سقوط به طرف هم!

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

سقوط به طرف هم!

پست توسط انیشتین جوان »

باز هم سلام گرم به هواداران علم نازنین فیزیک! در این شرایط اسف بار امیدوارم سالم و تندرست باشید.😊😊
💡📚سوال من این جاست که در یک فضای آزاد ( فضای خلاء و بدون گرانش) دو ذره جرمدار (ممکنه جرم هاشون برابر باشه یا نباشه) به فاصله مشخص از هم قرار می دهیم. سپس هم زمان اون دو ذره رو رها می کنیم. من ناظر، که دارم سقوط این دو ذره به طرف هم رو تماشا می کنم نوع حرکتشون رو چطوری می بینم؟ با شتاب سقوط می کنند؟ یا با آهنگ تغییر شتاب؟ به طور کلی با "مشتق چندم مکان نسبت به زمان" سقوط می کنه؟
🖋من پاسخی در حد نسبیت عام می خوام؛ نه از قانون گرانش نیوتن چون که می دونیم گرانش نیرو نیست. همچنین اگه می تونین با رابطه ریاضی و اثبات شده جواب بدید( ابتدا پاسخ دقیق ریاضی رو بدید بعداً می تونید تقریب بزنید). در ظمن این سوال در مورد ذرات باردار هم صدق می کنه...
smile043 smile155 ده به توان بی نهایت بار ازتون ممنون می شم!
Young Einstein smile260

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط rohamjpl »

انرژی جرمی فضا-زمان را منحنی می کند..جاذبه نیرو نیست ، بلکه انحنای فضا-زمان است که در اثر وجود انرژی جرم ایجاد می شود.$ \Phi = - \frac{GM}{r} $ همچنین $ g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right) $ گرانش در میدان فضا زمان.حال اگر نیرو را خواستید $F = \frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} $و اینم شتاب $ a = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$
بنابراین ، نیروی جاذبه کل بین این دو جسم ، که به عنوان مجموعه ای از اتم های جرم ثابت در نظر گرفته می شود ، باید متناسب با حاصلضرب تعداد اتم های هر جسم باشد. اما ، از آنجا که جرم هر جسم نیز متناسب با تعداد اتمهای موجود در آن است ، بنابراین نتیجه می گیرد که نیروی گرانش بین اجسام نیز باید متناسب با حاصلضرب جرم آنها باشد:$ \begin{aligned}
F &= \sum_{n_1 = 1}^{N_1} \sum_{n_2 = 1}^{N_2} f_0 \\
&= \sum_{n_1 = 1}^{N_1} N_2 \cdot f_0 \\
&= N_1 \cdot N_2 \cdot f_0
\end{aligned} $ درحقیقت یعنی $ F = N_1 \cdot N_2 \cdot f_0 = \frac{M_1}{m_0} \cdot \frac{M_2}{m_0} \cdot f_0 = M_1 \cdot M_2 \cdot \frac{f_0}{m_0^2} $
برای یک ذره باردار میدان ان $ \vec E=\frac{q\vec R}{R^3}\frac{1-\frac{V^2}{c^2}}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{^3/_2}}. $ محاسبه میشه
تصویر

انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط انیشتین جوان »

rohamjpl نوشته شده:
دوشنبه ۱۳۹۹/۹/۱۰ - ۱۷:۰۸
انرژی جرمی فضا-زمان را منحنی می کند..جاذبه نیرو نیست ، بلکه انحنای فضا-زمان است که در اثر وجود انرژی جرم ایجاد می شود.$ \Phi = - \frac{GM}{r} $ همچنین $ g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right) $ گرانش در میدان فضا زمان.حال اگر نیرو را خواستید $F = \frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} $و اینم شتاب $ a = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$
بنابراین ، نیروی جاذبه کل بین این دو جسم ، که به عنوان مجموعه ای از اتم های جرم ثابت در نظر گرفته می شود ، باید متناسب با حاصلضرب تعداد اتم های هر جسم باشد. اما ، از آنجا که جرم هر جسم نیز متناسب با تعداد اتمهای موجود در آن است ، بنابراین نتیجه می گیرد که نیروی گرانش بین اجسام نیز باید متناسب با حاصلضرب جرم آنها باشد:$ \begin{aligned}
F &= \sum_{n_1 = 1}^{N_1} \sum_{n_2 = 1}^{N_2} f_0 \\
&= \sum_{n_1 = 1}^{N_1} N_2 \cdot f_0 \\
&= N_1 \cdot N_2 \cdot f_0
\end{aligned} $ درحقیقت یعنی $ F = N_1 \cdot N_2 \cdot f_0 = \frac{M_1}{m_0} \cdot \frac{M_2}{m_0} \cdot f_0 = M_1 \cdot M_2 \cdot \frac{f_0}{m_0^2} $
برای یک ذره باردار میدان ان $ \vec E=\frac{q\vec R}{R^3}\frac{1-\frac{V^2}{c^2}}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{^3/_2}}. $ محاسبه میشه
مرسی بابت پاسخت. اما باید بگم که...
اولاً لازم نبود تعداد اتم ها رو محاسبه کنی، عزیزم! من وقتی گفتم "دو ذره" یعنی جسم نقطه ای که جرم متمرکز و مشخصی داره.(یه جورایی مدل سازی کردم)
دوماً مسئله همین جاست! وقتی این دو ذره رها می شن و به طرف هم سقوط می کنند، فاصله شون کم می شه (۰➡r) در نتیجه شتاب (لحظه‌ای) افزایش پیدا می کنه!(بی نهایت➡a)
حالا سوال اینه که نوع حرکتشون چیه؟( همون طور که گفتم شتاب ثابتی نمی تونه داشته باشه) آیا آهنگ تغیر شتابه؟ یا مرتبه مشتقش از اونم بالاتره؟
smile048 بازم می گم... اگه گنگ صحبت می کنم بگین ها!!! smile142
Young Einstein smile260

انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط انیشتین جوان »

rohamjpl نوشته شده:
دوشنبه ۱۳۹۹/۹/۱۰ - ۱۷:۰۸
انرژی جرمی فضا-زمان را منحنی می کند..جاذبه نیرو نیست ، بلکه انحنای فضا-زمان است که در اثر وجود انرژی جرم ایجاد می شود.$ \Phi = - \frac{GM}{r} $ همچنین $ g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right) $ گرانش در میدان فضا زمان.حال اگر نیرو را خواستید $F = \frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} $و اینم شتاب $ a = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$
این قسمت ها رو می گی که چطور بدست آوردی؟ ضمناً اولش می گی گرانش نیرو نیست ولی باز هم فرمول نیروی گرانشی رو میاری که، دوست عزیز! smile042
آخرین ویرایش توسط DARKENERGY پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۳ - ۰۳:۰۹, ویرایش شده کلا 1 بار
دلیل: ضمناً
Young Einstein smile260

عبدالرضا علي پور

نام: عبدالرضا علي پور

محل اقامت: بوشهر

عضویت : شنبه ۱۳۹۴/۷/۱۸ - ۰۰:۲۷


پست: 823

سپاس: 172

جنسیت:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط عبدالرضا علي پور »

توضیح رهام کامله شما از جرم دو ذره صحبت کردید اونم توضیح داده که در نبود هیچ نیروی خود جرم ذره فضا زمان را خمیده میکند که همین خمدیگی باعث ایجاد نیروی ضعیفی میشود به نام گرانش و این نیروی ضعیف حاصل از جرم دو ذره برهم تاثیر میگذارند تحت عنوان دو نیروی گرانشی که حاصل از جرم ذرات است -- هیچ جرمی نداریم که به اندازه خودش فضا زمان را خمیده نکند حتا ذره

انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط انیشتین جوان »

عبدالرضا علي پور نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۳ - ۱۰:۳۸
توضیح رهام کامله شما از جرم دو ذره صحبت کردید اونم توضیح داده که در نبود هیچ نیروی خود جرم ذره فضا زمان را خمیده میکند که همین خمدیگی باعث ایجاد نیروی ضعیفی میشود به نام گرانش و این نیروی ضعیف حاصل از جرم دو ذره برهم تاثیر میگذارند تحت عنوان دو نیروی گرانشی که حاصل از جرم ذرات است -- هیچ جرمی نداریم که به اندازه خودش فضا زمان را خمیده نکند حتا ذره
حالا بگیم حرف شما درست... اما اون سوال قبلی که کردم رو می تونید جواب بدین یا نه؟ من نوع حرکت رو می خوام. مطمئناً این دو ذره با شتاب ثابت به طرف هم نمی تونند سقوط کنند...
ممنوم می شم، دوستان...😄😄
Young Einstein smile260

عبدالرضا علي پور

نام: عبدالرضا علي پور

محل اقامت: بوشهر

عضویت : شنبه ۱۳۹۴/۷/۱۸ - ۰۰:۲۷


پست: 823

سپاس: 172

جنسیت:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط عبدالرضا علي پور »

انیشتین جوان نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۳ - ۱۵:۱۱
عبدالرضا علي پور نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۳ - ۱۰:۳۸
توضیح رهام کامله شما از جرم دو ذره صحبت کردید اونم توضیح داده که در نبود هیچ نیروی خود جرم ذره فضا زمان را خمیده میکند که همین خمدیگی باعث ایجاد نیروی ضعیفی میشود به نام گرانش و این نیروی ضعیف حاصل از جرم دو ذره برهم تاثیر میگذارند تحت عنوان دو نیروی گرانشی که حاصل از جرم ذرات است -- هیچ جرمی نداریم که به اندازه خودش فضا زمان را خمیده نکند حتا ذره
حالا بگیم حرف شما درست... اما اون سوال قبلی که کردم رو می تونید جواب بدین یا نه؟ من نوع حرکت رو می خوام. مطمئناً این دو ذره با شتاب ثابت به طرف هم نمی تونند سقوط کنند...
ممنوم می شم، دوستان...😄😄
نه دوست گرامی جواب را نمیدونم

انیشتین جوان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۸/۱/۸ - ۱۶:۵۸


پست: 26

سپاس: 5

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط انیشتین جوان »

