بزار از اینجا بگم اندازه حرکت $p=\frac{E}{c} $ رابطه اول $ \begin{equation}
dm=\rho_{\ell} dx=\dfrac{f}{c^{2}}dx \Longrightarrow
\nonumber
\end{equation} $که میشه $ \begin{equation}
m\left(x\right)=m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x
\tag{01}
\end{equation} $سپس $ \begin{equation}
f=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d\left(m\upsilon\right)}{dt}=m\dfrac{d\upsilon}{dt}+\upsilon\dfrac{dm}{dt}
\tag{02}
\end{equation}$جسمی که در ابتدا در حالت استراحت است تحت تأثیر یک نیروی ثابت بر روی یک سطح بدون اصطکاک در حال حرکت است ، . همانطور که در حال حرکت است ، مواد را از یک خط مستقیم بالای خود حمل می کند. خط مستقیم دارای یک چگالی جرم خطی ثابت است ، جایی که مقدار نیروی ثابت و کمی با ابعاد سرعت.$ \begin{align*}
fdx & =\left( m\dfrac{d\upsilon}{dt}+\upsilon\dfrac{dm}{dt}\right)\upsilon dt=m\upsilon d\upsilon +\upsilon^{2}dm =\dfrac{1}{2}md\upsilon^{2}+\upsilon^{2}\dfrac{f}{c^{2}}dx\\
& =\dfrac{1}{2}\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right) d\upsilon^{2}+\upsilon^{2}\dfrac{f}{c^{2}}dx
\end{align*}$میرسم به $ \begin{equation*}
\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)fdx = \dfrac{1}{2}\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)d\upsilon^{2}
\end{equation*} $و حالا $\begin{equation*}
\dfrac{fdx}{\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d\upsilon^{2}}{\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)}\:\Longrightarrow \: \dfrac{fdx}{\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d\upsilon^{2}}{\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)}
\end{equation*} $حالا رابطه سوم $ \begin{equation}
\dfrac{d\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)}{\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)} =\;-\; \dfrac{1}{2}\dfrac{d\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)}
\tag{03}
\end{equation} $که دارم $\begin{equation}
\dfrac{dx}{x}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dx^{2}}{x^{2}}
\nonumber
\end{equation} $با رابطه سوم $\begin{equation}
\dfrac{d\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)}{\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)} =\;-\; \dfrac{1}{4}\dfrac{d\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{2}}{\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{2}}
\nonumber
\end{equation} $بعد انتگرال گیری $ \begin{equation}
\ln\left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right) =\;-\; \dfrac{1}{2}\ln\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)+C\:\Longrightarrow \: \left(m_{o}+\dfrac{f}{c^{2}}x\right)=C\cdot\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}
\nonumber
\end{equation}$به رابطه چهارم $\begin{equation}
x\left(\upsilon\right)=\dfrac{m_{o}c^{2}}{f}\left( \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}-1\right)
\tag{04}
\end{equation} $با رابطه معروف $\begin{equation}
\bbox[#FFFF88,5px,border:1px solid black]{
m\left(\upsilon\right)=\dfrac{m_{o}}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}}
\tag{05}
\end{equation} $به رابطه $\begin{equation}
\left(\dfrac{\upsilon}{c}\right)^{2} = 1-\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{f}{m_{o}c^{2}}x\right)^{2}}
\tag{06}
\end{equation} $حالا به رابطه $ \begin{equation}
\upsilon\left(x\right) = c \sqrt{1-\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{f}{m_{o}c^{2}}x\right)^{2}}}
\tag{07}
\end{equation}$به رابطه 8 $\begin{equation}
\dfrac{dx}{dt} = \upsilon = c \sqrt{1-\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{f}{m_{o}c^{2}}x\right)^{2}}}
\tag{08}
\end{equation} $و تغییر متغییر x به y دارم $ \begin{equation}
y=1+\dfrac{f}{m_{o}c^{2}}x
\tag{09}
\end{equation} $و به $ \begin{equation*}
dx =\dfrac{m_{o}c^{2}}{f}dy \quad \text{and} \quad y>1
\end{equation*} $از رابطه8 دارم $ \begin{equation*}
\dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}dy =\dfrac{f}{m_{o}c}dt
\end{equation*}$به رابطه 10 میرسم $ \begin{equation}
d\left(\sqrt{y^2-1}\right) =\dfrac{f}{m_{o}c}dt \:\Longrightarrow \: y^2 =\left[ \left(\dfrac{f}{m_{o}c}\right)t + \text{constant}\right]^{2} +1
\tag{10}
\end{equation} $و رابطه 11 که $\begin{equation}
x\left(t\right)=c \left[\sqrt{t^2+\left(\dfrac{m_{o}c}{f}\right)^{2}}-\left(\dfrac{m_{o}c}{f}\right)\right]
\tag{11}
\end{equation} $و رابطه بعدی $ \begin{equation}
\upsilon\left(t\right)=c \sqrt{1-\dfrac{1}{\left(\dfrac{f}{m_{o}c}t\right)^2+1}}
\tag{12}
\end{equation}$به رابطه کلی $\begin{equation}
m\left(t\right)=\sqrt{m_{o}^{2}+\left(\dfrac{f t}{c}\right)^{2}}
\tag{13}
\end{equation} $میرسیم حالا میدانی $ \begin{equation}
\lim_{t\rightarrow +\infty}x\left(t\right) = +\infty
\tag{14}
\end{equation}$و همچنین $\begin{equation}
\bbox[#FFFF88,5px,border:1px solid black]{
\lim_{t\rightarrow +\infty}\upsilon\left(t\right) = c \;,\quad \upsilon\left(t\right) < c}
\tag{15}
\end{equation} $و در نهایت $ \begin{equation}
\lim_{t\rightarrow +\infty}m\left(t\right) = +\infty
\tag{16}
\end{equation}$ مفهوم این نیرو نمی تواند سرعت ذره را بیشتر از این کند که کار آن به طور مداوم به عنوان جرم (اینرسی) به این ذره برمی گردد.