اتساع زمان در میدان گرانش

[انیشتین جوان]

ابتدا این سوال رو بپرسم...
یک آپارتمان چند طبقه داریم. دو نفر، یکی در پایین ترین و دیگری در بالاترین اتاق آپارتمان اقامت داره. هر دو برای خودشون ساعت یکسانی دارند. آیا درست فهمیدم که بدلیل گرانش زمین (هرچند که خیلی ناچیزه) شخص بالایی وقتی ساعت خودشو با ساعت شخص پایینی مقایسه می کنه، می بینه که ساعت شخص پایینی کندتر کار می کنه؟ اگه اینطوره، آیا شخص پایینی هم اینطور قضاوت می کنه؟( یعنی ساعت فرد بالا رو کندتر از ساعت خودش می دونه؟ ) چرا؟

[[email protected]]

اگه اینطوره، آیا شخص پایینی هم اینطور قضاوت می کنه؟( یعنی ساعت فرد بالا رو کندتر از ساعت خودش می دونه؟ ) چرا؟

سلام
خیر، تقارن لورنتسی توی نسبیت عام به شکلی که توی نسبیت خاص برقراره، دیگه لزوماً برقرار نیست. یعنی فرد پایینی، ساعت فرد بالایی رو "تندتر" می بینه. و البته همون طور که خودتون گفتید، فرد بالایی، ساعتِ فرد پایینی رو کندتر می بینه. اصولاً ناظری که داخل میدان گرانشیه، تمام حرکت های خارج یا دور از میدان گرانشی رو سریع تر اندازه گیری می کنه. سرعت نور هم دیگه ناوردا نیست و این ناظر، سرعت نور رو هم بیشتر از مقدار ثابت پذیرفته شده اندازه گیری میکنه. فقط در نسبیت عام، هر ناظر، چه داخل و چه خارج از میدان گرانشی، به صورت موضعی، یعنی در نزدیکی خودش، سرعت نور رو همون مقدار ثابت اندازه گیری می کنه.

[rohamavation]