نه دوست گرامی جواب را نمیدونم
ببخشید! اشتباهی از شما پرسیدم... می خواستم به رهام جان پیام بدم. بازم معذرت😘
Young Einstein smile260

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط rohamjpl »

شما میگید در خلا بدون گرانش .گرانشدر تمام جاها وجود داره و در نزدیک اجرام قوی تر با فاصله نسبت عکس با جرم نسبت مستقیم .
حالا اگر منظور سقوط در نزدیک جرمی که ان جرم در برابر ان ناچیز باشد مانند زمین و اجسام مانند آجر مورد نظر دارای بردار سرعت و متشکل از دو جز است که کاملاً مستقل از یکدیگر هستند:
یک عمودی در برابر:به منظور سادگی ، فرض خواهیم کرد که هیچ نیروی کششی قابل توجهی در جهت y عمل نمی کند.اگر t = 0 لحظه شروع آجر افتادن باشد ،$g=9.81\:\mathrm{ms^{-2}} $که میدونید $ y=\frac12 gt^2$و برای تعداد بالای رینولدز ، آجر یک نیروی افقی را ایجاد می کند که در اثر باد ایجاد می شود ، به عنوان مثال:$F_D=\frac12 \rho u^2C_DA $که درگ را بنویسم $\boxed{x_f\approx \frac{1}{2mg}\rho u^2 C_DAH} $مسافت پیموده شده این میشه.
اگر منظور سقوط $F_g ~=~ G\frac{Mm}{r^2} $ در حد اجرام بزرگ هست ما در جهان کاملی که با شعاع r از هم جدا شده اند ، دارای 2 جرم نقطه ای ، m و M هستیم. با شروع از استراحت ، هر دو سرعت خود را به سمت یکدیگر شروع می کنند. بنابراین ما نیروی جاذبه بین آنها داریم:من باید بتوانیم از صرفه جویی در انرژی برای نوشتن سرعت اجسام به عنوان تابعی از زمان استفاده کنم$\textrm{Energy conservation (KE = PE): } \frac{p^2}{2}\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) = GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) $و همچنین $ \frac{dr}{dt} = -(v + V) = -p\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right)$حفظ حرکت تضمین می کند که اندازه لحظه هر دو توده یکسان است.جایگزینی معادله دوم از اولین معادله ای که می توانید حل کنید:$ \int_0^T dt = -\int_{r_0}^0 dr \sqrt{\frac{rr_0}{2G(M+m)(r_0-r)}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}$
برای کامل بودن ، در اینجا راه حل دیگری وجود دارد معادلات حرکت (از قانون نیوتن 2) به ترتیب دو جرم نقطه m1 و m2 عبارتند از:$G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_1 \ddot{r_1}\Leftrightarrow \ddot{r_1}=G\frac{m_2}{(r_2-r_1)^2} $و $-G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_2 \ddot{r_2}\Leftrightarrow \ddot{r_2}=-G\frac{m_1}{(r_2-r_1)^2} $پس $\ddot{r_2}-\ddot{r_1}=\frac{\mathbb{d}^2}{\mathbb{d}t}(r_2-r_1)=-G\frac{m_1+m_2}{(r_2-r_1)^2} $و با داشتن r = r2 − r1 در نهایت معادله دیفرانسیل غیر خطی مرتبه دوم زیر را بدست می آوریم:$ \ddot{r}r^2+G(m_1+m_2)=0$
وظیفه مشابه: جسمی با سرعت فرار از ارتفاع R مستقیماً به بالا پرتاب می شود. چه مدت طول می کشد تا جسم به ارتفاع h برسد؟در اینجا $\large v=\frac{dr}{dt} $و $\large dt= \frac{1}{v}dr $خوب داریم $\large \frac{1}{v_e} = \sqrt{\frac{r}{2GM}} $پس $ \large T=\int\limits_R^h \sqrt{\frac{r}{2GM}}dr=\frac{2}{3}(h^{3/2}-R^{3/2})\frac{1}{\sqrt{2GM}}=\large \frac{2}{3}\Big(\frac{h}{v_{eh}}-\frac{R}{v_{eR}}\Big)$ بدست میاد
حال سوال اصلی
اگر کسی بتواند یک آسانسور آزادانه در حال سقوط بر روی زمین ، در مقابل یک سفینه فضایی را که در فضای خالی در حال پرواز است ، تصور کند ، دو ذره آزمایش در واقع احساس یک جاذبه جانبی جزئی می کنند که ناشی از تأثیر میدان گرانشی زمین بر مسیر حرکت ذرات است.
سقوط آزادانه اگر شما از زمین در خارج از آسانسور اطلاعی نداشتید ، جذب دو ذره آزمایش را با یک نیروی جاذبه بین ذرات برابر می کردید.
به همین ترتیب اگر در موشک بودید و هیچ شناختی از جهان خارج نداشتید و دو ذره داشتید که به سمت یکدیگر جذب می شدند ، ممکن است فکر کنید که آنها در واقع تحت تأثیر جسم سوم عظیمی که خارج از سفینه فضایی است در حال حرکت هستند. روی ذرات در امتداد دو مسیر مختلف
از آنجا که تشخیص تفاوت غیرممکن است ، باید نتیجه بگیرید که بین این دو چارچوب مرجع یک برابری وجود دارد.
به همین ترتیب ، اگر کاملاً نیروی قابل اندازه گیری در داخل آسانسور آزادانه در حال سقوط وجود نداشته باشد ، فضا زمان مشابهی خواهد داشت که در نسبیت خاص استفاده می شود.
آیا در اینجا لازم است که تأثیر گرانشی توپ قرمز بزرگ در حجم آزمایشی فضایی غیر صفر توسط یک میدان گرانشی همگن / ​​ثابت قابل بیان باشد؟ یعنی میدان گرانشی توپ قرمز در مکعب چقدر تغییر می کند؟ آیا اثر حتی می تواند به دو جهت مخالف باشد؟ -تصویر
اما نمی توانید جاذبه ای را که بین توپ های آبی و سبز مشاهده می شود به نیروی جاذبه ای که توسط توپ آبی به یک گل سبز وارد می شود یا برعکس در نظر بگیرید. این بدان دلیل است که اگر مقصر نیروی جاذبه ای باشد که توپ آبی به یک گل سبز وارد می کند (یا بالعکس) ، این به جرم توپ های سبز و آبی بستگی دارد ، اما توپ های سبز و آبی فقط مسیر ژئودزیک را دنبال می کنند زمین و توده توپ و آبی مهم نیست ، آنها همیشه یک مسیر را دنبال می کنند و بنابراین همیشه با همان سرعت در کنار هم قرار می گیرند. - تصویر
