شما میگید در خلا بدون گرانش .گرانشدر تمام جاها وجود داره و در نزدیک اجرام قوی تر با فاصله نسبت عکس با جرم نسبت مستقیم .
حالا اگر منظور سقوط در نزدیک جرمی که ان جرم در برابر ان ناچیز باشد مانند زمین و اجسام مانند آجر مورد نظر دارای بردار سرعت و متشکل از دو جز است که کاملاً مستقل از یکدیگر هستند:
یک عمودی در برابر:به منظور سادگی ، فرض خواهیم کرد که هیچ نیروی کششی قابل توجهی در جهت y عمل نمی کند.اگر t = 0 لحظه شروع آجر افتادن باشد ،$g=9.81\:\mathrm{ms^{-2}} $که میدونید $ y=\frac12 gt^2$و برای تعداد بالای رینولدز ، آجر یک نیروی افقی را ایجاد می کند که در اثر باد ایجاد می شود ، به عنوان مثال:$F_D=\frac12 \rho u^2C_DA $که درگ را بنویسم $\boxed{x_f\approx \frac{1}{2mg}\rho u^2 C_DAH} $مسافت پیموده شده این میشه.
اگر منظور سقوط $F_g ~=~ G\frac{Mm}{r^2} $ در حد اجرام بزرگ هست ما در جهان کاملی که با شعاع r از هم جدا شده اند ، دارای 2 جرم نقطه ای ، m و M هستیم. با شروع از استراحت ، هر دو سرعت خود را به سمت یکدیگر شروع می کنند. بنابراین ما نیروی جاذبه بین آنها داریم:من باید بتوانیم از صرفه جویی در انرژی برای نوشتن سرعت اجسام به عنوان تابعی از زمان استفاده کنم$\textrm{Energy conservation (KE = PE): } \frac{p^2}{2}\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) = GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) $و همچنین $ \frac{dr}{dt} = -(v + V) = -p\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right)$حفظ حرکت تضمین می کند که اندازه لحظه هر دو توده یکسان است.جایگزینی معادله دوم از اولین معادله ای که می توانید حل کنید:$ \int_0^T dt = -\int_{r_0}^0 dr \sqrt{\frac{rr_0}{2G(M+m)(r_0-r)}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}$
برای کامل بودن ، در اینجا راه حل دیگری وجود دارد معادلات حرکت (از قانون نیوتن 2) به ترتیب دو جرم نقطه m1 و m2 عبارتند از:$G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_1 \ddot{r_1}\Leftrightarrow \ddot{r_1}=G\frac{m_2}{(r_2-r_1)^2} $و $-G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_2 \ddot{r_2}\Leftrightarrow \ddot{r_2}=-G\frac{m_1}{(r_2-r_1)^2} $پس $\ddot{r_2}-\ddot{r_1}=\frac{\mathbb{d}^2}{\mathbb{d}t}(r_2-r_1)=-G\frac{m_1+m_2}{(r_2-r_1)^2} $و با داشتن r = r2 − r1 در نهایت معادله دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم زیر را بدست می آوریم:$ \ddot{r}r^2+G(m_1+m_2)=0$
وظیفه مشابه: جسمی با سرعت فرار از ارتفاع R مستقیماً به بالا پرتاب می شود. چه مدت طول می کشد تا جسم به ارتفاع h برسد؟در اینجا $\large v=\frac{dr}{dt} $و $\large dt= \frac{1}{v}dr $خوب داریم $\large \frac{1}{v_e} = \sqrt{\frac{r}{2GM}} $پس $ \large T=\int\limits_R^h \sqrt{\frac{r}{2GM}}dr=\frac{2}{3}(h^{3/2}-R^{3/2})\frac{1}{\sqrt{2GM}}=\large \frac{2}{3}\Big(\frac{h}{v_{eh}}-\frac{R}{v_{eR}}\Big)$ بدست میاد
حال سوال اصلی
اگر کسی بتواند یک آسانسور آزادانه در حال سقوط بر روی زمین ، در مقابل یک سفینه فضایی را که در فضای خالی در حال پرواز است ، تصور کند ، دو ذره آزمایش در واقع احساس یک جاذبه جانبی جزئی می کنند که ناشی از تأثیر میدان گرانشی زمین بر مسیر حرکت ذرات است.
