گردش اجرام و فضا به دور خورشید

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
عبدالرضا علي پور

نام: عبدالرضا علي پور

محل اقامت: بوشهر

عضویت : شنبه ۱۳۹۴/۷/۱۸ - ۰۰:۲۷


پست: 823

سپاس: 172

جنسیت:

گردش اجرام و فضا به دور خورشید

پست توسط عبدالرضا علي پور »

شما به این موضوع چطوری نگاه میکنید ؟ اینکه بخواد اجرام تو منظومه خورشیدی به همراه فضا با هم بدور خورشید بچرخد -- با اینکه اجرام بچرخند تحت تاثیر خورشید و فضا جا بماند با هم تفاوت دارند --- یک حالت دیگه هم میتونه باشه که این اجرام و فضا یی که تحت تاثیر جاذبه خورشید است به طور نسبی به دور خورشید بچرخند یعنی هر جرمی به نسبت بزرگای خود به نسبت فضا سرعت چرخش متفاوتی به نسبت فضا داشته باشد به دور خورشید --- به هر حال همینکه خورشید در زمان ایجاد و دیسکی بودن نمیتونسته تا برد زیادی از فضا را تحت تاثیر خودش قرار بده باعث شده تا یک محدوده به نام منظومه را شکل بده -- و اون چیزی که از ایجاد خورشید تحت تاثیر قرار گرفته همون فضای اطراف خودش بوده -- اگر غیر از این بود خورشید می بایست تا بی نهایت فضا را تحت تاثیر خودش قرار بده و همه منظومه ها در هم برفتند ولی هر منظومه ای یک محدوده ای از فضا را به خود اختصاص داده پس این فضا به اون خورشید وابسته و مقید است نظر خودتون را بنویسید و دلایل قوی ارایه بدهید
(کلا ما میتونیم دو جور به این موضوع نگاه کنیم -- در یک حالت فضا را به عنوان یک سیال بپذیریم و بهش جرم بدیم --- و در یک حالت دیگه به عنوان هیچ در نظر بگیریم ) شما با کدام حالتش موافق هستید ؟)

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 421

سپاس: 202

جنسیت:

تماس:

Re: گردش اجرام وفضا به دور خورشید

پست توسط rohamjpl »

گرانش برد بینهایت دارد و با مجذور فاصله نسبت عکس دارد.و با جرم نسبت مستقیم .انیشتین در این دو تئوری بیان کرد که انرژی و ماده می‌توانند صفحه فضا-زمان را خم کنند. این خمیدگی منجر به حرکت کردن اجسام به سمت یکدیگر می‌شود.$ \large F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}. $و شتاب گرانشی نسبت به فاصبله $g = {\large\frac{{G{M_\text{E}}}}{{R_\text{E}^2}}\normalsize} $
ی یابد.
اما البرت انیشتین گرانش را افزایش پدیده ای به دلیل خمیدگی انحنای انعطاف پذیر فضا-زمان توصیف کرد. این بدان معنی است که هر اثر گرانش به دلیل خم شدن فضا-زمان است و بسته به جرم جسم تغییر خواهد میکند من مثالی میزنم
یک ورق بزرگ مربع انعطاف پذیر لاستیکی بردارید و از 4 نفر بخواهید که آن را از هر گوشه بکشند. ورق انعطاف پذیر است بنابراین کمی فشار می آورد. حالا اگر وزنی روی وسط ورق قرار دهید خم می شود. بسته به جرمی که داده ایم ، یک هندسه خم کامل ایجاد خواهد شد. جرم بیشتر ، خم شدن بیشتر خواهد بود. حال اگر یک گلوله کوچک و کوچک گرد بگیرید و به دور توده حرکت کنید ، آنها در بخشهای مختلف مخروطی ، بخصوص در بیضی و دایره حرکت می کنند. اکمی در درک جاذبه انیشتن کمک میکنه.خوب حالانکته مهم این است که اثر متقابل گرانش ، یعنی اثر خم شدن فضا-زمان نمی تواند سریعتر از سرعت نور حرکت کند. بنابراین اگر سن خورشید را دقیقاً 4.603 میلیارد سال در نظر بگیریم ، تأثیر متقابل گرانش آن حداکثر تا 4.603 میلیارد سال نوری خواهد داشت.در کل گرانش یک نیروی برد بلند است. مقدار آن در فاصله بینهایت به 0 همگرا است
تصویر

عبدالرضا علي پور

نام: عبدالرضا علي پور

محل اقامت: بوشهر

عضویت : شنبه ۱۳۹۴/۷/۱۸ - ۰۰:۲۷


پست: 823

سپاس: 172

جنسیت:

Re: گردش اجرام و فضا به دور خورشید

پست توسط عبدالرضا علي پور »