بگویید دو اتاق یکسان و بدون پنجره وجود دارد ، یکی روی زمین و دیگری روی یک سفینه فضایی با سرعت 9.8 متر بر ثانیه ^ 2 (شتاب ناشی از جاذبه زمین) شما در یکی از آنها هستید و می توانید هر آزمایش مکانیکی را که دوست دارید انجام دهید به شرطی که به هیچ وجه به شکل و فرم بیرون زدن در اتاق نباشد.
متأسفانه هر آنچه را که امتحان کنید نمی توانید تعیین کنید که در کدام اتاق قرار دارید زیرا آزمایشات در هر دو اتاق نتایج یکسانی به همراه خواهد داشت.
با این حال یک اتاق شتاب گرانشی و دیگری شتاب اینرسی را تجربه می کند. اصل معادل سازی به ما می گوید که این دو چیز برابر هستند ، یا همانطور که انیشتین گفت: "نتیجه هر آزمایش محلی غیر گرانشی در یک آزمایشگاه که به طور آزاد سقوط می کند ، مستقل از سرعت آزمایشگاه و مکان آن در زمان-زمان است."
اصل معادل سازی به این معنی است که شما به صورت محلی نمی توانید بفهمید که آیا در یک قاب آزادانه در حال سقوط هستید یا در "فضای بیرونی" ، یعنی در منطقه ای از فضا بدون میدان گرانشی. این نسخه EEP است. نسخه دیگری نیز وجود دارد ، یعنی WEP که می گوید جرم اینرسی همان جرم جاذبه است. این بدان معناست که هنگام ایستادن بر روی زمین ، نیرویی که تجربه می کنید متناسب با جرم گرانشی شما است ، همان جرمی که در قانون دوم نیوتن اعمال می کنید. بنابراین ، اگر در موشکی باشید که شتاب ان 1g است ، همان نیرو را تجربه خواهید کرد. اکنون ، از WEP می بینید که اگر یک توپ را به سمت بالا پرتاب کنید ، مسیری که دنبال می شود در زمین و موشک یکسان خواهد بود. بنابراین می توانیم WEP را از نظر سقوط آزادانه اشیا دوباره تنظیم کنیم: به صورت محلی ،حرکت ذرات در حال سقوط آزادانه در یک قاب شتاب یکنواخت و در یک میدان گرانشی یکسان است. البته ، WEP به معنای EEP نیست زیرا در SR جرم منحصر به فرد نیست. اما به راحتی می توان دریافت که با تحمیل SR در حرکت اجسام می توانید آن را تعمیم دهید. با این حال ، EEP از این لحاظ قویتر است که نه تنها مسیرها بلکه تمام قوانین فیزیک یکسان هستند. این اساس QFT است.
در نسبیت عام ، می توانید بگویید که EEP به معنای WEP است. اما در واقع ، این اصل به نظریه خاصی اشاره نمی کند. بنابراین می توانید تئوری گرانش (نه GR) را تصور کنید که در آن ذرات در حال سقوط آزادانه هنگامی که در یک میدان جاذبه قرار دارند می چرخند ، اما دقیقاً همان مسیر را دنبال می کنند. بنابراین ، نقض EEP اما نه WEP. این نظریه ای نیست که ما تجربه می کنیم ، اما هیچ چیز منع این نوع نظریه ها را ندارد. -
روشی که برای من منطقی است این است که اگر شما یک پرتوی نور را از طریق اتاقی در داخل یک موشک شتاب دهنده شلیک کنید ، پرتو در فاصله ای (نسبت به اتاق) سقوط می کند. بنابراین در زمین پرتوی نور نیز باید سقوط کند (به ظاهر "به دلیل گرانش") ، در غیر این صورت شما می دانید که در کشتی هستید یا بر اساس سقوط یا افت نور نیستید. و تصور می کنم نوعی پیامد جسمی برای آن به وجود بیاید. به نظر می رسد
من مطمئن نیستم که OP از پاسخ های قبلی راضی بوده است یا خیر ، اما احساس می کنم چیزی وجود دارد که حداقل به روشی که سوال از آن خواسته ، پاسخ داده نشده است. دلیل اینکه هم ارزی بین یک سیستم سقوط آزاد و یک قاب استراحت با نسبیت خاص نشان دهنده برابری بین آزمایشگاه روی زمین و یک موشک است که سرعت آن 1g است این است:
1) اول ، توجه داشته باشید که آزمایشگاه در زمین همان سیستم سقوط آزاد نیست ، اگرچه هر دو احساس گرانش می کنند. آزمایشگاه (یا فقط آسانسور) روی زمین به معنای نشان دادن سیستمی است که گرانش را احساس می کند اما جای خود را نسبت به نیروی دیگر ، یعنی عادی موجود در زمین یا کشش در آسانسور ، حفظ می کند.
2) فرض کنید معادل اول درست باشد: سیستم سقوط آزاد برابر است با سیستم استراحت در رابطه خاص. عالی ، چگونه می توانیم به معادل دوم برسیم؟
3) به سیستم سقوط آزاد نیرویی به سمت بالا اضافه کنید ، یعنی یک کشش را که به سمت بالا است به آسانسور سقوط آزاد اضافه کنید و یک آسانسور در زمین آویزان خواهید کرد.
4) مطابق معادل اول ، اگر سیستم سقوط آزاد همان قاب استراحت باشد ، سیستم سقوط آزاد بعلاوه نیرویی که در برابر گرانش عمل می کند باید همان قاب استراحت با همان نیروی اعمال شده باشد.
5) بنابراین ، آسانسوری که در زمین آویزان است ، همان احساس آسانسوری است که نیرویی را به سمت بالا و بدون گرانش احساس می کند.
این روش منطقی برای رفتن از معادل اول به حالت دوم است ، فقط تنش را در آسانسور اضافه کنید تا از "سیستم سقوط آزاد" به "آزمایشگاه روی زمین" بروید تا قسمت دوم معادل از "قاب استراحت" باشد از نسبیت خاص "به" موشک با سرعت 1 g به سمت بالا می رود ".
تصویر