وجود تفاوت واقعی بین مقدار مشاهده‌شده برای زمان سپری شده میان دو رویداد، از دید ناظرهای قرار گرفته در مکان‌هایی با پتانسیل گرانشی متفاوت است. هرچه پتانسیل گرانشی مکان ناظر بیشتر باشد (یعنی از جرم منشأ میدان دورتر باشد) ناظری که او را از مکانی با پتانسیل گرانشی کمتر می بیند احساس میکند زمان برای فردی که در مکانی با پتانسیل گرانشی بیشتر است زود تر می گذرد زمان برای هر دو ناظر به یک سرعت می گذرد ولی از دید یکدیگر زمان برای یکی از دیگری زودتر می گذرد به دلیل اینکه پتانسیل گرانشی هم بر روی ساعت ناظر و هم بر روی بدن ناظر تاثیر گذاشته و زمان را برای هردو تندتر می کند به روایتی اگر یک نفر را از مکانی با پتانسیل گرانشی کمتر به مکانی با پتانسیل گرانشی بیشتر ببریم گذر زمان در هر دو مکان برای او یکسان است.فرض کنید در قله کوهی بسیار مرتفع زندگی می‌کنید و دوست شما در کنار یک دریا اقامت دارد؛ جایی که کشش جاذبه قوی‌تر است و در حقیقت زمان کندتر می‌گذرد. در این حالت شما زودتر از دوستتان پیر می‌شوید. البته باید بگوییم که شما نمی‌توانید متوجه این تسریع در گذر عمر خود شوید چرا که این تفاوت بسیار ناچیز و در نتیجه نامحسوس است.بنابراین ، فضا به دلیل جرم سنگین مانند زمین خم می شود از آنجا که جاذبه تحت تأثیر جرم قرار می گیرد ، گرانش در اطراف زمین تغییر می کند اکنون ، جرم با زمان متناسب است
وقتی جرم سنگینی وجود دارد زمان کاهش می یابدفرض کنید شما یک فوتون با انرژی E بر روی زمین ایجاد کرده و آن را تا بالای برج که در آن این فوتون به جرم معادل m = E / c ^ 2 تبدیل می شود ،
این توده دوباره به زمین سقوط خواهد کرد و پس از رسیدن به زمین ، انرژی بیشتری به دست خواهد آورد زیرا از طریق میدان گرانشی سقوط کرده است.
اگر با انرژی E شروع کرده باشید ، در نهایت انرژی خواهید گرفت $ E′=E+mgh=E(1+gh/c2) $
بنابراین هر وقت این کار را می کنید ، انرژی ایجاد می کنید! مطمئناً چیزی اشتباه است - این تصور ما بوده است که گرانش بر نور تأثیر نمی گذارد. واضح ترین راه حل این است که فرض کنیم فوتون هنگام بالا رفتن از میدان گرانشی انرژی خود را از دست داده و انرژی آن در بالا$ E′=E(1+gh/c2)−1 $
این (اولین تقریب با) پدیده تغییر قرمز گرانشی است که فوتونها هنگام صعود از یک میدان گرانشی انرژی را از دست می دهند.
حال ، اگر به یاد داشته باشید که فرکانس فوتون توسط E = hυ به انرژی آن مربوط می شود ، خواهید دید که فرکانس ($~ 1 / T$ که "ساعت داخلی" یک فوتون است) همان رابطه فوق را رعایت می کند. این نشانگر تأثیر گرانش بر زمان است - در واقع بلافاصله آشکار است که هر ساعت مبتنی بر فرکانس نور با سرعت کمتری در میدان گرانش کار می کند.
طبق تئوری نسبیت ، یک ساعت با سرعت کمتری کار می کند زیرا میدان گرانشی در ساعت قویتر است (پتانسیل گرانشی بالاتر) از مشاهدهگر است - ساعت و ناظر نسبت به منبع میدان در حالت استراحت هستند ، یک ستاره نوترونی ، . از آنجایی که سرعت نور در همه جا همان اندازه گیری محلی است ، این بدان معنی است که یک میله اندازه گیری در نزدیکی ساعت درون میدان گرانشی طول ان کمتر است.
من در جایی خواندم "ما قبلاً مفهوم انرژی پتانسیل گرانشی را می دانیم (تانسور متریک در GR). برای یک جرم / انرژی مرجع ، این می تواند به عنوان اندازه گیری "تراکم" زمان فضا تفسیر شود ، با دیفرانسیل هایی که مناطق انحنای بالاتر ، و نیروی جاذبه بالاتر را نشان می دهند. اما پیشنهاد اینکه [اینکه] پتانسیل گرانش (و نه میزان تغییر پتانسیل گرانش) متناسب با انحنا / نیرو باشد ، کار اشتباهی است. "
