ترمودینامیک: مونتاژ فنر پیستونی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

ترمودینامیک: مونتاژ فنر پیستونی

پست توسط rohamjpl »

ما یک مجموعه پیستون (پر از گاز) به یک فنر متصل داریم. قسمت بالای پیستون به جو باز است. گاز به صورت برگشت پذیر تا 100 درجه سانتی گراد گرم می شود.
این یک نمونه مشکل در کتاب راهنمای ترمودینامیک من است
روند برگشت پذیر است و سپس توسط کار داده می شود$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV $
جابجایی فنر را می توان با توجه به تغییر حجم نوشت$x = \frac{V-V_1}{A} = \frac{\Delta V}{A} $
تعادل نیرو در بازده پیستون$ P_{air}A = P_{ext}A + kx$,$ P_{air} = P_{ext} + \frac{kx}{A^2}$
اتصال این معادله به اولین معادله:$ W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV = -\int^{V_2}_{V_1}P_{ext}dV -\int^{\Delta V = V_2-V_1} _{0}\frac{k \Delta V}{A^2}d({\Delta V} )$,$ W = -P_{ext}(\Delta V) - \frac{k \Delta V^2}{2A^2}$اعمال قانون ایده آل گاز$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{V_2}{T_2}(P_{ext} + \frac{kx}{A^2}) $
و حل این معادله را می دهد و کار را می توان یافت.V2
EDIT: تغییر در انرژی داخلی توسط$ \Delta u = \int^{T_2}_{T_1}C_pdT = R\int^{T_2}_{T_1}[(A-1) + BT + DT^{-2}]dT$,$ \Delta u = R[(A-1)T+\frac{B}{2}T^2 - \frac {D}{T}] | [T_2 T_1]$
با پارامترهای ظرفیت گرمایش هوا از جداول موجود در کتاب ، تغییر انرژی داخلی را می توان یافت.سپس انتقال حرارت كاملQ=Δu−Wسوال من.چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
اگر پیستون نوسان داشته باشد ، فرایند قابل برگشت نیست. انرژی حرکتی مطمئناً با گذشت زمان توسط تنش های چسبناک (یک اثر برگشت ناپذیر) پراکنده می شود تا زمانی که سیستم به حالت ثابت جدیدی دست یابد. و ، چه اتفاقی برای تغییرات انرژی داخلی U گاز هنگام انبساط یا فشرده شدن آن افتاده است. که قطعاً از این تحلیل ها حذف شده است. در بیان مسئله هیچ چیزی وجود ندارد که بگوید انعطاف پذیری برگشت پذیر به صورت هم دما انجام می شود و ، اگر جرم پیستون ناچیز باشد ، چه می شود؟ از آنجا که هیچ کس به نظرات من در مورد پست اصلی پاسخ نداده است ، در حال حاضر گفتن موارد دشوار است.تعادل نیرو بر روی پیستون عبارت است از: که x در زمان صفر صفر گرفته می شود. تغییر در حجم گاز توسط: بنابراین ، با ترکیب این معادلات می توان به این موارد اشاره کرد: میزان کار در حال انجام است در محیط اطراف نرخ تغییر انرژی داخلی گاز برابر است با: بنابراین، از قانون اول ترمودینامیک، کجا$PA=P_{atm}A+kx $,$V-V_0=Ax $,$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0) $.$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt} $,$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt} $,$ nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$اگر این را با توجه به زمان ادغام کنیم ، به دست می آوریم :$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1} $
nCv(T−T0)=∫t0Q˙dt−Patm(V−V0)−kA2(V−V0)22(1)
$ T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
و بنابراین ، اگر این نتیجه را برای اختلاف دما به جایگزین کنم. 1 برای به دست آوردن معادله حجم فقط از نظر گرمای تجمعی اضافه شده ، من بدست می آورم: که Q مقدار تجمعی است گرمای اضافه شده در طول زمان t.