آخرش چه میشه ؟ فضا ی منظومه به خورشیدش مقید است یا نیست ؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 421

سپاس: 202

جنسیت:

تماس:

Re: گردش اجرام و فضا به دور خورشید

پست توسط rohamjpl »

چه زمانی هر هشت سیاره منظومه شمسی ما تراز می شوندبا نادیده گرفتن انبساط جهان ، آنتروپی ، مدارهای در حال تنزل و تداخل از هر جسمی که با مدار آنها برخورد کند و یا در غیر این صورت تداخل ایجاد کند ، آیا هشت سیاره شناخته شده در منظومه شمسی هرگز همسو می شوند؟"دوره" سیارات چیست؟ چند وقت یکبار کاملاً هماهنگ می شوند؟ و بر اساس مواضع فعلی آنها ، همسویی نظری بعدی آنها تا چه اندازه در آینده فاصله دارد؟این یک پاسخ کم دقت - در عین حال ساده - است به شما امکان می دهد فقط پیکربندی تراز شعاعی سیارات را محاسبه کنید.تصویر
اگر می خواهید تقریب داشته باشید ، بگذارید بگوییم ، شما موقعیت سیارات را به صورت عقربه های ساعت تقریبی می دانید ، می توانید ریاضیات را با چیزی شبیه این کار کنید.
فرض کنید θi زاویه اولیه سیاره i در زمان t0 است - از موقعیت دلخواه اما ثابت اندازه گیری می شود و li طول سال است - در روز - برای سیاره i.سپس دوباره به حل این سیستم معادلات ادامه می یابد:$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$
یافتن حداقل x ، این زاویه را به شما می دهد که سیاره ای که در t0 دارای زاویه θi = 0 باشد ، تا رسیدن به پیکربندی تراز حرکت می کند. با فرض اینکه شما زمین را به عنوان سیاره ذکر شده انتخاب کرده اید ، سپس آن زاویه را با یک چرخش کامل (360 درجه) تقسیم کنید و تعداد سالهای دستیابی به آن پیکربندی را از پیکربندی t0 بدست خواهید آورد.
θi متفاوت در درجه برای همه سیارات می توانید از این به عنوان t0 خود استفاده کنید:$\begin{align}
Mercury &\quad 285.55
\\Venus &\quad 94.13
\\Earth &\quad 100.46
\\Mars &\quad 155.60
\\Jupiter &\quad 104.92
\\Saturn &\quad 226.71
\\Uranus &\quad 11.93
\\Neptune &\quad 334.90
\end{align}$و$\begin{align}
Mercury &\quad 88
\\Venus &\quad 224.7
\\Earth &\quad 365.26
\\Mars &\quad 687
\\Jupiter &\quad 4332.6
\\Saturn &\quad 10759.2
\\Uranus &\quad 30685.4
\\Neptune &\quad 60189
\end{align}$سرانجام تحت تقریب مقادیر عدد صحیح و با استفاده از این حل کننده آنلاین برای سیستم معادلات جواب x = $x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$ است که تقسیم بر 360o می شود تقریباً به شما می دهد
$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$
من همچنین می دانم که تمام اطلاعات را می توان از این صفحه ناسا به دست آورد و این دقیقاً به همان اندازه است که می توانید بدست آورید ، مدارهای این سیاره همزمان نیستند و از این رو نمی توانند همسو شوند ، حتی اگر هر سیاره بتواند خودسرانه در صفحه مداری خود قرار گیرد. دوم ، حتی تراز شعاعی خالص هرگز اتفاق نمی افتد زیرا دوره های سیاره غیرقابل مقایسه هستند - نسبت آنها عدد منطقی نیست. سرانجام ، مدار سیارات در طی مقیاس های زمانی میلیون ها ساله تکامل می یابند که دلیل اصلی آن کشش جاذبه متقابل آنهاست. این تکامل (ضعیف) آشفته است و بنابراین برای مدت زمان طولانی قابل پیش بینی نیست.
آیا خورشید دارای حرکت زاویه ای است
خورشید به این شکل شکل گرفته است: ابرهای گرد و غبار و گاز در حال حرکت هستند و بنابراین این ابر گاز و گرد و غبار ذرات خود را توسط جاذبه این ذرات جمع می کند. از آنجا که این ابر برای حفظ حرکت حرکت می کرد ، خورشید باید بچرخد. آیا قانون حفظ حرکت زاویه ای درست است؟ فاصله تا مرکز در مقایسه با شعاع ابر اصلی کاهش می یابد بنابراین سرعت خورشید باید افزایش یابد. بنابراین آیا خورشید به دور محور خودش می چرخد؟ همچنین آیا خورشید به دور هر جسم دیگری مانند زمین به دور خورشید می چرخد 3
خورشید مطمئناً حرکت زاویه ای دارد . درست است که اگر دو جسم از جرم یکسان باشند ، سرعت چرخش جسم متراکم کوچکتر باید بیشتر از سرعت جسم پراکنده بزرگتر باشد در صورتی که هر دو دارای یک حرکت زاویه ای یکسان باشند. خورشید تخمین زده شده است که حاوی 99.86٪ از جرم کل سحابی اصلی باشد که از آن تشکیل شده است و در قطر بسیار کمتری قرار دارد