سقوط آزادانه اگر شما از زمین در خارج از آسانسور اطلاعی نداشتید ، جذب دو ذره آزمایش را با یک نیروی جاذبه بین ذرات برابر می کردید.
به همین ترتیب اگر در موشک بودید و هیچ شناختی از جهان خارج نداشتید و دو ذره داشتید که به سمت یکدیگر جذب می شدند ، ممکن است فکر کنید که آنها در واقع تحت تأثیر جسم سوم عظیمی که خارج از سفینه فضایی است در حال حرکت هستند. روی ذرات در امتداد دو مسیر مختلف
از آنجا که تشخیص تفاوت غیرممکن است ، باید نتیجه بگیرید که بین این دو چارچوب مرجع یک برابری وجود دارد.
به همین ترتیب ، اگر کاملاً نیروی قابل اندازه گیری در داخل آسانسور آزادانه در حال سقوط وجود نداشته باشد ، فضا زمان مشابهی خواهد داشت که در نسبیت خاص استفاده می شود.
آیا در اینجا لازم است که تأثیر گرانشی توپ قرمز بزرگ در حجم آزمایشی فضایی غیر صفر توسط یک میدان گرانشی همگن / ثابت قابل بیان باشد؟ یعنی میدان گرانشی توپ قرمز در مکعب چقدر تغییر می کند؟ آیا اثر حتی می تواند به دو جهت مخالف باشد؟ -
اما نمی توانید جاذبه ای را که بین توپ های آبی و سبز مشاهده می شود به نیروی جاذبه ای که توسط توپ آبی به یک گل سبز وارد می شود یا برعکس در نظر بگیرید. این بدان دلیل است که اگر مقصر نیروی جاذبه ای باشد که توپ آبی به یک گل سبز وارد می کند (یا بالعکس) ، این به جرم توپ های سبز و آبی بستگی دارد ، اما توپ های سبز و آبی فقط مسیر ژئودزیک را دنبال می کنند زمین و توده توپ و آبی مهم نیست ، آنها همیشه یک مسیر را دنبال می کنند و بنابراین همیشه با همان سرعت در کنار هم قرار می گیرند. -
بگویید دو اتاق یکسان و بدون پنجره وجود دارد ، یکی روی زمین و دیگری روی یک سفینه فضایی با سرعت 9.8 متر بر ثانیه ^ 2 (شتاب ناشی از جاذبه زمین) شما در یکی از آنها هستید و می توانید هر آزمایش مکانیکی را که دوست دارید انجام دهید به شرطی که به هیچ وجه به شکل و فرم بیرون زدن در اتاق نباشد.
متأسفانه هر آنچه را که امتحان کنید نمی توانید تعیین کنید که در کدام اتاق قرار دارید زیرا آزمایشات در هر دو اتاق نتایج یکسانی به همراه خواهد داشت.
با این حال یک اتاق شتاب گرانشی و دیگری شتاب اینرسی را تجربه می کند. اصل معادل سازی به ما می گوید که این دو چیز برابر هستند ، یا همانطور که انیشتین گفت: "نتیجه هر آزمایش محلی غیر گرانشی در یک آزمایشگاه که به طور آزاد سقوط می کند ، مستقل از سرعت آزمایشگاه و مکان آن در زمان-زمان است."
