سوالاتی از مباحث انتگرال

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط SJJD-CE »

سلام دوستان عصرتون بخیر. من دوشنبه ی آینده میان ترم ریاضی دارم از مبحث انتگرال و 300 سوال برامون قرار دادن که از میون اون ها ازمون امتحان میگیرن من بعضیاشونو نتونستم حل کنم به همین خاطر مشکلمو اینجا مطرح میکنم که اگه دوست داشتین کمکم کنید تا بتونم نمره ی خوبی بگیرم. فقط یه چی این که از بین سوالایی که فرستادم اینجا بعضیاشونو بگی نگی تا نصفه حل کردم ولی مطمئن نیستم که جوابم درس باشه به همین خاطر اگه کسی لطف کرد و حل کرد سعی کنه مرحله به مرحله بنویسه و کلی ننویسی نکنه تا متوجه بشم حوصلم داشت یه توضیح بده ممنون
1.حل انتگرال های زیر
S-1.PNG
S-1.PNG (40.21 کیلو بایت) مشاهده 797 مرتبه
2.حل حد های زیر
S-2.PNG
S-2.PNG (7.97 کیلو بایت) مشاهده 797 مرتبه
3.حل مشتق های زیر
S-3.PNG
S-3.PNG (15.34 کیلو بایت) مشاهده 797 مرتبه
4.همگرایی یا واگرایی انتگرال های زیر
S-4.PNG
S-4.PNG (9.69 کیلو بایت) مشاهده 797 مرتبه
5.
S-5.PNG
S-5.PNG (7.29 کیلو بایت) مشاهده 797 مرتبه

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 344

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط rohamjpl »

جواب سوالات شماتصویر
تصویر

SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



Re: سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط SJJD-CE »

rohamjpl نوشته شده:
شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۶ - ۱۰:۰۰
جواب سوالات شماتصویر
سلام آقا رهام ممنون پاسخ دادین ولی خیلی کلی نوشتین و فقط پاسخ آخره ببخشید من متوجه نشدم اگه میشه و وقت دارین مرحله به مرحله جواب بدین اگرم نه که ممنون برای وقتی که گذاشتین

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 344

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط rohamjpl »

معکوس تابع را نوشتم شما به جایش 2 بزار در ضمن شما روش حل میخواهید باشه
تصویر

SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



Re: سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط SJJD-CE »

rohamjpl نوشته شده:
شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۶ - ۱۰:۴۱
معکوس تابع را نوشتم شما به جایش 2 بزار در ضمن شما روش حل میخواهید باشه
میدونید میان ترمم که آنلاینه ولی باید کامل بنویسیم من دقیق نمیدونم باید از کدوم روش حل کنم مثال زیاد حل کردم ولی یکم مشکل دارم روی این سوالایی هم که فرستادم خیلی تاکیید داشتن به همین خاطر کمک میخواستم حالا اگه حصلتون شد حل کنید که منم اشتباهاتمو متوجه بشم ولی در کل ممنون

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 344

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: سوالاتی از مباحث انتگرال

پست توسط rohamjpl »