سوال من این است: اگرچه سرعت مختصات نور با ورود به میدان گرانشی یک ستاره نوترونی که از خارج از میدان مشاهده می شود ، از موقعیتی که میدان ضعیف است ، کاهش می یابد ، آیا می توانیم بگوییم که مدت زمان بیشتری طول می کشد تا نور به سمت ستاره نوترونی حرکت کنیم زیرا فاصله فضایی بین ناظر تا سطح ستاره نوترونی - یا اگر بتوانیم یک تونل را از طریق ستاره نوترونی حفاری کنیم و آن را باز نگه داریم - فاصله بین ناظر و مرکز ستاره نوترونی در محلی که در داخل گرانش ستاره اندازه گیری می شود (فرض می کنم این فاصله مناسب بین ناظر و مرکز ستاره نوترونی باشد؟) بیشتر از اندازه گیری در خارج از میدان است ، از فاصله مختصات بین ناظر و مرکز ستاره ،فاصله آنها از موقعیت ناظر و ستاره نوترونی نسبت به ستارگان اطراف محاسبه می شود
اگر چنین است ، آیا این بدان معناست که فضا-زمان به این معنا نیست که فضا-زمان در نزدیکی ستاره نوترونی متراکم تر می شود (نسبت به مناطق دورتر از ستاره نوترونی ، دورتر از جرم ها) ، اما این در حالی است که جرم نوترون آیا ستاره فضا-زمان را در محیط خود منحنی می کند ، می توان میدان گرانشی آن را نزدیک به ستاره نوترونی به عنوان یک گسترش محلی از زمان-زمان در نظر گرفت ، منطقه ای که به یک فوتون نفوذ می کند و به سمت مرکز ستاره نوترونی حرکت می کند؟
به عبارت دیگر ، آیا جرم فقط بافت زمان-زمان را تغییر شکل می دهد به این معنا که اگر بخواهیم فضای خالی را با یک شبکه 3 بعدی منظم مجهز کنیم ، تغییر شکل می دهد؟ اگر فقط ستاره را در فضای خالی قرار دهیم ، شبکه فقط در نزدیکی ستاره نوترونی تغییر شکل می دهد - یعنی تعداد سلولها بدون تغییر خواهد ماند - یا سلولهای جدیدی در نزدیکی ستاره نوترونی ظاهر می شوند - سلولهایی که به نظر ناظر دور کوچکتر از آنها در غیاب ستاره نوترونی در همان مکان بودند - یعنی در همان فاصله مختصات؟
اگرچه من گمان می کنم این احتمال که میدان گرانشی ستاره نوترونی در مجاورت آن یک گسترش محلی از زمان-زمان باشد ،
: منظور من گسترش فضا در زمان نیست - گسترش به عنوان یک فعل - بلکه گسترش فضا-زمان است که در صورت مشاهده چنین شبکه ای توسط ناظر با یک تلسکوپ قدرتمند قابل مشاهده است. سوال من این است که آیا زمان فضایی که در حال حاضر در غیاب ستاره نوترونی وجود دارد فقط تاب می خورد ، اگر ستاره نوترونی را ، شبکه را تغییر می دهد تا تعداد سلولها بدون تغییر بماند ، یا اینکه میدان گرانشی آن به مرکز آن نزدیکتر است گسترش محلی فضا-زمان را تشکیل می دهد: چه تعداد سلولهای آنجا بعد از قرار دادن ستاره در آن بیشتر باشد ، اندازه آنها از نظر ناظر کوچکتر از سلولهایی است که در همان فاصله مختصات در جهات دیگر نسبت به ستاره نوترونی قرار دارند.
اگر چنین است ، اگر یک گسترش از زمان-زمان باشد ، آیا این بدان معنا نیست اگر فضا ، زمان و انرژی مقادیر نامربوطی نباشند - چگونه می توان در مورد تراکم انرژی جهان صحبت کرد (که قرار است سرعت انبساط آن را تعیین کند) ، مفهومی که به نظر می رسد انرژی و فضا را به عنوان مستقل تعریف می کند مقادیر - کدام یک از این موارد به معنای واقعی است که انرژی محلی نمی تواند فضا-زمان را منحنی کند؟
نسبیت عام زمان هندسه است. دقیقاً ، زمان-زمان یک منیفولد 4 بعدی است (3 بعد فضایی و 1 بار). طول زمان ct است ، جایی که "c" از نظر عددی برابر با سرعت نور است.
هندسه زمان-زمان توسط انرژی و حرکت تحریف می شود.
بنابراین از نظر فنی ، گرانش بر زمان تأثیر نمی گذارد ، بلکه زمان تحت تأثیر همان چیزی است که "گرانش" نامیده می شود.
جالب توجه است ، همچنین می توانید اتساع زمانی را از مکانیک کوانتوم دریافت کنید ، جایی که هر ذره دارای انرژی استراحت$ E0=mc2 $ و فرکانس $ ν0=mc2/h $ است. اگر ذره ای را با ارتفاع z در یک میدان گرانشی مقاومت g افزایش دهید ، آنگاه انرژی $mgz $به دست می آورد بنابراین انرژی کل جدید آن $Ez=mc2+mgz $ و فرکانس جدید $ νz=(mc2+mgz)/h . $ ساعت است. نسبت این فرکانسها که دقیقاً تقریب (ضعیف) میدان ضعیف به اتساع زمان گرانشی است. (اگر z را به dz تغییر دهید و حساب ساده ای انجام دهید