حفاظت از حرکت زاویه ای در یک سیستم سیاره ای
چرا وقتی یک سیاره در مدار بیضوی به دور خورشید می چرخد ​​، حرکت زاویه ای حفظ می شود؟ چرا در این حالت تکانه خطی حفظ نمی شود؟در اینجا هیچ گشتاور خارجی در مورد خورشید وجود ندارد ، زیرا نیروی خورشید و بردار موقعیت از زمان $\bar \tau =\bar r\times\bar F$ همیشه در زاویه 180 درجه قرار دارند ، بنابراین حرکت زاویه ای حفظ می شود.
اما از آنجا که مسیر به صورت دایره ای نیست بلکه بیضوی است ، بردار موقعیت عمود بر جهت حرکت نیست ، بنابراین کارهایی انجام می شود که با تغییر سرعت سرعت مستقیماً حرکت را تغییر می دهدنیروی جاذبه بین دو توده که به طور متقابل متقابل هستند ، به فاصله جدایی (r) بین آنها بستگی دارد.
، $\vec{F}=f(r)\hat{r}$
بنابراین گشتاور خارجی که بر روی سیستم کار می کند صفر است ،
$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$
$\vec{\tau}=\vec{r}\times f(r)\hat{r} =0$
بنابراین حرکت کلی زاویه ای سیستم ثابت است.$\frac{d\vec{L}}{dt}=0$
با تغییر جهت سرعت شعاعی سیاره ، حرکت موج سیاره در سیستم سیاره ثابت نیست (به شکل زیر مراجعه کنید). از آنجا که هیچ نیروی خارجی در منظومه خورشید + سیاره وجود ندارد ، بنابراین حرکت کلی خطی منظومه خورشید + ثابت است.
محاسبه شعاع و جرم سیاره از سرعت و زمان .اول ، جرم و سرعت سیاره $m_p$ ، $v_p$ و ستاره $m_s$ ، در مقابل است. سپس ازحفاظت از حرکت زاویه ای $L_{s_i}+L_{si} = L_{pf} + L_{sf}$
همچنین درست است که جرم کل سیستم $M = mp + ms.$ علاوه بر این ، ما می توانیم دوره مدار را با معادله توصیف کنیم$T^2GM = 4\pi^2r^3$و$\frac{1}{2}m_pv_{pi}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{si}^2 + U_{pi} + U_{si} = \frac{1}{2}m_pv_{pf}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{sf}^2 + U_{pf} + U_{sf}$من معنی این شعاع را نمی فهمم. آیا مدارها بیضوی نیستند ، یا مدارهای مربوط به یک مرکز جرم در واقع مدور هستند؟
من فکر می کنم که شما باید یک مدار دایره ای فرض کنید - در غیر این صورت ، "شعاع" معنایی ندارد
در مورد اصلی ترین question شما - فکر می کنم شما این کار را سخت تر از آنچه که باید باشد می کنید.
از شما خواسته می شود شعاع را از نظر شعاع زمین محاسبه کنید. اکنون ما از قوانین کپلر می دانیم که$T^2 GM = 4 \pi^2 r^3$و$\frac{T_e^2 G M_s}{r_e^3} = \frac{T_p^2~ G ~(0.9~ M_s + m_p)}{r_p^3}\tag1$
بعد ، از آنجا که خط دید و دوره دارید ، فاصله دور سیاره تا مرکز چرخش بلافاصله دنبال می شود:$\begin{align}v &= \omega r_p = \frac{2\pi r_p}{T}\\
\Rightarrow r_p &= \frac{vT}{2\pi}\end{align}\tag2$تبدیل این موارد به شعاع زمین و جرم مشتری باید ساده باشد. اگر ارزش این را داشته باشید که کره زمین "سبک" باشد ، ممکن است محاسبه شود که چقدر پاسخ متفاوت خواهد بود - در این صورت قضیه ساده قانون کپلر به ما می گوید$\frac{r_p}{r_e}=\left(\frac{1500}{365.25}\right)^{\frac23}\approx 2.56$
قانون دوم کپلر (مساوی در زمانهای برابر) نتیجه حفظ مومنتوم زاویه ای است ،
$\ell = \mu r^2 \dot\theta = \text{constant},$
(با جرم μکاهش یافته و مختصات r و θ) زیرا ناحیه بی نهایت کوچک در واحد زمان خارج می شود$dA = \frac12 r^2 d\theta = \frac{\ell}{2\mu}dt.$این بدان معنی است که زمان جارو کردن کل منطقه $\tau=2\mu A/\ell$ است قانون اول از معادله حرکت ناشی می شود. انرژی سیستم است$E = \frac12 \mu\dot r^2 + \frac12 \frac{\ell^2}{\mu r^2} - \frac kr$.که می توانید برای r˙ حل کنید و برای یافتن $r(t)$ ادغام کنید. (برای جاذبه زمین ، ثابت $k=GM\mu$ ، جایی که M جرم کل دو جسم متقابل است$d\theta = \frac{d\theta}{dt} \frac{dt}{dr} dr = \frac{\dot\theta}{\dot r} dr,$و$\theta(r) = \int \frac{± (\ell/r^2) dr}{\sqrt{2\mu\left(
E+\frac kr - \frac{\ell^2}{2\mu r^2}
\right)}}.$و$\begin{align}
\frac\alpha r &= 1 + \epsilon\cos\theta