$ T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$,$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR} $,$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q $چگونه رفتار گذرا سیستم را مدلسازی می کنم؟ جابجایی فنر با گذشت زمان و همچنین تغییر فشار با گذشت زمان؟
جابجایی پیستون.در ولوم فرض کنید در فشار و موقعیت پیستون باشد. فشار خارجی ، سطح مقطع پیستون و وزن پیستون . ما همه اصطکاک ها را نادیده می گیریم. اکنون ما به یک معادله حرکت نیوتنی احتیاج داریم.$ F_y=pA-p_aA-ky$
نیروی خالص در جهت ، در هر زمان:y
قانون دوم نیوتن:$ F_y=ma_y$قانون گاز ایده آل ایزوترمال:$pV=p_0V_0 $
در طول گسترش:$p=p_0\frac{V_0}{V} $,$ V=V_0+yA$,$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA} $
معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $
قانون زنجیره:$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy} $
بنابراین ما باید:$ mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
ادغام بین مرزهای مربوطه:$ \int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$,$ \frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$
,$ K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$
این انرژی جنبشی پس از جابجایی و سرعت پیستون را می توان از آن محاسبه کرد:$ v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$
با می توان عبارتی برای را امتحان کرد اما عبارت:$ v_y=\frac{dy}{dt}$
... قابل تجزیه و تحلیل نیست. بنابراین هیچ عبارتی برای یافت نمی شود ، حداقل به صورت تحلیلی.$ p(t)$, $t=\int_0^t\frac{dy}{v_y} $
question را کمی به روز می کنم. من به طور تصادفی بخشی از سوال را حذف کردم. از این بابت عذرخواهی می کنم question موجود در کتاب راهنما بیان می کند که گاز به طور برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
فرض فشار اولیه به در و ، این کار را با $ p_0V_0=nRT_0$
پس از گرم شدن به گسترش یافته و اکنون تحت فشار است : بنابراین: و: اکنون می توانیم این عبارت را در معادله حرکت وارد کنیم اما متأسفانه عبارتی برای نداریم . به این دلیل که نوع گسترش مشخص نشده است: به عنوان مثال آدیاباتیک یا پلی استروپیک. بدیهی است که در مورد ایزوترمال به محلول فوق کاهش می یابد.Tp
$ p(V_0+yA)=nRT$
$ \frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$
$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1} $
بنابراین تعریف مسئله برای قسمت اول سوال کافی است اما برای قسمت دوم نه.معادله حرکت:
آیا می توانیم معادله گرت را به صورت زیر تغییر دهیم و برای راه حلی پیداy(t)?
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y $یا:$ p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$
,$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$اگر بتوانیم از آن معادله دیفرانسیل پیدا کنیم ، بنابراین می توانیم از این معادله پیدا کنیم:y(t)p(t)
$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A} $
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: ترمودینامیک: مونتاژ فنر پیستونی

پست توسط rohamjpl »

«آکومولاتورها» (Accumulators) به طور معمول در سیستم‌های هیدرولیکی برای ذخیره انرژی و کاهش ارتعاش سیستم نصب می‌شوندیک سیستم هیدرولیکی در صورت استفاده از آکومولاتور می‌تواند از پمپ کوچک‌تری استفاده کند چرا که آکومولاتور انرژی پمپ را در مدت زمان عدم استفاده (کاهش بار)، ذخیره می‌کند. این انرژی ذخیره شده را می‌توان به سرعت مورد استفاده قرار دادآکومولاتور فنری مشابه با آکومولاتور گازی است با این تفاوت که یک فنر (به جای گاز) پیستون را حرکت می‌دهد. از نقاط قوت این نوع از آکومولاتورها می‌توان به عدم وجود نشتی گاز اشاره کرد اما نمی‌توان از آن در حجم‌ها و فشارهای بالا استفاده کرد صرفه جویی در انرژی پیستون و فلایویل
یک پیستون را در یک استوانه تصور کنید ، دراز کشیده است تا پیستون به صورت افقی حرکت کند. سیلندر از دو انتها باز است (فشرده سازی گاز وجود ندارد). برای سادگی ، اجازه می دهیم بدون اصطکاک ، بدون صدا ، هیچ اثر گرما ، هیچ جاذبه ، و اینکه سیستم در خلا جدا شده است.
پیستون دارای یک میله اتصال است که به یک چرخ دنده چرخان متصل است. در نتیجه پیستون در داخل سیلندر به عقب و جلو نوسان می کند. حرکت پیستون شبیه حرکت هارمونیکی ساده است. انرژی جنبشی آن در طول زمان ، بین حداکثر در وسط استوانه ، تا صفر در دو انتهای استوانه رخ می دهد.
برای حرکت هارمونیک ساده (به عنوان مثال ، وزنی که به یک فنر متصل است ، و به صورت افقی در بالای میز بدون اصطکاک در حال نوسان است) ، کاملاً شناخته شده است که نوسان انرژی جنبشی وزن دقیقاً با یک نوسان همزمان انرژی پتانسیل متعادل می شود (به عنوان مثال ، پتانسیل انرژی ناشی از فشرده سازی یک فنر) به گونه ای که کل انرژی در هر زمان ثابت بماند:باید دینامیک آزاد پیستون و فلایویل را در نظر گرفت. چرا هیچ نیروی بیرونی (به غیر از نیروهایی که پیستون را در برخی از خط ها نگه می دارد) یا تلفات ندارد ، اگر مفصل بین آن و پیستون آن را به اطراف هل دهد ، یک چرخ دنده بدون موتور همیشه با یک سرعت چرخش ثابت حرکت می کند؟
اگر معادلات حرکت خود را بنویسید ، آنها نشان می دهد که سرعت زاویه ای چرخ لنگر باید تغییر کند ، به این معنی که حرکت هارمونیکی مطلوبی را که می خواهید به دست نمی آورید. بنابراین انرژی جنبشی در واقع بین دو بدنه ، چرخ دنده و پیستون تعادل خواهد داشت.