بعضی مسایل پایه که باید بدونید$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C $و توابع $ \large \sqrt { x ^ 2−a ^ 2 } = \sqrt { ( a \secθ) ^ 2− a ^ 2 } = \sqrt { a ^ 2 (\sec ^ 2 θ – 1 ) } = \sqrt { a ^ 2 \tan ^ 2 θ }= |a \tan θ|$ در توابع $\large \sqrt { a ^ 2 + x ^ 2 } $ با تغییر متغییر $x = a \tan θ $ مثال ${\displaystyle\int}\sin^3\left(x\right)\,\mathrm{d}x $که حل ان $ ={\displaystyle\int}\left(1-\cos^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)\,\mathrm{d}x$ چون $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\sin\left(x\right) $ و همچنین $ \mathrm{d}x=-\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\,\mathrm{d}u$
در اینجا $ ={\displaystyle\int}\left(u^2-1\right)\mathrm{d}u$توجه کنید $={\displaystyle\int}u^2\,\mathrm{d}u-{\displaystyle\int}1\,\mathrm{d}u $جواب میشه $ =\dfrac{\cos^3\left(x\right)}{3}-\cos\left(x\right)+C$
جواب دوم $ {\displaystyle\int}\dfrac{z+1}{\left(z^2+2z+2\right)^\frac{33}{100}}\,\mathrm{d}z$شما $u=z^2+2z+2 $و $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z} = 2z+2 $و $ \mathrm{d}z=\dfrac{1}{2z+2}\,\mathrm{d}u$ که من $ ={\displaystyle\int}\dfrac{1}{2u^\frac{33}{100}}\,\mathrm{d}u$
چواب بعدی $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$ تغییر متغییر $ u=\sqrt{x}+1$که $ \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ و $\mathrm{d}x=2\sqrt{x}\,\mathrm{d}u $و $ =\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u$خوب توجه کنید $ \class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u$ببین $ u=\sqrt{x}+1$ جواب هم $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$لذا $ =-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+C$
سوال سوم هم $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$تغییر متغییر $u=\dfrac{x}{2} $و $\mathrm{d}x=2\,\mathrm{d}u $ لذا $={\displaystyle\int}\dfrac{2}{\sqrt{4-4u^2}}\,\mathrm{d}u $ خوب میدونی $=\arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) $
جواب بعدی $ {\displaystyle\int}\dfrac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x$ تغییر متغییر بده $u=x^2 $ لذا $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x $و $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2x}\,\mathrm{d}u $
لذا $=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,\mathrm{d}u $پس $=\dfrac{\arctan\left(u\right)}{2} $ شما به جواب $=\dfrac{\arctan\left(x^2\right)}{2}+C $
جواب سوال بعدی$ {\displaystyle\int}\dfrac{x-1}{\left(x+1\right)^3}\,\mathrm{d}x$ تغییر متغیر $ u=x+1$و $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u $لذا $ ={\displaystyle\int}\dfrac{u-2}{u^3}\,\mathrm{d}u$پس $={\displaystyle\int}\left(\dfrac{1}{u^2}-\dfrac{2}{u^3}\right)\mathrm{d}u $لذا $ ={\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^3}\,\mathrm{d}u$ قاعده کلی را ببین${\displaystyle\int}u^{\mathtt{n}}\,\mathrm{d}u=\dfrac{u^{\mathtt{n}+1}}{\mathtt{n}+1} $ نگاه کنید $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u$ و $=-\dfrac{1}{u} $و همچنین ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^3}\,\mathrm{d}u $لذا من مینویسم ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^3}\,\mathrm{d}u $من به جای متغییر مقدار گذاشتم $=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1} $و به جواب رسیدم $ =\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1}+C$
جواب بعدی من ${\displaystyle\int}\dfrac{5x+2}{\left(x^2+5\right)^2}\,\mathrm{d}x $ببین $ ={\displaystyle\int}\left(\dfrac{5x}{\left(x^2+5\right)^2}+\dfrac{2}{\left(x^2+5\right)^2}\right)\mathrm{d}x$ پس $=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{5}}{\displaystyle\int}\dfrac{x}{\left(x^2+5\right)^2}\,\mathrm{d}x+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x^2+5\right)^2}\,\mathrm{d}x $ ببین تغیر متغییر $u=x^2+5 $و $\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2x}\,\mathrm{d}u $ که نتیجه $ =\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u$ باز قاعده کلی ببین ${\displaystyle\int}u^{\mathtt{n}}\,\mathrm{d}u=\dfrac{u^{\mathtt{n}+1}}{\mathtt{n}+1} $من به نتیجه $ =-\dfrac{1}{2\left(x^2+5\right)}$ ااین فرمول ببین $ \small{{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}\right)^{\mathtt{n}}}\,\mathrm{d}x=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-5}{\dfrac{2\mathtt{n}-3}{2\mathtt{b}\left(\mathtt{n}-1\right)}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}\right)^{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-6}{\mathtt{n}-1}}}}\,\mathrm{d}x+\dfrac{x}{2\mathtt{b}\left(\mathtt{n}-1\right)\left(\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}\right)^{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-7}{\mathtt{n}-1}}}}}$ خوب قسمت دوم $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{x^2+5}\,\mathrm{d}x$و تغییر متغییر بده $u=\dfrac{x}{\sqrt{5}} $ببین $={\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{5}}{5u^2+5}\,\mathrm{d}u $خوب باز خوب توجه کنید $ =\class{steps-node}{\cssId{steps-node-9}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,\mathrm{d}u$ با فرمول زیر اشنا هستی ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,\mathrm{d}u $ ببین $=\arctan\left(u\right) $