نمایه کاربر
ماشین زمان

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۸ - ۲۱:۵۳


پست: 39

سپاس: 6

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط ماشین زمان »

rohamjpl نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۸ - ۱۲:۲۷
شما میگید در خلا بدون گرانش .گرانشدر تمام جاها وجود داره و در نزدیک اجرام قوی تر با فاصله نسبت عکس با جرم نسبت مستقیم .
smile028 رهام جان، وقتی می گم بدون گرانش یعنی این که گرانش اجسام دیگر دخالتی نداشته باشند؛ در حالیکه جاذبه دو ذره رو به حساب می آوریم(سیستم منزوی باشه). در کل، دو ذره با جرم و فاصله مشخص از هم داریم؛ وقتی اونا رو رها می کنیم تا به طرف سقوط کنن، با چه نوع حرکتی به طرف هم سقوط می کنن؟ با سرعت ثابت؟( این یکی که تابلوه که نمی شه) با شتاب ثابت؟( اینم که معلومه، چون هرچی به طرف هم نزدیک می شن شتاب لحظه ای شون افزایش پیدا می کنه) یا با جرک؟ (البته ما شتاب یا سرعت لحظه ای رو داریم! ولی منظورم یک نوع حرکتی _ مشتق n ام مکان نسبت به زمان _ باشه که ثابت باشه! اگه نباشه پس حداق می تونی نمودار حرکتشون در «فضا_زمان» کنی؟ please!!!) smile017 smile017 smile155
smile028 برای تمام زمان های آینده فقط می گم «بزودی»!

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط rohamjpl »

شما دو تا ذره دارید میخواهید ببینید کی به هم میرسند تحت گرانش خودشان درسته تنها راه همین هست دیگه با قانون پایستگی انرژی $ \textrm{Energy conservation (KE = PE): } \frac{p^2}{2}\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) = GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right)$و $ \frac{dr}{dt} = -(v + V) = -p\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right)$ با توجه به بقای مومنتوم $\int_0^T dt = -\int_{r_0}^0 dr \sqrt{\frac{rr_0}{2G(M+m)(r_0-r)}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}} $ اینم جواب شما
یکی از توده ها - مثلاً m1 - را به عنوان مبدا یک قاب مرجع انتخاب کنید. هدف توصیف موقعیت جرم دیگر (متر مربع) به عنوان تابعی از زمان است. محور x قاب ما را به سمت جرم m2 نشان می دهد و x را به عنوان فاصله بین دو جرم نشان می دهد. معادله حرکت در این قاب شتاب دهنده است شتاب حاصله $ G\frac{m_1+ m_2}{(x)^2}=m_1 \ddot{r_1}\Leftrightarrow \ddot{r_1}=G\frac{m_2+m_1}{(x)^2}$
وبگویید ، دو جرم جرم M و m در خلا در حالت استراحت قرار می گیرند ، فاصله R از یکدیگر و تنها نیروهای وارد بر آنها نیروهای جاذبه یکدیگر هستند. اگر آنها شروع به شتاب گرفتن به سمت یکدیگر کنند ، چه مدت طول می کشد تا آنها با هم برخورد کنند؟$ t = ____√(2R^3)____
3∙√(G(M+m)) $ جواب تقریبی
آخرین ویرایش توسط rohamjpl شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۰ - ۱۳:۱۹, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
ماشین زمان

