من معادله ی دیفرانسیلو حل کردم:
طرفینِ آخرین معادله ی دیفرانسیل توی پُست قبلیم رو اگه بر $m_{iron}$ تقسیم کنیم، داریم:
$$ g\left( 1 -\frac{\rho_{water}}{\rho_{iron}}\right)-\frac{\rho_{water}AC_D}{2m_{iron}}v^2=\dot{v} \rightarrow $$
$$\dot{v}=A-Bv^2=\frac{dv}{dt} \rightarrow dt=\frac{dv}{A-Bv^2}$$
که در رابطه ی فوق داریم $A=g\left( 1 -\frac{\rho_{water}}{\rho_{iron}}\right)$ و $B=\frac{\rho_{water}AC_D}{2m_{iron}}$ با انتگرال گیری از طرفین داریم:
$$t=\frac{1}{\sqrt{AB}}\tanh^{-1}\left( \frac{Bv}{\sqrt{AB}}\right)$$
با لحاظِ شرط مرزی $t=0\rightarrow v=0$ ثابت انتگرال گیری فوق معادل صفر محاسبه شد. سرعت از معادله ی بالا به فرم زیر محاسبه میشه:
$$\tag{*}v=\sqrt{\frac{A}{B}}\tanh\left( \sqrt{AB}×t\right)$$
برای اینکه درستی رابطه ی بالا رو بررسی کنیم، باید وقتی زمان رو به بینهایت میل می دیم، سرعت فوق به "سرعت حد"
(terminal velocity) در سیال مور نظر میل کنه:
$$v_{terminal}=\lim_{t\rightarrow\infty}{\sqrt{\frac{A}{B}}\tanh\left( \sqrt{AB}×t\right)}=\sqrt\frac{A}{B}$$
حالا اگه مقادیر $A$ و $B$ رو درمعادله بالا قرار بدیم، بعد از ساده سازی داریم:
$$v_{terminal}=\sqrt{\frac{2g(m_{iron}-\rho_{water}V_{iron})}{\rho_{water}AC_D}}$$
که در توافق کامل با
سرعت حد معرفی شده به توسط اِدیتورهای ویکی پدیاست.
حالا برای اینکه زمان سقوط رو بر حسب ارتفاع محاسبه کنیم، باید معادله ی (*) رو به شکل زیر بنویسیم:
$$ dy=\sqrt{\frac{A}{B}}\tanh\left( \sqrt{AB}×t\right)dt$$
با انتگرال گیری از طرفین رابطه ی فوق در کران های زیر داریم:
$$ \int_{0}^{H} dy=\int_{0}^{T}\sqrt{\frac{A}{B}}\tanh\left( \sqrt{AB}×t\right)dt$$
بعد از اینکه انتگرال های بالا رو گرفتیم، باید زمان (T) رو برحسب ارتفاع ظرف یا دریا (H) محاسبه کنیم که من دادم Mathcad مستقیم حساب کرد و حاصل شد:
$$T=\frac{1}{2\sqrt{AB}}\ln\left[e^{\frac{2H\sqrt{AB}}{{\sqrt{\frac{A}{B}}}}}×\left(2\mp2\sqrt{1-e^{\frac{-2H\sqrt{AB}}{{\sqrt{\frac{A}{B}}}}}}-e^{\frac{-2H\sqrt{AB}}{{\sqrt{\frac{A}{B}}}}}\right)\right]$$
حالا شما باید زحمت بکشید و $A$ و $B$ و $H$ رو بر حسب آزمایش خودتون حساب و توی این معادله قرار بدید تا ببینید که کودوم ساچمه زودتر به کف ظرف یا دریا می رسه. ضمناً دقت کنید که توی معادله ی بالا فقط یکی از علائم مثبت و منفی که در دل پرانتز ها هست به شما جواب قابل قبول رو می ده و علامت دیگه احتمالاً جواب منفی یا موهومی برای زمان می ده که غیر قابل قبوله.