اجسام غیر تراکم در قضیه کارنو
ارسال شده: چهارشنبه ۱۳۹۹/۹/۵ - ۱۱:۴۶
یک جسم کاملاً غیر قابل تراکم را در نظر بگیرید ، که حجم آن را تغییر نمی دهد V تحت فشار p اما وقتی دمای آن افزایش یابد می تواند منبسط یا کوچک شود تیتغییر می کند سپس معادله حالت آن یک شکل ساده دارد
$T=T(V). $.
سپس تصور کنید که ما در حال انجام چرخه Brayton با این بدن متشکل از دو فرایند ایزوباریک در فشارها هستیم p1 و p2، و دو فرآیند آدیاباتیک . از آنجا که جسم غیرقابل انعطاف است ، دو فرآیند اخیر نیز همدما و ایزوکور هستند.
بازده این چرخه $ \eta=A/Q_1$ است ، جایی که $A=(p_1-p_2)(V_1-V_2) $ کار انجام شده و Q1 گرمای دریافتی از مخزن گرم است. برای محاسبه Q1 ، می توانیم از قانون اول ترمودینامیک استفاده کنیم:$\delta Q=c_VdT+pdV $. روابط ماکسول حاکی از نسبت ظرفیت گرمایی $ \gamma=c_p/c_V\rightarrow\infty$ برای جسم غیرقابل تراکم و سپس $ c_V=0 $ است (همچنین می توان با توجه به اینکه T و بنابراین انرژی داخلی در V = ثابت ساختار تغییر نمی کند قابل درک است).
بنابراین $\delta Q=pdV $ ، و گرما ، که توسط سیستم در بالای ایزوبار احیا می شود ، Q1 = p1 است $Q_1=p_1(V_1-V_2) $. کارایی می شود
$ \eta=1-\frac{p_2}{p_1}.$
از طرف دیگر ، کارایی Carnot ηCarnot به نسبت بالاترین دما $T_1=T(V_1) $ به کمترین درجه حرارت$ T_2=T(V_2)$ در طول چرخه بستگی دارد و
$\eta_\mathrm{Carnot}=1-\frac{T(V_2)}{T(V_1)}. $
با در نظر گرفتن اختلاف فشار $p1 − p2 $به اندازه کافی بزرگ و ثابت نگه داشتن V1- V2$ $، می توانیم به η> ηCarnot برسیم.
چرا قضیه کارنو در این مورد نقض می شود؟ آیا این بدان معناست که قضیه کارنو وجود مواد کاملاً غیر قابل تراکم را منع کرده است؟ یا چیزی در محاسبات من اشتباه است
در حقیقت ، همانطور که در نظرات ذکر شد ، قضیه کارنو زمانی قابل اجرا است که فقط دو مخزن گرمایی با دمای ثابت وجود داشته باشد. با این حال ، می توان آن را به راحتی در مورد دمای متغیر تعمیم داد. اگر T1 حداکثر دمای حاصل از مخزنی باشد که گرما را به سیستم منتقل می کند و T2 حداقل دمای مخزن دوم است که گرما را جذب می کند ، بازده هر چرخه نمی تواند بیش از
$\eta_\mathrm{max}=1-\frac{T_2}{T_1} $ باشد
علاوه بر این ، من هنگام استفاده از اثبات این رابطه با بدن غیرقابل تراکم ، چیز عجیب تری هم پیدا کردم. فرض کنید "a" و "b" به ترتیب ایزوبارهای بالا و پایین باشند که سیستم مقادیر گرما Q1 و Q2 را جذب کرده و از آنها خارج می کند. سپس ، با توجه به نابرابری Clausius ،
$\int\limits_a\frac{\delta Q_1}{T}\leqslant\int\limits_b\frac{\delta Q_2}{T}. $
.
همانطور که در بالا گفته شد ، برای جسم غیرقابل تراکم $ \delta Q=pdV$سپس با لغو در هر دو طرف نابرابری ، در تناقض با فرض اولیه در مورد شکل چرخه .$ \int\limits_a\frac{\delta Q_1}{T}=\int\limits_{V_2}^{V_1}\frac{p_1dV}{T(V)},
\qquad\int\limits_b\frac{\delta Q_2}{T}=\int\limits_{V_2}^{V_1}\frac{p_2dV}{T(V)}. $
لغو $ \int_{V_2}^{V_1}dV/T(V)$ در هر دو طرف نابرابری ، به دست می آوریم
p1⩽p2
در تضاد با فرض اولیه p1> p2 در مورد شکل چرخه است.
بنابراین ، اکنون تصور می کنم که حتی نابرابری Clausius وجود اجسام غیرقابل تراکم را منع می کند. آیا این درست است و چگونه می توان آن را درک کرد؟
سعی کردم مشکل را از نو بیان کنم. فرض کنید سیستم در متغیرهای حالت داده شده T و p ، آن را با پتانسیل Gibbs G با مشخص می کند
$dG=-SdT+Vdp,\qquad\left(\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=V,\qquad\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S, $
بنابراین عدم انعطاف پذیری$ \partial V/\partial p=0 $ یعنی V فقط به T بستگی دارد: $(\partial G/\partial p)_T=V(T) $. با ادغام این رابطه ، به دست می آوریم
$ G=pV(T)+A(T),$،
که در آن $A(T) $ برخی از عملکردهای ناشناخته است. بر این اساس ، آنتروپی دریافت می کنیم
$ S=-pV'(T)-A'(T)$
و انرژی داخلی :$U=G+TS-pV $
$U=-pTV'(T)-TA'(T)+A(T). $.