[XIV]

اگه اینطوره، آیا شخص پایینی هم اینطور قضاوت می کنه؟( یعنی ساعت فرد بالا رو کندتر از ساعت خودش می دونه؟ ) چرا؟

سلام
خیر، تقارن لورنتسی توی نسبیت عام به شکلی که توی نسبیت خاص برقراره، دیگه لزوماً برقرار نیست. یعنی فرد پایینی، ساعت فرد بالایی رو "تندتر" می بینه. و البته همون طور که خودتون گفتید، فرد بالایی، ساعتِ فرد پایینی رو کندتر می بینه. اصولاً ناظری که داخل میدان گرانشیه، تمام حرکت های خارج یا دور از میدان گرانشی رو سریع تر اندازه گیری می کنه. سرعت نور هم دیگه ناوردا نیست و این ناظر، سرعت نور رو هم بیشتر از مقدار ثابت پذیرفته شده اندازه گیری میکنه. فقط در نسبیت عام، هر ناظر، چه داخل و چه خارج از میدان گرانشی، به صورت موضعی، یعنی در نزدیکی خودش، سرعت نور رو همون مقدار ثابت اندازه گیری می کنه.

سلام جناب جوانشیری! آیا این مطلبی که گفتید جزو نظریۀ اصلاحی خودتان است یا واقعاً اینشتین چنین چیزی گفته است؟

[[email protected]]

سلام جناب جوانشیری! آیا این مطلبی که گفتید جزو نظریۀ اصلاحی خودتان است یا واقعاً اینشتین چنین چیزی گفته است؟

سلام
خیر نظریه ی بنده نیست، طبق نسبیت عام این اتفاقات میوفته.

[انیشتین جوان]

اگه اینطوره، آیا شخص پایینی هم اینطور قضاوت می کنه؟( یعنی ساعت فرد بالا رو کندتر از ساعت خودش می دونه؟ ) چرا؟

سلام
خیر، تقارن لورنتسی توی نسبیت عام به شکلی که توی نسبیت خاص برقراره، دیگه لزوماً برقرار نیست. یعنی فرد پایینی، ساعت فرد بالایی رو "تندتر" می بینه. و البته همون طور که خودتون گفتید، فرد بالایی، ساعتِ فرد پایینی رو کندتر می بینه. اصولاً ناظری که داخل میدان گرانشیه، تمام حرکت های خارج یا دور از میدان گرانشی رو سریع تر اندازه گیری می کنه. سرعت نور هم دیگه ناوردا نیست و این ناظر، سرعت نور رو هم بیشتر از مقدار ثابت پذیرفته شده اندازه گیری میکنه. فقط در نسبیت عام، هر ناظر، چه داخل و چه خارج از میدان گرانشی، به صورت موضعی، یعنی در نزدیکی خودش، سرعت نور رو همون مقدار ثابت اندازه گیری می کنه.

سلام جناب جوانشیری! آیا این مطلبی که گفتید جزو نظریۀ اصلاحی خودتان است یا واقعاً اینشتین چنین چیزی گفته است؟

به نظر می رسه شما بهتر بلدید. می شه افتخار بدین اندکی از دانش چشمگیرتون راجع به سوالم پاسخ بدید؟ البته رهام جون کم مایه نذاشته اما اگه شما بهتر و تازه تر بلدید خوشحال می شم

[عبدالرضا علي پور]

تفاوت انرژی پتانسیل گرانشی برای جرمی که دقیقا در مرکز زمین قرار گرفته با جرمی که دقیقا در خارج جو و جایی که میدان گرانشی زمین صفر میشود در چیست ؟

[rohamavation]