اصل معادل سازی به این معنی است که شما به صورت محلی نمی توانید بفهمید که آیا در یک قاب آزادانه در حال سقوط هستید یا در "فضای بیرونی" ، یعنی در منطقه ای از فضا بدون میدان گرانشی. این نسخه EEP است. نسخه دیگری نیز وجود دارد ، یعنی WEP که می گوید جرم اینرسی همان جرم جاذبه است. این بدان معناست که هنگام ایستادن بر روی زمین ، نیرویی که تجربه می کنید متناسب با جرم گرانشی شما است ، همان جرمی که در قانون دوم نیوتن اعمال می کنید. بنابراین ، اگر در موشکی باشید که شتاب ان 1g است ، همان نیرو را تجربه خواهید کرد. اکنون ، از WEP می بینید که اگر یک توپ را به سمت بالا پرتاب کنید ، مسیری که دنبال می شود در زمین و موشک یکسان خواهد بود. بنابراین می توانیم WEP را از نظر سقوط آزادانه اشیا دوباره تنظیم کنیم: به صورت محلی ،حرکت ذرات در حال سقوط آزادانه در یک قاب شتاب یکنواخت و در یک میدان گرانشی یکسان است. البته ، WEP به معنای EEP نیست زیرا در SR جرم منحصر به فرد نیست. اما به راحتی می توان دریافت که با تحمیل SR در حرکت اجسام می توانید آن را تعمیم دهید. با این حال ، EEP از این لحاظ قویتر است که نه تنها مسیرها بلکه تمام قوانین فیزیک یکسان هستند. این اساس QFT است.
در نسبیت عام ، می توانید بگویید که EEP به معنای WEP است. اما در واقع ، این اصل به نظریه خاصی اشاره نمی کند. بنابراین می توانید تئوری گرانش (نه GR) را تصور کنید که در آن ذرات در حال سقوط آزادانه هنگامی که در یک میدان جاذبه قرار دارند می چرخند ، اما دقیقاً همان مسیر را دنبال می کنند. بنابراین ، نقض EEP اما نه WEP. این نظریه ای نیست که ما تجربه می کنیم ، اما هیچ چیز منع این نوع نظریه ها را ندارد. -
روشی که برای من منطقی است این است که اگر شما یک پرتوی نور را از طریق اتاقی در داخل یک موشک شتاب دهنده شلیک کنید ، پرتو در فاصله ای (نسبت به اتاق) سقوط می کند. بنابراین در زمین پرتوی نور نیز باید سقوط کند (به ظاهر "به دلیل گرانش") ، در غیر این صورت شما می دانید که در کشتی هستید یا بر اساس سقوط یا افت نور نیستید. و تصور می کنم نوعی پیامد جسمی برای آن به وجود بیاید. به نظر می رسد
من مطمئن نیستم که OP از پاسخ های قبلی راضی بوده است یا خیر ، اما احساس می کنم چیزی وجود دارد که حداقل به روشی که سوال از آن خواسته ، پاسخ داده نشده است. دلیل اینکه هم ارزی بین یک سیستم سقوط آزاد و یک قاب استراحت با نسبیت خاص نشان دهنده برابری بین آزمایشگاه روی زمین و یک موشک است که سرعت آن 1g است این است:
1) اول ، توجه داشته باشید که آزمایشگاه در زمین همان سیستم سقوط آزاد نیست ، اگرچه هر دو احساس گرانش می کنند. آزمایشگاه (یا فقط آسانسور) روی زمین به معنای نشان دادن سیستمی است که گرانش را احساس می کند اما جای خود را نسبت به نیروی دیگر ، یعنی عادی موجود در زمین یا کشش در آسانسور ، حفظ می کند.
2) فرض کنید معادل اول درست باشد: سیستم سقوط آزاد برابر است با سیستم استراحت در رابطه خاص. عالی ، چگونه می توانیم به معادل دوم برسیم؟
3) به سیستم سقوط آزاد نیرویی به سمت بالا اضافه کنید ، یعنی یک کشش را که به سمت بالا است به آسانسور سقوط آزاد اضافه کنید و یک آسانسور در زمین آویزان خواهید کرد.
4) مطابق معادل اول ، اگر سیستم سقوط آزاد همان قاب استراحت باشد ، سیستم سقوط آزاد بعلاوه نیرویی که در برابر گرانش عمل می کند باید همان قاب استراحت با همان نیروی اعمال شده باشد.
5) بنابراین ، آسانسوری که در زمین آویزان است ، همان احساس آسانسوری است که نیرویی را به سمت بالا و بدون گرانش احساس می کند.
این روش منطقی برای رفتن از معادل اول به حالت دوم است ، فقط تنش را در آسانسور اضافه کنید تا از "سیستم سقوط آزاد" به "آزمایشگاه روی زمین" بروید تا قسمت دوم معادل از "قاب استراحت" باشد از نسبیت خاص "به" موشک با سرعت 1 g به سمت بالا می رود ".