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۸ - ۲۱:۵۳


پست: 39

سپاس: 6

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط ماشین زمان »

rohamjpl نوشته شده:
شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۰ - ۱۱:۴۱
شما دو تا ذره دارید میخواهید ببینید کی به هم میرسند تحت گرانش خودشان درسته تنها راه همین هست دیگه با قانون پایستگی انرژی $ \textrm{Energy conservation (KE = PE): } \frac{p^2}{2}\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) = GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right)$و $ \frac{dr}{dt} = -(v + V) = -p\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right)$ با توجه به بقای مومنتوم $\int_0^T dt = -\int_{r_0}^0 dr \sqrt{\frac{rr_0}{2G(M+m)(r_0-r)}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}} $ اینم جواب شما
یکی از توده ها - مثلاً m1 - را به عنوان مبدا یک قاب مرجع انتخاب کنید. هدف توصیف موقعیت جرم دیگر (متر مربع) به عنوان تابعی از زمان است. محور x قاب ما را به سمت جرم m2 نشان می دهد و x را به عنوان فاصله بین دو جرم نشان می دهد. معادله حرکت در این قاب شتاب دهنده است شتاب حاصله $ G\frac{m_1+ m_2}{(x)^2}=m_1 \ddot{r_1}\Leftrightarrow \ddot{r_1}=G\frac{m_2+m_1}{(x)^2}$
و
smile028 آهان!! حالا شد یه چیزی! دستت درد نکنه smile200
smile028 برای تمام زمان های آینده فقط می گم «بزودی»!

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 324

سپاس: 163

جنسیت:

تماس:

Re: سقوط به طرف هم!

پست توسط rohamjpl »

