معادله گرت را به صورت زیر تغییر دهیم و برای راه حلی پیداy(t)?
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $یا:$ p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$
,$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$اگر بتوانیم از آن معادله دیفرانسیل پیدا کنیم ، بنابراین می توانیم از این معادله پیدا کنیم:y(t)p(t)
$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A} $