با این حال ، در این صورت محاسبات بازده چرخه باید تجدید نظر شود زیرا
$ \delta Q=TdS=-TV'dp-(pTV''+TA'')dT$
به معنای تبادل گرما در طی فرآیندهای همدما / ایزوکور است! بنابراین تصور من در مورد ماهیت آدیاباتیک فرآیندهای isochoric نادرست است.
به عنوان مثال ، با فرض $ V=\alpha T $، وA = 0 ، در هر دو ایزوبار ΔQ = 0 بدست می آوریم، $\Delta Q=(p_1-p_2)T_1\alpha=Q_1 $ در ایزوکر راست و $ \Delta Q=-(p_1-p_2)T_2\alpha=-Q_2 $در ایزوکر چپ بنابراین کارایی
$ \eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$ با حد کارنو منطبق هست
بنابراین چه مشکلی در این مورد وجود دارد؟ من می بینم که برخی از نتایج عجیب به نظر می رسند (به عنوان مثال ، وابستگی U به p در T = ثابت) ، اما آیا مشکلات اساسی (با ثبات ، وجود تعادل ترمودینامیکی و غیره) وجود دارد
به نظر من این هست که
اجسام کاملاً غیر قابل تراکم در واقع با ثبات تعادل ترمودینامیکی (حداکثر آنتروپی) منع می شوند. فیزیک آماری بحث و استنباط خوبی از نابرابری ترمودینامیکی $ C_V > 0 $ دارد.
بنابراین معادله حالت $T = T(V) $ نتایج اشتباهی میده چون نباید اینجا به کار برود فرض را نادیده گرفتم و
فرض کنید $T = T(V) $ ، و تصور کنید که از $(P_1,V_1) \to (P_1,V_2) $ به دو روش متفاوت بروید. از یک طرف ، می توانید از $V1 → V2 $در P = P1$ $ثابت بروید. تغییر در قانون داخلی با قانون اول $ \Delta U = Q_1 + P_1 (V_1 - V_2) $ است. از طرف دیگر ، می توانید مسیر $(P_1, V_1) \to (0,V_1) \to (0,V_2) \to (P_1,V_2) $ را نیز طی کنید. پایه های اول و سوم باید ΔU = 0 داشته باشند زیرا هیچ چیز به P بستگی ندارد. پای دوم دارای ΔU = Q0 خواهد بود. اگر انرژی داخلی یک متغیر حالت است ، باید اینها برابر باشند:
$ Q_1 + P_1(V_1 - V_2) = Q_0 $
در اینجا Q1 مقدار گرمای مورد نیاز برای تغییر درجه حرارت جسم از$T(V_1) $ به $T(V_2) $ در P = P1 است و Q0 مقدار گرمای مورد نیاز برای تغییر دمای بدن از $T(V_1) $ است. به$ T(V_2)$ در P = 0. معادله فوق می گوید که اینها باید متفاوت باشند. اما این با این فرض اصلی که معادله حالت $T = T(V) $ مستقل از P است ، مغایرت دارد!
این همان چیزی است که من فکر می کنم یک متغیر ترمودینامیکی واقعی باید تابعی از دو مورد دیگر باشد. بنابراین$T=T(V) $ یک متغیر ترمودینامیکی نیست. برای گاز ایده آل $U=U(T) $ داریم. در اولین معادله خود ، هر دو این متغییر اشتباه و اشتباه برانگیز را با هم جمع می کنید تا $ \delta Q=dU+p~dV=C_vdT+p~dV$ بدست آورید. من گمان می کنم هیچ نتیجه خوبی از این کار بیرون نخواهد آمد! در این معادله T و V متغیر مستقل نیستند. اما در نوشتن $\delta Q=p~dV $ تصور کرده ایم که آنها مستقل هستند. به طور صحیح تر: $ \delta Q=\left( C_v\frac{dT}{dV}+p \right)dV $
اگر متقاعد نشدیم ، ممکن است با اجتناب از نوشتن بر حسب δQ ، همین معادله به صورت دقیق تر حاصل شود. بگویید معادله اساسی سیستم توسط $ S=f(U,V)$ داده شده است (به ترمودینامیک کالن مراجعه کنید). اما از آنجا که $ U=U(T(V)) $ واقعاً فقط به یک متغیر بستگی دارد. V:
$ \begin{align}
dS & =\frac{\partial f}{\partial U}dU+\frac{\partial f}{\partial V}dV \\
& = \left[ \frac{\partial f}{\partial U}\frac{dU}{dT}\frac{dT}{dV}+\frac{\partial f}{\partial V} \right] dV \\
& = \left[ \frac{C_v}{T}\frac{dT}{dV}+\frac{p}{T} \right] dV
\end{align} $ دقیقا اینجا معادله در T ضرب شده
به هر حال ، بدانید وقتی نابرابری Clausius اعمال می شود ، با این وجود نتیجه گیری پوچ p1≤p2 نتیجه می شود. بنابراین به نظر می رسد ترمودینامیک جسمی را با یک معادله اساسی که به یک متغیر گسترده ترمودینامیکی گسترده مانند V. بستگی دارد ، منع می کند. دو متغیر ترمودینامیکی گسترده مستقل کاملاً مورد نیاز هستند (مانند U ، V). مشخصه آن $T=T(V) $ است ، جسمی غیرقابل تراکم که در واقع به$\frac{\partial V}{\partial p}=0 $ نیاز دارد.