فرمول شما برای انرژی پتاسیل گرانشی $\text{U} = -\text{G} \frac{\text{m}_1 \text{M}_2}{\text{r}} $اگر جسمی از یک نقطه به نقطه اگرر در داخل یک میدان گرانشی سقوط کند ، نیروی جاذبه کار مثبتی روی جسم انجام می دهد و انرژی پتانسیل گرانشی نیز به همان مقدار کاهش می یابد.قانون جاذبه نیوتن : این قانون بیان می کند که هر جرم نقطه ای در جهان هر جرم نقطه دیگری را با نیرویی جذب می کند که مستقیماً با محصول جرم آنها متناسب و با مربع فاصله بین آنها متناسب باشد. ، و ما باید از حساب و تعریف ریاضی عمومی کار برای تعیین انرژی پتانسیل گرانشی استفاده کنیم. برای محاسبه انرژی پتانسیل ، می توانیم نیروی جاذبه را که مقدار آن توسط قانون جاذبه نیوتن داده شده است ، با توجه به فاصله بین دو جسم ادغام کنیم. با استفاده از این تعریف، انرژی پتانسیل گرانشی از یک سیستم توده و در فاصله با استفاده از ثابت گرانشی است
$\text{U} = \text{mgh} $
$ \displaystyle \text{U} = -\text{G} \frac{\text{m}_1 \text{M}_2}{\text{r}} + \text{K}$که ما مقدار k=0ر ا میگذاریم
میدان گرانش در سطح زمین$g* = \frac{GM}{(R + h)^2}
$خوب انرژیپتانسیل $W = \int Fdx = \int_\infty^{(R+h)} \frac{Gm_1m_2}{x^2}dx
$توجه: انرژی پتانسیل گرانشی در یک نقطه به عنوان کار انجام شده برای رساندن جرم از بینهایت به آن نقطه تعریف می شود.
انرژی همیشه در تغییرات مورد بررسی قرار می گیرد. "به موجب موقعیت خود نسبت به دیگری" این بدان معناست که وقتی شی جهت گیری خود را نسبت به بقیه تغییر می دهد ، انرژی تغییر می کند (از دست می رود یا به دست می آید). در مرکز زمین ، انرژی پتانسیل جاذبه در پایین ترین سطح است . شما در حال محاسبه تغییر هستید در مطالعات من معمولاً تعیین سطح "پتانسیل صفر" از قبل است. این . این را در نظر بگیرید. شما یک توپ را از ارتفاع ناچیز از سطح زمین به بالا پرتاب می کنید. و اگر مقدار صفر را در نقطه اولیه به انرژی اختصاص دهید ،s در ارتفاع h از نقطه شروع ، آنگاه پتانسیل mgh (دوباره تقریباً) بدست آورده است (بگذارید m جرم توپ باشد.) اما وقتی مقداری را به موقعیت اولیه اختصاص دهید ، مقدار متفاوتی بدست خواهید آورد برای پتانسیل در ارتفاع h اما تفاوت هنوز همان خواهد بود. این چیزی است که در واقع مهم است.$ U=-\frac{GMm}{2R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right)$
انرژی پتانسیل گرانشی قابل محاسبه نیست اما می توان تغییر در انرژی پتانسیل گرانشی را محاسبه کرد. این کار با انتخاب برخی از موقعیت های مرجع به عنوان پتانسیل صفر انجام می شود. شما در انتخاب پتانسیل صفر در هر جایی آزاد هستید. اما پس از انتخاب ، باید به آن پایبند باشید. با قراردادهایی که بیشتر مردم از آن پیروی می کنند ، در مرکز زمین پتانسیل گرانش صفر است. همچنین در یک فاصله بی نهایت از زمین پتانسیل صفر است. بعضی اوقات سطح زمین را نیز دارای پتانسیل صفر می دانند.قانون گاوس به شما می گوید که جریان کلی از طریق سطح داخلی کروی صفر است ، زیرا جرم محصور شده صفر است.همانطور که شار گرانشی به سمت بیرون یا داخل سطح می رود ، اما همیشه به دلیل تقارن به همین ترتیب است ، برای صفر بودن مجموع کل ، میدان باید در هر نقطه صفر باشد (زیرا در غیر این صورت هنگام انجام لغو نمی شود در کل سطح).
سپس ، برای شما که در داخل کره توخالی قرار دارید ، میدان جاذبه در هر نقطه صفر است و بنابراین ، می توانید آن توده حاصل از کره توخالی را نادیده بگیرید.
اکنون کره جامد داخلی را در نظر بگیرید و اینکه در مرز خارجی قرار دارید. سپس با استفاده از همان قوانین قبلی ، متوجه می شوید که شار کل متناسب با جرم محصور است و برای تقارن ، شار همیشه در هر نقطه با همان مقدار رو به داخل است.
این همان چیزی است که می گویند برای میدان جاذبه ، شما می توانید جرم خارجی را نادیده بگیرید و فقط جرم داخلی را در نظر بگیرید.
ضمناً ، این قضیه را قضیه شل نیز می نامند.
طبق ر ابطه زیر میدان گرانشی $ g(d) = G M_e \dfrac{R_e - d}{R_e^3}$ محاسبه میشود
در نسبیت $ U=-mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}-1\right)\;.$که تر معادلات نیوتنی حاصل شده اما در واقع $\Gamma^\mu_{\sigma\nu}=\frac{1}{2}g^{\mu\tau}(\partial_{\sigma}{ g_{\nu\tau}} +\partial_{\nu}{ g_{\sigma\tau}} - \partial_{\tau}{ g_{\sigma\nu}}) $در GR ، به طور کلی ، تعریف انرژی پتانسیل گرانشی بی معنی است. GR یک نظریه هندسی است ، بنابراین شما باید تشابه با مفهوم "پتانسیل" را در یک شی هندسی پیدا کنید. معلوم می شود که معادل هندسی پتانسیل گرانش ، سنسور متریک است .یک سنسور متقارن از درجه دوم است که در اصل به شما می گوید که چگونه فاصله فضا-زمان را "اندازه گیری" کنید.