خوب $=\dfrac{\arctan\left(u\right)}{\sqrt{5}} $ به جای u مقدار بزار $=\dfrac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}} $ ببین $ \dfrac{x}{10\left(x^2+5\right)}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-11}{\dfrac{1}{10}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{x^2+5}\,\mathrm{d}x$
خوب ببین $ =\dfrac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{5^\frac{3}{2}}+\dfrac{x}{5\left(x^2+5\right)}-\dfrac{5}{2\left(x^2+5\right)}+C$ و جواب شما $=\dfrac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)}{5^\frac{3}{2}}+\dfrac{2x-25}{10\left(x^2+5\right)}+C $
جواب سوال بعدی ببینید و دقت کنید $ {\displaystyle\int}\arcsin\left(x\right)\,\mathrm{d}x$ خوب با قاعده ${\int}\mathtt{f}\mathtt{g}' = \mathtt{f}\mathtt{g} - {\int}\mathtt{f}'\mathtt{g} $
اشنا هستید$=\arcsin\left(x\right) $و $\mathtt{g}' $ و $f=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ و $ \mathtt{g}\;$ خوب ببین $ =x\arcsin\left(x\right)-{\displaystyle\int}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$
ببین ${\displaystyle\int}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x $ باز تغییر متغییر $u=1-x^2 $ اینم ساده هست $ \mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2x}\,\mathrm{d}u$ ققاعده کلی که گفتم یادتون هست $=-\sqrt{1-x^2} $ منظورم $ {\displaystyle\int}u^{\mathtt{n}}\,\mathrm{d}u=\dfrac{u^{\mathtt{n}+1}}{\mathtt{n}+1}$ ببین ${\displaystyle\int}u^{\mathtt{n}}\,\mathrm{d}u=\dfrac{u^{\mathtt{n}+1}}{\mathtt{n}+1} $ چون $ -\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{1}{2}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u$ خوب اینجا به جواب میرسم $ x\arcsin\left(x\right)-{\displaystyle\int}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$ میشه $ =x\arcsin\left(x\right)+\sqrt{1-x^2}+C$
جواب بعدی شما $ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sin\left(x\right)+1}\,\mathrm{d}x$ ببین $={\displaystyle\int}\dfrac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right)^2}\,\mathrm{d}x $ کمی سختر هست $ u=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+1$ و ببین $\mathrm{d}x=\dfrac{2}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}\,\mathrm{d}u $ باز $ =\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u$ و قاعده کلی استفاده کرده چون من $ u=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+1$ به جواب میرسم $=-\dfrac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1}+C $
مشتق ها $\ln\left(\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2\right) $ ساده هست $=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{1}{\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2}}}\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2\right]}} $ لذا $=\dfrac{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-4}{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-6}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{\cos\left(x\right)}\right]}}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-5}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^2\right]}}}}}{\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2} $ پس نوشته میشه $ =\dfrac{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-7}{\frac{1}{2}}}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-8}{\cos^{\frac{1}{2}-1}\left(x\right)}}\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-9}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\cos\left(x\right)\right]}}+\class{steps-node}{\cssId{steps-node-10}{2}}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-11}{x}}}{\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2}$ جواب $=\dfrac{\frac{\class{steps-node}{\cssId{steps-node-12}{-\sin\left(x\right)}}}{2\sqrt{\cos\left(x\right)}}+2x}{\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2} $ که ساده شده $ =\dfrac{2x-\frac{\sin\left(x\right)}{2\sqrt{\cos\left(x\right)}}}{\sqrt{\cos\left(x\right)}+x^2}$
سوال بعدی $ \class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{\arcsin\left(x\right)}\right]}}$ جواب $=\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{1}{2}}}\class{steps-node}{\cssId{steps-node-3}{\arcsin^{\frac{1}{2}-1}\left(x\right)}}\cdot\class{steps-node}{\cssId{steps-node-4}{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\arcsin\left(x\right)\right]}} $ جواب $ =\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}\sqrt{\arcsin\left(x\right)}}$
بقیه هم ساده هست
تصویر

ارسال پست