د. من این کار را دوباره انجام دادم ، همچنین این کار را با یک میله اتصال بدون جرم انجام دادم که امکان جایگزینی مناسب را فراهم می کند. مقداری از مقدار M وجود دارد که اگر$ I_f=Mr^2$ باشد و این برای ساده کردن مقدار کمی امکان پذیر است ، به همین ترتیب ، می توانیم از$ \rho=l/r$ ، نسبت فاصله ای که میله اتصال به چرخ فلک r به طول آن متصل می کند ، استفاده کنیم. میله اتصال l.
موقعیت فقط با جهت چرخ دنده θ انجام می شود. از آنجا که زاویه تشکیل شده توسط میله و خط اتصال پیستون $\phi $ است ،$ s = r~(cos\theta + \rho~cos\phi) \\
sin\theta = \rho~sin\phi \\
\rho~cos\phi=\sqrt{\rho^2-sin^2\theta} \\
s = r~cos\theta + r\sqrt{\rho^2-sin^2\theta}$سرعت فقط یک مشتق است و همه در یک محور است بنابراین هیچ اثری از چرخش وجود ندارد ،$v = -r\dot{\theta}~sin\theta + \frac{-r\dot{\theta}~sin\theta~cos\theta}{\sqrt{\rho^2-sin^2\theta}} \\
v = -r\dot{\theta}~sin\theta~ f(\theta) \\
f(\theta) = 1 + \frac{cos\theta}{\sqrt{\rho^2-sin^2\theta}} $\پس $ T = m/2~v^2 + M~r^2\dot{\theta}^2 = M/2~r^2\dot{\theta}^2~g(\theta), \\
g(\theta) = 1 + \mu~sin^2\theta~f(\theta)^2$معادلات اولر-لاگرانژ به شرح زیر خواهد بود ، توجه کنید در مورد دوم ، می بینیم که حرکت ثابت نیست.$ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial T}{\partial \theta} \\
\frac{d}{dt}\bigg[ Mr^2\dot\theta \bigg] = M/2~r^2 \dot\theta^2 g'(\theta) \\
\ddot\theta~g(\theta)+ \dot\theta^2 g'(\theta) = 1/2\dot\theta^2 g'(\theta) \\
\ddot\theta = -\frac{\dot\theta^2g'(\theta)}{2~g(\theta)}$چرخ فلک برای ذخیره کارآمد انرژی حرکتی چرخشی طراحی شده است. به دلیل لحظه چرخشی اینرسی در برابر تغییرات دور در دقیقه مقاومت می کند. انرژی ذخیره شده متناسب با مربع دور در دقیقه و متناسب با لحظه سکون آن است. چرخ دنده هنگام استفاده از یک گشتاور بر روی محور تقارن خود ، سرعت خود را تغییر می دهد (و بنابراین انرژی جنبشی).تصویرهنگام تجزیه و تحلیل سیستم ایده آل گاز و فنر مدت کار به چه معناست
اگر من تصمیم بگیرم که اتصال سیستم خود را در اطراف فنر و گاز تنظیم کنم ، بنابراین تنها اجسامی که من در حال مطالعه هستم چرخش و گاز هستند ، استفاده از قانون اول ترمودینامیک باید این موارد را به من بدهد: که تغییر در انرژی پتانسیل الاستیک چشمه است. آنچه که من را مشکل می کند این است که دقیقاً چیست؟$ Q_{12}=W_{12}+\Delta U + \Delta E_{ep}$
و$W_{spring}=-\Delta E_{ep}=-\frac{k}{2}(\delta_2-\delta_1) $
کار انجام شده توسط چرخش به دلیل نیروی فنر و تغییر شکل فنر: و تغییر شکل نهایی و اولیه سورس است $ W_{gravity}=-\Delta E_{gp}=-mg(z_2-z_1)$
کار بر روی بلوک های انجام شده توسط گرانش: که در آن تغییر انرژی پتانسیل گرانشی از بلوک است، ارتفاع نهایی و ارتفاع اولیه با استفاده از پایین سیلندر به عنوان مرجع $ W_{atmosphere}=pA(z_2-z_1)$نگاه کنید تصویرتعادل نیرو بر روی پیستون در هر زمان از فشرده سازی توسط:
$P_gA+F-mg-kx-P_{atm}A=0 $