&
\alpha &= \frac{\ell^2}{\mu k}
&
\epsilon &= \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}}
\end{align}.$
با در نظر گرفتن یک مدار دایره ای ، قانون سوم کپلر بیان می کند که مربع دوره مداری متناسب با مکعب شعاع ، یعنی $T^2 \propto r^3$ است.
دوره حرکت دایره ای توسط:
$T=\frac{2\pi r}{v}$
مربع هر دو طرف می دهد:
$T^2=\frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$
از آنجا که شتاب حرکت دایره ای $a=\frac{v^2}{r}$ است ، به$v^2=ar$ می رسیم. با جایگزینی این موارد:
$T^2=\frac{4\pi^2r^2}{ar}=\frac{4\pi^2r}{a}$
طبق قانون جاذبه نیوتن ، $a=\frac{GM}{r^2}$و$F=\frac{GMm}{r^2}$است می آوریم. با جایگزینی این موارد:
$T^2=4\pi^2r\frac{r^2}{GM}$
$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3$
برای این فرض کردم که رابطه زیر بین شعاع ، r و خلاف قاعده ، θ صحیح است ،$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}}$
با یک محور نیمه اصلی و غیر عادی.
با استفاده از قانون دوم و سوم کپلر می توانید عبارتی را برای زمان (از طریق عبور پری اپسیس نزدیکترین نقطه مدار به جسم اولیه یا مادر) به عنوان تابعی از ناهنجاری واقعی بدست آورید ، که به صورت زیر است:
$t(\theta)=\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}}\right)$
$M=t\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$و$\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}$و$M=E-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}}$اثبات اینکه اصطلاحE باقی مانده می تواند به عنوان یک محصول از سینوس E بیان شود و eccentricity e خروج مرکز سخت تر است ، بنابراین
$\sin{E}=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \cos{\theta}}$با استفاده از یک متغیر موقت اثبات این امر امکان پذیر است. این متغیر ، اجازه دهید آن را $\alpha$ بنامیم ، به شرح زیر تعریف شده است ،$\alpha = \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}.$و$\sin \theta = \sin \left( 2 \tan^{-1} \alpha\right) = \frac{2\alpha}{1+\alpha^2}$و$\cos \theta = \cos \left( 2 \tan^{-1} \alpha\right) = \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}$و$\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \cos{\theta}} = \frac{\sqrt{1-e^2}\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}}{1+e\frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}} = \frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2}$حال با جایگزینی در عبارت $\alpha$ که عبارتی از E به دست می آید:$\frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2} = \frac{2\sqrt{(1+e)(1-e)}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}}{1+e+(1-e)\left(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}\right)^2} = \frac{2(1+e)\tan{\frac{E}{2}}}{(1+e)\left(1+\tan^2{\frac{E}{2}}\right)}$لذا $\frac{2\tan{\frac{E}{2}}}{1+\tan^2{\frac{E}{2}}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{1+\frac{\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{\frac{\cos^2(E/2)+\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = 2\sin\frac{E}{2}\cos\frac{E}{2}=\sin E$و $\frac{2\tan{\frac{E}{2}}}{1+\tan^2{\frac{E}{2}}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{1+\frac{\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{\frac{\cos^2(E/2)+\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = 2\sin\frac{E}{2}\cos\frac{E}{2}=\sin E$و ناهنجاری محاسبه میشه
