معادلات ناویه استوکس

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

معادلات ناویه استوکس

پست توسط rohamjpl »

مفهوم: معادلات ناویر استوکس، پایه و اساس روابط مربوط به حرکت سیالات هستش . حالا میپردازم به نحوه معادلات ریاضی اون
$\rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u $جایی که μ ویسکوزیته مایع است. من در حال اثبات که از مراحل زیر استفاده می کنم
تصویر
ابتدا فرمول زیر بر اساس نمودار جسم آزاد در زیر بیان شده است: (من فقط معادلات مربوطدر مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است. به مولفه x سرعت ، یعنی u را می نویسم$ \rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x + \dfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \dfrac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}$در مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است.$\tau_{zx} = \mu (\dfrac{\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x}) $
که با جایگزینی سه معادله آخر در معادله (2) ، ما معادله (1) را ارائه می دهیم.
من نمی دانم که سه معادله اخیر چگونه استخراج شده است. علاوه بر این ، پس از جایگزینی این سه معادله اخیر در معادله (2) ، نتیجه حتی شبیه معادله (1) نیست. این چیزی است که من پس از انجام این کار به دست آوردم:$\dfrac{Du}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu (\nabla^2 u + \dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}) $هیچ مشکلی نیست نگران نباشید ، که$\dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}=\frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \mathbf u=0 $جایی که u = (u ، v ، w). شرایط $\nabla \cdot \mathbf u=0 $ به دلیل عدم قابلیت انعطاف پذیری است.استخراج معادله پواسون از معادله ناویر استوکس با استفاده از جبر تنسور.$\begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}&=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\mathbf{v},\tag{1}\\ \nabla\cdot\mathbf{v}&=0.\tag{2} \end{align} $عملگر واگرایی را انجام دهید "∇⋅"در هر دو طرف (1). توجه داشته باشید که$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0,\\ \nabla\cdot\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right)&=\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\nabla p=\frac{1}{\rho}\Delta p,\\ \nabla\cdot\Delta\mathbf{v}&=\Delta\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0, \end{align} $جایی که ما استفاده کرده ایم (2)بارها و بارها از این رو،(1) تبدیل می شود$ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=-\frac{1}{\rho}\Delta p.\tag{3}$حالا $ \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\mathbf{w},$و همچنین بردار
$\nabla\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right)=\mathbf{w}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $در اخر $ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\Delta\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\left\|\mathbf{w}\right\|^2+\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right).\tag{4}$نتیجه معادلات 3و4 میشه $\frac{1}{\rho}\Delta\left(p+\frac{1}{2}\rho\left\|\mathbf{v}\right\|^2\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $
2
استخراج معادله Navier-Stokes فرض می کند که فشار ، p و سرعت ، ui ، بی نهایت قابل تغییر هستند ، به طوری که نیروهای موجود در هر صورت از عنصر سیال را می توان با یک سری تیلور نشان داد پس از اعمال قانون دوم نیوتن ، و محاسبه سهم نیروهای چسبناک ، نیروهای جسم و نیروهای اولیه ، معادلات ناوایر-استوکس غیرقابل فشرده عبارتند از:$\begin{equation}\tag{1}{\partial_t u_i + u_j\partial_ju_i = -{1 \over \rho}\partial_ip +} \nu \partial_{jj}u_i +g_i\end{equation} $تصویر تصویردر مطالعه تلاطم معمولاً استفاده از تجزیه رینولدز است که متغیرهای جریان را به مقادیر متوسط و نوسان تقسیم می کند ، یعنی
u = U + u ′
و پس از استفاده از این تجزیه ، Navier Stokes خطی می شوند.
من در مورد معادله (1) در پیش بینی حرکت آشفته فکر می کردم و به فرضیه زیر رسیدم: معادله (1) برای پیش بینی جریان آشفته کافی نیست. دلیل این امر این است که نمودار هر متغیر جریان آشفته به نظر می رسد مشاهده شما مبنی بر اینکه نمودارهای نوسانات آشفته مانند عملکردهای غیر دیفرانسیل به نظر می رسد می تواند نوعی توجیه برای مدل سازی تلاطم تصادفی ایجاد شود و خوب میدونم که . این روش ها متغیرهای متلاطم را به عنوان عملکردهای غیر افتراقی نشان می دند
یک ذره سیال (به عنوان مثال دیدگاه لاگرانژی) و نیرویی که بر آن وارد می شود را در نظر بگیرید (معادلات ناویر - استوکس به شکل لاگرانژی):$\frac{dU_i}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k}. $
ببینید مایع چیزی است که شما می توانید یک پیوستار فرض کنید - یعنی از "توده های" گسسته ساخته نشده است.
برای این منظور ، ما قبلاً می توانیم ببینیم که معادلات Navier-Stokes باید تقریبی باشند ، زیرا مایعات از اتم ساخته شده اند!
با این حال ، اگر مایعی کوچک کنید ، تقریباً شبیه یک پیوستار هستند. آیا می توانید اتم ها را در هوا احساس کنید ، یا اینکه مانند یک مایع پیوسته صاف احساس می شود؟حالا میتونم از معادلات استفاده کنم
معادلات ناویر-استوکس ، در اصل ، فقط قانون دوم نیوتن است که به شکلی نوشته شده است که برای اجسام پیوسته قابل اجرا است ، نه اجسام مجزا.
صادقانه بگویم ، هیچ چیز پیچیده تر از آنچه در آنجا وجود دارد - حداقل از منظر فیزیک - وجود ندارد.ما می دانیم که قانون دوم نیوتن به عنوان $F = ma$ است ، اما فرمول آن به صورت صحیح تر است:
$F=d/dt(mv) $
که v سرعت است. اگر جرم ثابت باشد این امر به F = ma ساده می شود.
اگر ما با یک مایع سر و کار داریم ، ما به جرم اهمیت نمی دهیم ، ما به چگالی اهمیت می دهیم - که در حال حاضر ثابت می دانیم - یعنی مایع غیرقابل انعطاف است.
بنابراین ، فقط با استفاده از فرم پیوسته قانون دوم نیوتن ، به دست می آوریم$ \begin{align}F_{total}&=ma\\
-bv-kx&=m \ddot x\\
m\ddot x+b\dot x+kx&=0
\end{align}$در نهایت $\rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b $
امیدورام کمکی شده باشه در فهم معادلات
آخرین ویرایش توسط rohamjpl چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۴ - ۰۸:۱۳, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
ماشین زمان