[عبدالرضا علي پور]

یکیشون جاذبه براشون صفر است و یکیشون ارتفاع پس هر دو پتانسل گرانشی برابر صفر دارند

[[email protected]]

با قراردادهایی که بیشتر مردم از آن پیروی می کنند ، در مرکز زمین پتانسیل گرانش صفر است. همچنین در یک فاصله بی نهایت از زمین پتانسیل صفر است.

نه رهام جان، پتانسیل توی مرکز زمین صفر نیست. اگه یه کاواک یا چاله ی کروی در مرکز زمین ایجاد کنیم، شتاب در گوشته ی زمین یعنی در حد فاصل بین سطح زمین و سطحِ کاواک، تابعی از فاصله ی جرمِ آزمون تا مرکز زمینه، (البته با این فرض که تونلی باریک و مستقیم، سطح زمین رو به کاواک متصل کرده باشه تا جرم آزمون بتونه به راحتی به مرکز زمین و داخل کاواک سقوط کنه.) اگه فاصله ی مرکز زمین تا جرم آزمون $r$ باشه اگه اشتباه نکنم شتاب در داخل گوشته (تونل) میشه:

$$g=\frac{4\pi}{3}G\rho r$$
درسته که شتاب گرانشی در هر نقطه در داخل کاواک صفره ولی پتانسیل گرانشی دقیقاً در مرکز زمین یا داخل کاواک صفر نیست و معادله:

$$V=\frac{-3GM}{2R}$$
دقت کن که چون شتاب در داخل گوشته تابعی از $r$ هست، پس همچنان در داخل تونل هم باید کار انجام بدیم تا جرم آزمون رو به مرکز زمین برسونیم. بد نیست اگه به این جستار هم یه نگاهی بندازی.

[rohamavation]