یک روش ساده هم دارم $ \large a = G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{r^2}}}.$ من شتاب اینجا محاسبه میکنم و نیروی جاذبه گرانشی، یک نیروی مرکزی است، یعنی در جهت خطی است که مراکز جسم‌ها را به یکدیگر متصل می‌کند.در سیستمی با دو جسم نیروی جاذبه F12 جسم دوم، بر جسم جسم اول به جرم m1 اعمال می‌شود. به‌طور مشابه، نیروی جاذبه F21 جسم اول، روی جسم دوم به جرم m2 تأثیر ی‌گذارد. دو نیروی F12 و F۲۱، برابر و در جهت r هستند پس $\large {{m_1}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt
{{m_2}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}} $یا $\large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt
{\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.} $از طرفی میدونم $\large \mathbf{r} = {\mathbf{r}_2} – {\mathbf{r}_1}. $ که نهایتا من به رابطه $ \large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} – \frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} }={ G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r} + G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = -G\frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.}$در واقع من تغییرات بردار $\mathbf{r}\left( t \right) $ ، یعنی حرکت نسبی دو جسمِ تحت تأثیرِ نیروی جاذبه گرانشی را توصیف می‌کنم.اگه اختلاف جرم خیلی باشه خوب میتونم بگم $ \large \frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{M_\text{S}}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}$ تعامل گرانشی اجسام، در یک میدان گرانشی رخ می‌دهد که آن را با پتانسیل اسکالر φ توصیف می‌کنیم. کنش نیرو بر جسمی به جرم m در یک میدان با پتانسیل φ، برابر است با:$\large {\mathbf{F} = m\mathbf{a} }={ – m\,\mathbf{\text{grad}}\,\varphi .} $که به $\large \varphi = – \frac{{GM}}{r}. $ میرسیم .
روش ساده و تقریب اون این هست که $r=-\frac{1}{2}at^{2} $ خوب شما شتاب محاسبه شده از $ \large a = G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{r^2}}}$را جایگرین کن و زمان سقوط محاسبه کنید و همچنین سرعت سقوط را$v=-at{} $اما روش دقیق اون برات مینویسم معادله دیفرانسیل شتاب میدونی که $ \large {\overrightarrow{a} = \frac { \overrightarrow { F } } { m } \; \; \text{,}\;\;}\kern-0.3pt{\overrightarrow{F} = m \overrightarrow { a } = m\frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow{r } } }{ { d { t ^ 2} } } }$ هست من قانون دوم اینطور مینویسم $ \large m \frac{{ { d^2 }x } }{{d { t^ 2 }} } = F \left( t \right)$برحسب مومنتوم $ \large \overrightarrow { F } = \frac { { d \overrightarrow {p}}} { { d t } }$ محاسبه کردم که به $\large { v \left( t \right) }={ {v_0} + \frac {1} { m }\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)d\tau } } $ میرسماگه دوباره انتگرال بگیرم به $ \large x \left ( t \right ) = { x _ 0 } + \int \limits _ 0 ^ t { v \left ( \tau \right ) d \tau }$ میرسم در رابطه فوق $x_0 $ مکان اولیه بردار جابجایی و $τ
$ متغیر انتگرال‌گیری است حالا من جرم دوم کم و ناچیز فرض کنم و جرم اولی بزرگ باشه زمان سقوط و سرعت محاسبه کنم /یک جسم کیهانی، متأثر از نیروی جاذبه گرانشی، از حالت سکون به سمت جرم بزرگی شروع به سقوط می‌کند. فاصله اولیه این جسم با مرکز جرم برابر r هست خوب بازم معادلات دیفرانسیل $ \large \frac{{{d^2}r}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{M_\text{E}}}}{{{r^2}}}$ من معادله مرتبه دوم دارم که به مرتبه اول تبدیل میکنم $ \large {\frac{{{d^2}r}}{{d{t^2}}} = \frac{{dv}}{{dt}} }={ \frac{{dv}}{{dr}}\frac{{dr}}{{dt}} }={ v\frac{{dv}}{{dr}},}$ اینم نتیجه $ \large v\frac{{dv}}{{dr}} = – G\frac{{{M_\text{E}}}}{{{r^2}}}.$
خوب حلش میکنم $ \large {vdv = – G{M_\text{E}}\frac{{dr}}{{{r^2}}},\;\;}\Rightarrow
{\int {vdv} = – G{M_\text{E}}\int {\frac{{dr}}{{{r^2}}}} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\frac{{{v^2}}}{2} = \frac{{G{M_\text{E}}}}{r} + {C_1},\;\;}\Rightarrow
{v = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{r} + {C_1}} .}$که مقدار$ \large {0 = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{L} + {C_1}} ,\;\;}\Rightarrow
{{C_1} = – \frac{{2G{M_\text{E}}}}{L},\;\;}\\ \large \Rightarrow
{v = \sqrt {2G{M_\text{E}}\left( {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} \right)} .}$ محاسبه شد همون سرعت فرار گرانشیو زمان سقوط هم $\large {\frac{{dr}}{{dt}} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2a} \sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\frac{{dr}}{{\sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} }} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2g} dt,} $ خوب حالا باید تغییر متغییر بدهم و من میدونم که در آن، فاصله r از L تا RE شعاع جرم بزرگ
تغییر می‌کند$\large {\frac{1}{r} – \frac{1}{L} = {z^2},\;\;}\Rightarrow
{\frac{1}{r} = {z^2} + \frac{1}{L},\;\;}\\ \large \Rightarrow
{ – \frac{1}{{{r^2}}}dr = 2zdz,\;\;}\Rightarrow
{\frac{1}{{{r^2}}}dr = – 2zdz,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)^2}dr = – 2zdz,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{dr = – \frac{{2zdz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}}}.} $
که به $\large {{- \frac{{2zdz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}z}} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2a} dt,\;\;}}\\ \large \Rightarrow
{{2\int {\frac{{dz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}}}} }={ {R_\text{E}}\sqrt {2a} t + C.}} $ خوب حالا ساده شد $\large {{{R_\text{E}}\sqrt L \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }+{ {L^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }={ {R_\text{E}}\sqrt {2a} T,\;\;}}\\ \large \Rightarrow