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۸ - ۲۱:۵۳


پست: 39

سپاس: 6

Re: معادلات ناویر استوکس

پست توسط ماشین زمان »

smile028 من فکر می کردم این نوع از معادلات فقط در الکترودینامیک کاربرد داره. ممنون از اطلاعات خوبی که گذاشتی... مرحبا! smile199
smile028 برای تمام زمان های آینده فقط می گم «بزودی»!

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

Re: معادلات ناویه استوکس

پست توسط rohamjpl »

من کاربردها و یکسری اشتباهات و برداشتهای نادرست از همین معادله میگم .اول من برخی از سردرگمی ها در مورد معادلات ناویر-استوکس را برات بگم
من تازه کار روی معادلات Navier-Stokes را شروع کردم. من متن زیر را بررسی می کنم که معادلات ناویر-استوکس غیرقابل تراکم را در حوزه های مستطیل شکل حل می کند
گفته می شود که در معادلات فوق اصطلاحات غیرخطی در سمت راست برابر است یعنی $\begin{align*}
\left(u^{2}\right)_{x}+\left(uv\right)_{y} & =uu_{x}+vu_{y}\\
\left(uv\right)_{x}-\left(v^{2}\right)_{y} & =uv_{x}+vv_{y}
\end{align*} $من نمی فهمم که اصطلاحات غیرخطی چگونه برابر هستند یعنی $\begin{align*}
=uu_{x}+vu_{y}\\
=uv_{x}+vv_{y}
\end{align*} $و چگونه میشه آنها را به عنوان نوشت$\left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u} $ اصطلاح غیر خطی اون $ \begin{align*}
\left(u^{2}\right)_{x}+\left(uv\right)_{y} & =uu_{x}+vu_{y}\\
\left(uv\right)_{x}-\left(v^{2}\right)_{y} & =uv_{x}+vv_{y}
\end{align*}$ یعنی $\nabla\cdot\left(\mathbf{u}\mathbf{u}\right) $()
که در آن $\mathbf{u} $ بردار سرعت است. چگونه آنها این کار را انجام دادند؟0
با توجه به سوال $ (u^2)_x+(uv)_y$ را می توان با استفاده از قانون محصول برای تمایز نوشت:$ (u^2)_x+(uv)_y=2uu_x+u_yv+uv_y=uu_x+vu_y+u(u_x+v_y)$
اما ، از معادله تداوم ،$u_x+v_y=0 $و $ (u^2)_x+(uv)_y=uu_x+vu_y$با توجه به (u⋅∇) تو می توان اصطلاح را در پرانتز چنین نوشت$\mathbf{u}\cdot \nabla=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y} $و $ \mathbf{u}=u\mathbf{i_x}+v\mathbf{i_y}$ دارم اینجا$(\mathbf{u}\cdot \nabla)\mathbf{u}=(uu_x+vu_y)\mathbf{i_x}+(uv_x+vv_y)\mathbf{i_y} $حالا میدونم
با توجه به عبارت ∇⋅ (uu) ، نهاد uu بردار نیست و مقیاس پذیر نیست. این یک تانسور درجه 2 است که "dyadic" نامیده می شود ، و با قرار دادن دو بردار در کنار هم قرار می گیرد ، و هیچ عملیاتی بین آنها ضمنی نیست. در این حالت می توان به صورت$\mathbf{u}\mathbf{u}=u^2\mathbf{i_x}\mathbf{i_x}+uv(\mathbf{i_x}\mathbf{i_y}+\mathbf{i_y}\mathbf{i_x})+v^2\mathbf{i_y}\mathbf{i_y} $خوب من به $\nabla \cdot (\mathbf{u}\mathbf{u})=[(u^2)_x+(uv)_y]\mathbf{i_x}+[(uv)_x+(v^2)_y]\mathbf{i_y} $ رسیدم
نمونه دیگر اون چرا واگرایی سرعت در معادله Navier-Stokes وجود دارد حتی اگر 0 باشد.$\rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = - \nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol \tau + \rho\,\mathbf{g} $اینجا $ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla$ اگر من اگر $\frac{D}{Dt} $ را در سمت چپ گسترش دهیم ، بدست می آوریم:$\rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \rho \left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\left(\mathbf{u} \cdot \nabla \right) \right) $ سردرگمی اینجاست اما معادله تداوم به ما می گوید که u⋅∇ = 0 ، بنابراین معنای این component چیست؟ اگر می دانیم باید 0 باشد چرا آنجاست؟جواب اینه حفظ معادله جرم برای یک جریان تراکم ناپذیر به شرح زیر است $ \nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0$
این همان چیزی نیست که بگویید $ \vec{u} \cdot \nabla = u_i \frac{\partial}{\partial x_i} = 0$ اما! از آنجا که $\nabla $ واقعاً یک اپراتور است ، شما نمی توانید محصول نقطه را جابجا کنید.
علاوه بر این ، گسترش $ D\vec{u}/Dt$ من غلط بود . به یاد داشته باشید این عملگر D / Dt است که برای من اعمال می شود ، نه یک ضرب. این بایددرست باشد $\frac{D\vec{u}}{D t} = \left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \right) \vec{u} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \vec{u} = \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} $لذا داریم $\nabla \vec{u} = \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \neq 0 $
خوب پس اگر بگویم معادلات ناویر-استوکس مربوط به F = m ∗ a است $div(u)=0 $ خوب داریم $\rho(u_t+u\cdot\nabla u)=-\nabla p+div(\nu\nabla u)+\rho g $ حالا $ u_t+u\cdot\nabla u$