فرمول بیضی در مختصات قطبی $r\left(\theta\right)=\dfrac{a\left(1-e^2\right)}{1-e\cos\theta}$اعمال قانون دوم نیوتن $m\dfrac{d\overrightarrow v}{dt} = -\dfrac{GMm}{r^2} \widehat r$ما می توانیم این را از نظر چگونگی تغییر سرعت با زاویه θ با استفاده از قانون زنجیره بازنویسی کنیم:$m\dfrac{d\overrightarrow v}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt} = -\dfrac{GMm}{r^2} \widehat r$حرکت زاویه ای سیاره مدار را می توان از نظر جرم ، سرعت زاویه ای $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ و فاصله آن از نقطه ثابت نوشت$L = mr^2\omega$واین تکانه زاویه ای ثابت حرکت است (یعنی در کل مدار حفظ می شود) ، بنابراین متوجه می شویم که سرعت تغییر بردار سرعت نسبت به θ یک بردار با اندازه ثابت است:$\dfrac{d\overrightarrow v}{d\theta} = -\dfrac{GMm}{L} \widehat r$و قانون گرانش $\overrightarrow F = -\overrightarrow \nabla U\left(r\right) = -\dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{-GMm}{r}+U_o\right] \widehat r = -\dfrac{GMm}{r^2} \widehat r$
می توانیم بردار واحد موقعیت را از نظر زاویه نسبت به سیستم مختصات دکارتی بنویسیم$\dfrac{d\overrightarrow v}{d\theta} = -\dfrac{GMm}{L} \left( \cos \theta \; \widehat i \ + \sin \theta \; \widehat j \right)$لذا $\overrightarrow v\left(\theta\right) = -\dfrac{GMm}{L} \left( \sin \theta \; \widehat i - \cos \theta \; \widehat j \right) + \overrightarrow v_o$توجه کرده بردار $\overrightarrow { R }$ نشان‌دهنده محل جسم دوران‌کننده (زمین) است. بردار $\overrightarrow { r }$نیز نشان‌دهنده بردار واحد بوده که در مسیر $\overrightarrow { R }$هست $\overrightarrow { { r } } \cdot \overrightarrow { { r } } = $ می‌توان گفت ضرب داخلی ارائه شده در ادامه، برابر با صفر است$\overrightarrow { { r } } \cdot \left( \frac { d } { d‌ t } \overrightarrow { { r } } \right) = 0$.وبه‌منظور راحتی کار بردار $\overrightarrow { s }$ را در جهت بردار تغییرات زمانی یا $\frac { d } { d t } \overrightarrow { r }$ در نظر بگیرید. در حقیقت می‌توان گفت:$\overrightarrow{{r}} \cdot \overrightarrow { { s } } = $از این نتیجه می توان نتیجه گرفت که مقدار و جهت سرعت هر بار θ با 2π تغییر می کند به همان مقدار برمی گردند. این بدان معنی است که انرژی جنبشی نیز به صورت دوره ای به همان مقدار خود برمی گردد. اما انرژی مکانیکی این سیستم صرفه جویی می شود ، بنابراین انرژی پتانسیل نیز با همان تناوب به مقدار خود باز می گردد. انرژی پتانسیل با تفکیک دو جرم تعریف می شود ، بنابراین این جداسازی نیز هر بار θ با 2π تغییر می کند ، برمی گردد. خوب ، اگر هر بار که زاویه توسط 2π تغییر می کند ، بدن در مدار همان فاصله از بدن گرانش است ، با همان سرعت حرکت می کند و در همان جهت حرکت می کند ، واضح است که حرکت آن در حال تکرار است - مدار بسته است .تصویر
حال دو. بردار داریم $\overrightarrow { { r } } = ( \cos \theta , \sin \theta ) , \quad \overrightarrow { s } = ( – \sin \theta , \cos \theta )$معادله برداری توصیف‌کننده مدار جسم دوران‌کننده به این صورت هست $– \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }$لامت منفی به این دلیل است که نیروی بین دو جسم (برای مثال زمین و خورشید) به‌صورت کششی است سرعت $\begin {align*} \overrightarrow { v } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { R } } \\ & = \frac { d } { d t } ( r \cdot \overrightarrow { { r } } ) \\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \left ( \frac { d } { d t } \overrightarrow { { r } } \right)
\\ & = \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac{d \theta}{d t} \overrightarrow {{s}}