که در آن x جابجایی رو به بالا چشمه از طول گسترش نیافته آن است. اگر این را در جابجایی دیفرانسیل (بالا) پیستون در طول فرایند $ dx=\frac{1}{A}dV$ ضرب کنیم ، بدست می آوریم:
$ P_gdV+Fdx-mgdx-kdx-P_{atm}dV=0 $
یکپارچه سازی این معادله بین مکان های اولیه و نهایی بازده پیستون
$ \int{P_gdV}+\int_{x_i}^{x_f}{Fdx}+mg(x_i-x_f)+\frac{k}{2}(x_i^2-x_f^2)+P_{atm}(V_i-V_f)=0$
اصطلاح اول نمایانگر کاری است که گاز بر روی پیستون انجام می دهد ، اصطلاح دوم نمایانگر کار انجام شده توسط نیروی F بر روی پیستون است ، ترم سوم نمایانگر کار انجام شده توسط توده m بر روی پیستون است ، ترم چهارم نمایانگر کار توسط فنر روی پیستون انجام می شود ، و ترم پنجم نشان دهنده کار انجام شده توسط جو بر روی پیستون است
به مثال کتابم توجه کنیداین راه حل اضافی برای یک مسئله ترمودینامیکی ابتدایی نشان دهنده چیست؟سیلندر در شکل دارای یک پیستون متحرک است که به یک فنر متصل شده است. سطح مقطع سیلندر 10 سانتی متر مربع است ، حاوی 0.0040mol گاز است و ثابت فنر 1500N / m است. در دمای 20 درجه سانتیگراد چشمه نه فشرده شده و نه کشیده شده است. اگر دمای گاز به 100 درجه سانتیگراد برسد چقدر فنر فشرده می شود؟تصویردر هر زمان سه نیرو بر روی پیستون عمل می کنند: pA در راست ، $ p_{\mathrm{atmos}} A$ در سمت چپ و kx در راست. وقتی سیستم در تعادل است ،$pA = p_{\mathrm{atmos}} A + kx $. در T1 = 293K ، رشته نه کشیده است و نه فشرده ، بنابراین x = 0 ؛ بعلاوه ، با توجه به اینکه سیستم در تعادل است ، $p_1 A = p_{\mathrm{atmos}} A $ داریم ، بنابراین $p_1 = p_{\mathrm{atmos}} = 101.3 \, \mathrm{kPa} $. بنابراین ، نامعتبر فوق می تواند مجدداً مرتب شود$\begin{align}
p_2 &= \frac{1}{A} (p_1 A + kx). \tag{ROHAM}
\end{align} $,$ \begin{align}
V_2 = V_1 + Ax. \tag{roham2}
\end{align}$بنابراین $\begin{align*}
\frac{1}{A} (p_1 A + kx) (V_1 + Ax) &= nR T_2 \\
(p_1 A + kx) (V_1 + Ax) &= nR T_2 A \\
(Ak)x^2 + (V_1 k + p_1 A^2) x + A(p_1 V_1 - nR T_2) &= 0. \tag{roham total3}
\end{align*} $ااین یک معادله درجه دوم نسبتاً بد اما کاملاً معتبر برای x است. ارزیابی عددی x = 1.0198cm بدست می آورد. جالب اینجاست که یک نقطه تعادل نیز در x = .17.3927 سانتی متر وجود دارد ، اما این طولانی تر از عمق استوانه است و بنابراین غیرممکن است.من با استادم مشورت کردم و در نهایت با همان معادله (3) به پایان می رسد.
من تعجب می کنم که آن راه حل منفی اضافی برای x نشان دهنده چیست. برای من منطقی نیست که باید یک راه حل منفی وجود داشته باشد: اگر x منفی باشد ، فنر منبسط شده و گاز فشرده می شود ، بنابراین چیزی وجود ندارد که بتواند حرکت پیستون را به سمت راست خنثی کند و سیستم را در تعادل نگه دارد ( به جز فشار جوی ناکافی)برای یک مدل فیزیکی ، شما همیشه با برخی از مرزها شروع می کنید. چیزی مانند محدوده مجاز یک متغیر x و غیره. سایر نتایج خارج از مرزها برای آن مدل فیزیکی قابل استفاده نیستند و هیچ اهمیت واقعی ندارند.
تصویر

ارسال پست