من هم گفتم طبق قر ار د اد های اکثر مر د م د ر مرکز ز مین صفر د ر نظر میگیرند چون نزد یک به صفر هست .ولی فرمایش شما در ست هست .فرمول کلی برای به دست آوردن انرژی احتمالی هر توزیع کروی این است: که در آن جرم درون پوسته ای از شعاع . از آن آسان است برای به دست آوردن انرژی گرانشی از یک کره یکنواخت جرم و شعاع : به طور کلی ، برای هر توزیع کروی از جرم کل و شعاع خارجی ، می توانیم این را بنویسیم: $ \begin{equation}\tag{1}
U = - \int_0^R \frac{GM(r)}{r} \, \rho(r) \, 4 \pi r^2 \, dr,
\end{equation}$جایی که $M(r) $ جرم درون پوسته ای از شعاع r <R است. به راحتی می توان انرژی گرانشی یک کره یکنواخت از جرم M و شعاع R را بدست آورد:$ \begin{equation}\tag{2}
U = -\, \frac{3 G M^2}{5 R}.
\end{equation}$به طور کلی ، برای هر توزیع کروی از جرم کل M و شعاع خارجی R ، می توانیم این را بنویسیم:$\begin{equation}\tag{3}
U = -\, \frac{k \, G M^2}{R},
\end{equation} $U = −kGM2R ، (3)
که در آن k> 0 یک ثابت است که به توزیع داخلی بستگی دارد. k = 3/5 برای توزیع یکنواخت. برای پوسته کروی نازک شعاع R (تمام جرم متمرکز بر روی سطح آن) ، می توانیم k = 1/2 بدست آوریم.$\begin{equation}\tag{4}
\frac{1}{2} \le k < \infty.
\end{equation} $ ، این منطقی است. اما چگونه می توان این را از انتگرال عمومی (1) اثبات کرد؟
برای ساده کردن کمی ، ممکن است متغیر بدون بعد $x = r/R \le 1 $را معرفی کنیم و جرم نسبی $ \bar{M}(x) \equiv M(r)/M \le 1$ و چگالی نسبی$ \bar{\rho}(x) = \rho(r) / \rho_{\text{average}}$ را تعریف کنیم. ، جایی که $ \rho_{\text{average}} = 3 M/4 \pi R^3$بنابراین ، انتگرال (1) به شکل زیر در می آید:$ \begin{equation}\tag{5}
U = -\, \frac{3 G M^2}{R} \int_0^1 \bar{M}(x) \, \bar{\rho}(x) \, x \, dx.
\end{equation}$بر میگر دم به معادله اول $ \tag1 M=\int^R_0 \rho(r)4\pi r^2 dr = \int^R_0 \frac{dM}{dr}dr.$حل شماره 2 $ \tag2 \frac{dM}{dr}dr = 4\pi r^2 \rho(r)dr.$که نتیجه $U = - \int_0^R \frac{GM(r)}{r} \, \rho(r) \, 4 \pi r^2 dr, $پس مینویسم $U=-G\int_0^R \frac{M(r)}{r} \frac{dM}{dr}dr. $بیایید فقط روی قسمت جدایی ناپذیر متمرکز شویم و آنرا I بنامیم ،$ I=\int_0^R \tag{3}\frac{M(r)}{r} \frac{dM}{dr}dr.$آها به نظر می رسد این چیزی است که می توانیم با جزئ به جزئ حل کنیم. بیایید $u=\frac{M(r)}{r} $ و$ v'=\frac{dM}{dr}$ تنظیم کنیم. سپس$u'=-\frac{M(r)}{r^2} + \frac{1}{r}\frac{dM}{dr}. $که داریم $I=\Bigg[\frac{M(r)}{r}M(r)\Bigg]^R_0-\int^R_0 \Big(-\frac{M(r)}{r^2} + \frac{1}{r}\frac{dM}{dr}\Big)M(r) dr. $بیایید فقط بخش جدایی ناپذیر را بررسی کنیم ، j ;که $ J=-\int^R_0 \frac{M^2(r)}{r^2} dr + \underbrace{\int^R_0 \frac{M(r)}{r}\frac{dM}{dr} dr}_{\textrm{ roham this integral, it's }I}.$ حالا $ I=\Bigg[\frac{M^2(r)}{r}\Bigg]^R_0 + \int^R_0 \frac{M^2(r)}{r^2} dr - I,$ اکنون $ 2I= \Bigg[\frac{M^2(r)}{r}\Bigg]^R_0 + \int^R_0 \Bigg(\frac{M(r)}{r}\Bigg)^2 dr.$در مورد M ، یعنی M (0) = 0 یعنی $I=\frac{M^2}{2R} + \frac{1}{2}\int^R_0 \Bigg(\frac{M(r)}{r}\Bigg)^2 dr. $بیایید فقط انتگرال را بدون ابعاد در نظر بگیریم:$K=\int^X_0 \frac{f(x) f'(x)}{x} dx. $ لذا $g(x)=\frac{f^2(x)}{2x}, $
که بدست میاورم $g'(x) = \frac{f(x) f'(x)}{x}-\frac{f^2(x)}{2 x^2}. $لذا $ K=\big[g(x)\big]^X_0 + \frac{1}{2}\int^X_0 \frac{f^2(x)}{x^2}dx= \Bigg[\frac{f^2(x)}{2 x}\Bigg]^X_0 + \frac{1}{2}\int^X_0 \bigg( \frac{f(x)}{x} \bigg)^2 dx.$