\end {align*}$و شتاب $\begin {aligned} \overrightarrow { { a } } & = \frac { d } { d t } \overrightarrow { { v } } = \frac { d } { d t } \left( \frac { d r } { d t } \overrightarrow { { r } } + r \frac { d \theta } { d t } \overrightarrow { { s } } \right) \\ &=\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow{ { r } } + 2 \frac { d r } { d t} \frac{d \theta } { d t} \overrightarrow{{s}}+r \frac { d ^ { 2 } \theta}{d t ^ { 2 } } \overrightarrow{{s}}-r\left(\frac{d \theta } { d t}\right)^{2} \overrightarrow{ { r } } \\ &=\left(\frac { d ^ { 2} r}{d t^{2}}-r\left( \frac { d \theta}{d t}\right) ^ { 2 } \right) \overrightarrow {{r}}+\left(2 \frac { d r } { d t } \frac { d \theta}{d t}+r \frac{d^{2} \theta}{d t ^ { 2 } } \right) \overrightarrow{s} \end{aligned}$خوب از بیان دیگه ما هنوز جهت گیری سیستم مختصات (x، y) مورد استفاده در معادله را مشخص نکرده ایم - تاکنون فقط نیاز داشتیم که مبدا در جسم گرانش باشد. بگذارید محورهای x را در امتداد محور اصلی قرار دهیم به گونه ای که نقطه حداکثر تفکیک (آفلیون) در سمت مثبت محور x قرار داشته باشد . با استفاده از این محورها مشخص است که در نقطه θ = 0 ، سرعت بدن در حال حرکت در جهت + jˆ است. با نگاهی به معادله، می بینیم که این بدان معنی است که بردار ثابت $\overrightarrow v_o$ باید به موازات محور جزئی باشد ، در غیر این صورت به بدن یک component سرعت در جهت x می دهد. اما این بردار ثابت از کدام طرف نشان می دهد ، + jˆ یا −jˆ؟سرعت بدن در حال چرخش در آستانه را در نظر بگیرید $(θ = π).$ در این حالت ، جسم در حال حاضر در جهت −jˆ در حال حرکت است ، اما از آنجا که به نقطه مرجع درجسم نزدیکتر است ، برای حفظ حرکت زاویه ای باید سریعتر در حال حرکت باشد. برای اینکه بردار ثابت $\overrightarrow v_o$ سیاره موجود در مدار را در $(θ = π)$ سریعتر از $(θ = 0) $کند ، باید داشته باشیم:
$\overrightarrow v_o = v_o \left(-\widehat j \right) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \left\{ \begin{array}{l} \theta = 0 & \left(aphelion\right) & v_{min} = \dfrac{GMm}{L} - v_o \\ \theta = \pi & \left(perihelion\right) & v_{max} = \dfrac{GMm}{L} + v_o \end{array} \right.$
خوب باز همان ر.ابط اول من با توجه به معادله $– \left(\frac{G M m } { r ^ { 2 } } \right) \overrightarrow { { r } } = m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \overrightarrow { { R } }$بردار شتاب $\overrightarrow { a } = – \frac { G M } { r ^ { 2 } } \overrightarrow { r }$دو معادله را مساوی قرار میدم $\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } – r \left( \frac { d \theta } { d t } \right) ^ { 2 } = – \frac { G M } { r ^ { 2 } }$ برابر قرار دادن مولفه s دو رابطه نیز، معادله دیفرانسیلِ$2 \frac { d r}{d t} \frac{d \theta} { d t } + r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0$
ما می توانیم حداکثر و حداقل سرعت مدار را با استفاده از حفظ تکانه زاویه ای مرتبط کنیم. می بینیم که مقدار $r_\bot$ برای aphelion این است: $a+ea = a\left(1+e\right)$. در محل پیراهن:$r_\bot = a\left(1-e\right)$. تنظیم برابر گشتاور زاویه ای در این دو موقعیت در مدار:$L_{aphelion} = L_{perihelion} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; mv_{min}\left[a\left(1+e\right)\right] = mv_{max}\left[a\left(1-e\right)\right] \;\;\; \Rightarrow \;\;\; v_{min} = v_{max}\left(\dfrac{1-e}{1+e}\right)$لذا دو سرعت داریم$\begin{array}{l} v_{max} = \left(1+e\right)\dfrac{GMm}{L} \\ v_{min} = \left(1-e\right)\dfrac{GMm}{L} \end{array}$همچنین عبارتی برای حرکت زاویه ای از نظر سیارات و اجرام فضایی در مدار و ، گریز از مرکز و محور اصلی برای بدست آوردن این ، را در جرم بدن در حال گردش ضرب کنید و $r_\bot$ که$a\left(1-e\right)$ برای بدست آوردن:سرعت ماکسیمم $L = mv_{max}r_\bot = m\left[ \left(1+e\right)\dfrac{GMm}{L}\right] \left[ a\left(1-e\right) \right] \;\;\; \Rightarrow \;\;\; L^2= a\left(1-e^2\right)GMm^2$
معادله ساده شده من $r\left(\theta\right)=\left(\dfrac{L^2}{GMm^2}\right)\dfrac{1}{1-e\cos\theta}$می بینیم که اگر $v_o$ برابر با صفر برابر شود ، بردار سرعت دارای یک مقدار ثابت است و جهت آن همیشه عمود بر rˆ است (که با انجام یک محصول نقطه ای می توان به سرعت آن را تأیید کرد). بنابراین یک ثابت ادغام غیر صفر وظیفه ایجاد یک مدار خارج از مرکز مدور را دارد. نشان می دهد که فاصله نزدیکترین رویکرد (فاصله دور پیچ) توسط:$r_{min} = \dfrac{L^2}{GMm^2}\left(\dfrac{1}{1+e}\right) \nonumber$