{{ T = \frac {1}{{R_\text{E}}\sqrt {2a}}\cdot }\kern0pt{ {\left[{ {R_\text{E}}\sqrt L \sqrt{\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right.}+{\left.{ {L^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right]}. }} $ که ساده شده ان $ \large {T = \sqrt {\frac{L}{{2a}}} \left[ {\sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right.}+{\left.{ \frac{L}{{{R_\text{E}}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} } \right].}$ میشه خوب دقت کنید در حالتی که نسبت ${\large\frac{L}{{{R_\text{E}}}}\normalsize} $ بسیار بزرگ باشد (در این حالت، تابع arctan به $ \large\frac{\pi }{2}\normalsize$
میل می‌کند)، عبارت ساده زیر را داریم $ \large {T \approx\;}\kern0pt{ \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{L}{{2a}}} \frac{L}{{{R_\text{E}}}} } $ حالا به جای a مقدار $ \large a = G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{r^2}}}$ قرار بده میینی فرمول همون اول که دادم محاسبه میشه اینم اثبات انچه برات قبلا گفتم$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}} $ میرسید.اگر همین سقوط در سیال باشه خوب میشه من نیروی درگ براورد کنم $\large \overrightarrow { F } = – k \overrightarrow{v} $و نیروی جهانی گرانشی $ F = – G \large \frac { { { m _1 }{m_ 2} } } { {{ x ^ 2 } } } \normalsize$ که باز مانند روش قبل عمل میکنم $\large m \frac { { { d ^ 2 } x }} {{d {t ^ 2 }}} = m \frac { { d v } } { { d t }} = – k v $ که به رابطه زیر میرسم $ \large { \frac{{ d v } }{ v} = – \frac { k } { m } d t \;\;}\Rightarrow { \int \limits_{{ v _0 } } ^v { \frac{{ d u } }{ u } } = – \frac { k} { m}\int\limits_0^t { d \tau } }$ توجه کنید شما سرعت که قبلا محاسبه شده به عنوان سرعت اولیه اینجا بزار $ \large \begin{align*} { \ln v – \ln { v _ 0 } = – \frac { k }{ m } t \;\;}\Rightarrow
{\ln \frac{v}{{{v_0}}} = – \frac { k } { m } t \;\;}\Rightarrow
{ v \left( t \right) = { v _ 0} { e ^{ – {\large\frac { k } { m } \normalsize}t}} } \end{align*}$ ببینید ساده هست ، جهت مثبت محور x را به سمت پایین در نظر بگیرید. به جسم دو نیروی Ma در جهت محور
x و kv در خلاف جهت جسم وارد می‌شود. بنابراین قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت زیر نوشت:$ \large m \frac { { {d ^ 2 } x}} { { d { t ^ 2} } } = m a – k \frac { {d x } } { { d t } }$ میدانید که $\large { a = \frac { {d v } } { {d t } } = \frac { { d v } } { {d x } } \frac { { d x} } {{ dt } } }={ v\frac { { d v } } { { d x } } } $زیرا در رابطه فوق M جرم جسمی است که دیگر اشیا را به سمت خود جذب می‌کند (برای نمونه زمین یا خورشید). هم‌چنین G، ثابت جهانی گرانش است. در حالتی که نیرو وابسته به مختصات است، نیرو را می‌توان به صورت زیر بدست آورد $ \large { m \frac {{ {d ^ 2} x }} { { d{ t ^2 } } } = m\frac{{dv}}{{dt}} }={ mv\frac {{ d v } } { {d x } } }={ F\left( x \right) }$ که میشه گفت $\large { m \frac { { d v } } { { d t } } = m a – k v \;\; } \Rightarrow { \frac { {d v } }{ { d t } } = a – \frac { k } { m } v } $ ;که من $\large { \frac { { dv }} { { a – \frac { k }{ m } v} } = d t } \Rightarrow { \int \limits _ 0 ^ v { \frac { {d u } } {{ a – \frac { k }{ m } u } } } = t } $ که به رابطه زیر میرسم $\large \begin {align*} – \frac{m}{k}\int\limits _ 0 ^ v { \frac{{d\left( {a – \frac{k}{m}u} \right)}}{{a – \frac{k}{m}u}}} & = t \;\; \\ & \Rightarrow { – \frac{m}{k}\left. {\left[ {\ln \left( {a – \frac{k}{m}u} \right)} \right]} \right|_0^v = t \;\;} \\ & \Rightarrow {\ln \frac{{a – \frac { k } { m } u}} { a} = – \frac{k}{m}t \;\;} \\ & \Rightarrow { \ln \left( {1 – \frac{k}{{mg}}v} \right) = – \frac{k}{m}t \;\;} \\ & \Rightarrow { 1 – \frac{k}{{ma}}v = { e ^ { – {\large\frac{k}{m}\normalsize} t}} \;\;}\\ & \Rightarrow {\frac {k } {{ m a } } v = 1 – {e^{ – {\large\frac{k}{m}\normalsize} t}} \;\;} \\ & \Rightarrow {v\left( t \right ) = \frac { {m a } } {k } \left( {1 – {e^{ – { \large \frac { k } {m } \normalsize } t } } } \right) } \end {align*} $با انتگرال‌گیری دوباره از رابطه فوق، معادله حرکت جسم به صورت زیر بدست می‌آید.$ \large \begin {align*} { x \left( t \right) } & = { \frac {{ m a }} { k } \int \limits _ 0 ^ t { \left ( { 1 – {e^{ –{\large\frac{k}{m}\normalsize} \tau }}} \right)d\tau } } \\ & = { \frac{ { ma } } { k }\left[ { \left( {t + \frac { m } { k } { e ^ { – {\large\frac { k } {m }\normalsize} t } } } \right) }\right.}-{\left.{ \left( {0 + \frac { m } { k} { e ^ { – {\large\frac{k}{m}\normalsize}0}}} \right)} \right] } \\ & = {\frac {{ ma} } { k } \left[ {t – \frac{m}{k}\left( {1 – {e^{ – {\large\frac { k } { m } \normalsize} t } } } \right ) } \right] } \end {align*}$
فرض کنید که جسم در زمان t=T به زمین برسد. بدیهی است که در این بازه زمانی جسم مسافتی برابر با x=H را طی می‌کند. بنابراین با قرار دادن x=H در رابطه فوق، معادله T به صورت زیر بدست می‌آید.$ \large { H } = { \frac { { m a} } { k } \left [ { T – \frac { m } {k } \left ( { 1 – { e ^ { – { \large \frac { k } { m} \normalsize } T } } } \right ) } \right] }$ دقت کنید شما شتاب محاسبه شده را بزار اگه T خیلی بزرگ باشه با تقریب میشه گفت $\large { H \approx \frac { { m a }} { k }\left( {T – \frac{m}{k}} \right)\;\;}\kern-0.3pt{\Rightarrow \; \; T \left( H \right) \approx \frac { { k H } } { { ma } } + \frac { m } { k } } $
تصویر

ارسال پست