شتاب است من می توانم درک کنم که ut (مشتق سرعت u نسبت به زمان) در واقع یک شتاب است ، اما ، چرا $ u_t+u\cdot\nabla u$ نیز یک شتاب است؟ $-\nabla p+div(\nu\nabla u)+\rho g $
. برای استفاده از $\vec F=m\vec a $ ، باید به فکر یک بسته مایع باشم. من می خواهم شتاب ، و نیروهایی را که در حال کار هستند ، یک جعبه کوچک مایع در نظر بگیریم ، مرزهای آن همراه با جریان حرکت می کنند. به عنوان مثال ، اگر جریان ثابت در لوله دارید و قطر لوله کاهش می یابد ، مایع با فشار به داخل لوله کوچکتر سرعت می گیرد. روش دیگر گفتن این است که هرچه مقدار کمی مایع همراه شود ، شتاب می گیرد. با این حال ، ut همه جا صفر است (جریان ثابت آن است).$ u \cdot \nabla u$ بخشی از شتاب است که مایع به دلیل انتقال به مکان جدید .اصطلاحات سمت راست نیروها هستند: یک نیروی شیب فشار ، یک نیروی چسبناک و یک نیروی جاذبه وجود دارد.ساده بود نه در جریان خزنده هم $\mu\nabla^2\vec{v}=\nabla P-\rho g $ که من اینطور مینویسم $ \begin{align}\rho \left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\cdot(\nabla\vec{v})\right)&=\rho\vec{g}-\nabla P+\mu\nabla^2\vec{v}\\
\rho \left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\cdot(\nabla\vec{v})\right)-\mu\nabla^2\vec{v}&=\rho\vec{g}-\nabla P
\end{align}$ با توجه به سمت چپ معادله ناویه استوکس $\rho \left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+v_x\frac{\partial\vec{v}}{\partial x}+v_y\frac{\partial\vec{v}}{\partial y}+v_z\frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\right)-\mu\left(\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2} \right) $
خوب من به دلیل جریان خزنده می دانم که $ v_x\approx v_y\approx v_z\approx0$. به همین دلیل می توانم سمت چپ را به صورت زیر بنویسم:$\rho \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}-\mu\left(\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2} \right) $
قسمت بعد من عدد رینولدز "همان شکلی است که وجود دارد؟در انتقال از جریان آرام به تلاطم چه اتفاقی میافته خوب میدونید عدد رینولدز ، با تراکم ρ ، مقدار سرعت ، μ گرانروی و L مقیاس طول مشخصه (به عنوان مثال ارتفاع کانال یا قطر لوله) توسط$\text{Re}=\frac{\rho~u~L}{\mu}. $
در حرکت آرام ، نیروهای چسبناک غالب هستند (یعنی Re≪1) در حالی که در جریان آشفته ، نیروهای اینرسی غالب هستند (یعنی Re≫1). در انتقال از جریان آرام به تلاطم ، نیروهای اینرسی شروع به غلبه بر نیروهای چسبناک کرده که به این معنی است که ویسکوزیته دیگر نمی تواند شیب های سرعت را به جریان آرام صاف برساند (به استثنای نزدیک به یک مرز که آنها هنوز مهم هستند) و اینرسی جریان باعث این حرکت به خودی خود باعث گردابه ها و به طور کلی رفتار آشفته همراه با تلاطم است.اگه جریان ثابت باشه $\rho~\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{u}=-\mathbf{\nabla}p + \mu~\mathbf{\nabla}^2\mathbf{u}. $
با تعریف $ \bar{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{U}$و $ \bar{p}=\frac{p}{P}$ که U و P به ترتیب مقیاس های سرعت و فشار هستند ، غیربعدی سازی می کنیم:$\rho~\frac{U^2}{L}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\frac{P}{L}~\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \mu \frac{U}{L^2}~\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}} $ما می توانیم این کار را با تقسیم بر $ \mu\frac{U}{L^2}$ و تعریف $P=\mu\frac{U}{L} $ ساده کنیم تا بدست آوریم:$ \text{Re}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$که عدد رینولدز را نشان می دهد. برای Re≪1 ، جایی که ویسکوزیته بیشتره ست ، می بینیم که اصطلاح همرفتی در سمت چپ در مقایسه با شیب فشار و تنش گرانروی فشار در سمت راست ناچیز است.خوب حالا برای Re≫1 می توانیم همان کار را انجام دهیم ، مگر اینکه پس از تقسیم بر $ \rho\frac{U^2}{L}$ و تعریف $ P=\rho U^2$ برای بدست آوردن:$\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \frac{1}{\text{Re}}\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}} $حال توجه کنیدتنسور تنش چسبناک در سمت راست در مقایسه با شیب فشار و مدت همرفت در سمت چپ ناچیز می شود.
توجه داشته باشید که مقیاس فشار مشخصه P بسته به اینکه در کدام جریان قرار داشتیم در مقیاس چسبناک و اینرسی تعریف شد. این ضروری است زیرا لازم است که گرادیان فشار بدون بعد از نظم حداقل یک اصطلاح دیگر باشد.
تصویر

ارسال پست