. وقتی منطقه با یک بازه زمانی کوچک تقسیم می شود و وقتی صفر می شود ، محدوده گرفته می شود ، نسبت dθ و dt به یک مقدار محدود (به طور خاص سرعت زاویه ای ω در آن لحظه از زمان) نزدیک می شود ، اما در اصطلاح دوم هنوز یک محدوده کوچک نامحدود دیگر است که در حد صفر می رود. به عبارت دیگر ، مثلث نارنجی هیچ کمکی به منطقه جاروب شده در زمان بینهایت کم dt نمی کند. ، می بینیم که سرعت خارج شدن ناحیه ، حرکت زاویه ای توده در مدار در حال تقسیم بر دو برابر جرم آن است. ما می دانیم که هر دو حرکت زاویه ای و جرم برای مدار ثابت می مانند ، بنابراین سرعت جابجایی منطقه نیز ثابت است. قانون دوم کپلر معادل حفظ حرکت زاویه ای است.کاملاً ساده است که نشان می دهیم قانون سوم کپلر برای مدارهای دایره ای اعمال می شود ، بنابراین ابتدا این کار را انجام می دهیم. سرعت برای کل مدار ثابت است ، برابر است با مدار مدار تقسیم بر زمان لازم برای یک مدار کاملتصویر
$v = \dfrac{2\pi R}{T}$و $\dfrac{GMm}{R^2}=m\dfrac{v^2}{R} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; v^2 = \dfrac{GM}{R}$
لذا نتیجه میگیرم $\left( \dfrac{2\pi R}{T}\right)^2 = \dfrac{GM}{R} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \dfrac{R^3}{T^2}= \dfrac{GM}{4\pi^2} = constant$
این به ما می دهد که نه تنها نسبت ثابت است ، بلکه به طور خاص ثابت است. همانطور که اکنون می توانیم تأیید کنیم ، این ثابت فقط به جرم گرانش بستگی دارد.
کاملاً قابل توجه است که این قانون برای مدارهای بیضوی ، جایی که R با a جایگزین می شود ، به همان اندازه نیز صدق می کند. ما می توانیم این را با شروع با نتیجه ای که از قانون دوم کپلر پیدا کردیم نشان دهیم. سرعت جابجایی منطقه ثابت است ، بنابراین کل مساحت بیضی این نرخ ضربدر زمان مدار کامل است. با مرور بخشهای مخروطی خود ، ناحیه بیضی را متصل کرده و موارد زیر را بدست می آوریم:
$area\;of\;ellipse = \pi \; ab = \dfrac{dA}{dt} T = \dfrac{L}{2m} T$مقدار b طول محور نیمه جزئی است که از نظر خارج از مرکز به طول محور نیمه اصلی مربوط می شود:$b^2 = a^2\left(1-e^2\right)$و$\pi^2 a^4 \left(1-e^2\right) = \dfrac{L^2T^2}{4m^2}$
نتیجه کلی $\pi^2 a^4 \left(1-e^2\right) = \left[a \left(1-e^2\right) GMm^2 \right] \dfrac{T^2}{4m^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \dfrac{a^3}{T^2}= \dfrac{GM}{4\pi^2}$
یاد اوری کرده که قانون اول کپلر بیان می‌کند که مسیر طی شده توسط یک سیاره، به صورت بیضی، سهمی، هذلولی یا دیگر مقاطع مخروطی است که جسمِ مرکز (برای نمونه خورشید) در یکی از کانون‌های آن قرار می‌گیرد$L = r ^ { 2 } \frac { d \theta} { d t }$و $P = \frac { L^ { 2 } } { G M }$و $u = \frac { P } { r }$پس میشه گفت $\frac { G M } { r ^ { 2 } } = \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }$و $\frac { d \theta } { d t } = \frac { L } { r ^ { 2 } } = \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 } }$لذا$\begin {align*} \frac { d r } { d t } & = \frac { d } { d \theta } \left( \frac { P } { u } \right) \frac { d \theta } { d t } \\ & = – \frac { P } { u ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } \frac { d u } { d \theta } \\ & = – \frac { L } { P } \frac { d u } { d \theta } \end {align*}$و مشتق گیری $\begin {align*} \frac { d r } { d t } & = \frac { d } { d \theta } \left( \frac { P } { u } \right) \frac { d \theta } { d t } \\ & = – \frac { P } { u ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } \frac { d u } { d \theta } \\ & = – \frac { L } { P } \frac { d u } { d \theta } \end {align*}$دوباره مشتق گرفته $\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } = \frac { d } { d \theta } \left( \frac {d r }{ d t } \right) \frac { d \theta } { d t } = – \frac { L } { P } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } \frac { d \theta } { d t } = – \frac { L^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } }$من عبارت $\frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } – r \left( \frac { d \theta} { d t } \right) ^ { 2 } = – \frac { G M } { r ^ { 2 } }$در رابطه قرار میدم $-\frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } } \frac{ d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } – \left(\frac { P } { u } \right) \left( \frac { L u ^ { 2 } } { P ^ { 2 }‌ } \right) ^ { 2 } = – \frac { L ^ { 2 } u ^ { 2 } } { P ^ { 3 } }$جواب دیفرانسیل من $u = u ( \theta ) = 1 + e \cos \left( \theta – \theta _ { 0 } \right )$مقدار e تحت عنوان خروج از مرکز شناخته میشه ودر مختصات قطبی $r = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \theta – \theta _ { 0 } \right) }$فرض کنید که زاویه اولیه جسم دوران‌کننده در لحظه t=0 برابر با $\theta ( 0 ) = \alpha$ باشد. همچنین زاویه بین سرعت ماهواره (جسم دوران‌کننده) و بردار مکانی را نیز برابر با ϕ در نظر بگیرید$r _ { 0 } = \frac { P } { 1 + e \cos \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) }$متغیر p را برابر با $p = P / r _ 0$ تعریف کنیم$1 = \frac { p } { 1 + e \cos \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) }$و مشتق نسبت به زمان $v _ { 0 } \cos \phi = \left.\frac { d r } { d t } \right| _ { t = 0 } = \left.\frac { P e \sin \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) } { \left[ 1 + e \cos \left ( \alpha -\theta _ { 0 } \right) \right] ^ { 2 } } \cdot \frac { d \theta } { d t } \right| _ {t = 0 } = \frac { e v _ { 0 } \sin \phi \sin \left ( \alpha – \theta _ { 0 } \right) } { p }$لذا$e \sin \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) = p \cot \phi$بازنویسی میکنم $e ^ { 2 } = e ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) + e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \alpha – \theta _ { 0 } \right) = ( p – 1 ) ^ { 2 } + p ^{ 2 } \cot ^ { 2 } \phi$و $e ^ { 2 } = p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi – 2 p + 1$
در مورد بیضی $\begin{array} { r } { p ^ { 2 } \csc ^ { 2 } \phi – 2 p + 1 < 1 \Longleftrightarrow} { p \csc ^ { 2 } \phi < 2 } \end{array}$و$P = \frac { L ^ { 2 } } { G M } \ , \ L = \left.r _ { 0 } ^ { 2 } \frac { d \theta }{ d t } \right| _ { t = 0 } = r _ { 0 } v _ { 0 } \sin \phi$و $p \csc ^ { 2 } \phi = \frac { r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } } { G M }$نابراین می‌توان گفت که مدار بیضوی زمانی به طور دقیق اتفاق می‌افتد که نامساوی زیر برقرار باشد$r _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } < 2 G M$
تصویر

نمایه کاربر
You-See

نام: U30

محل اقامت: تهران

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۳/۵/۱۹ - ۱۹:۰۵


پست: 1087

سپاس: 792

جنسیت:

تماس:

Re: گردش اجرام و فضا به دور خورشید

پست توسط You-See »

خورشید تا ابد جاذبه اش ادامه داره، البته نظر شخصی من تا جاییه که ثابت پلانک اجازه می ده.
اگر هم همه منظومه ها در هم نمی روند، جوابش ساده است: خمش فضای متاثر از خورشید اونقدر کم هست که به خمش فضای ستاره خودش غلبه نمی کنه.
دقیقا مثل حالتی که شما دو آهنربا دارید در فاصله ده سانتی متری، هردو هم خیلی قوی هستند، ولی تکه آهن به نزدیک ترینش می چسبه. این که اون دو تا آهنربا چرا خودشون به هم نمی چسبند، معادلش برای ستاره ها گرفتاری خود ستاره ها در گردش به دور کهکشان می تونه باشه، دقیقا مثل حالتی که زمین و مریخ همدیگه رو جذب می کنن ولی در هم فرو نمی روند.
دوستای گلم حمایت کنید : https://cafebazaar.ir/app/com.nikanmehr.marmarxword/

ارسال پست