خوب مید.ونید ژیروسکوپ وسیله ای جهت حفظ جهت در راستای حفظ تعادل میباشد که از اصل بقای تکانه زاویهای استفاده میکند.یک ژیروسکوپ مکانیکی همیشه یک چرخ یا دیسک چرخنده با محور آزاد دارد که میتواند در هر جهتی بایستد.اما ساخت ان تو اینترنت زیاد هست ومثال
https://www.dideo.ir/v/ap/HgTip/%D8%B7% ... 9%BE%DB%8C اما بهترین روش تحلیل ریاضی ان هست .محورهای مختصات XYZ را به صورت شکل زیر برای ژیروسکوپ رسم میکنیم
تو این شکل g شتاب گرانش است. نقطه G مرکز جرم دیسک را نشان میدهد. محل تکیهگاه نیز با P نمایش داده میشود. مبدأ مختصات XYZ، نقطه P است. بردارهای J ،I و K بردارهای یکه هستند و به ترتیب جهت مثبت محورهای Y ،X و Z رابه ما نشون میدند.ابتدا من سرعت زاویه ای دیسک محاسبه کنم $\large\overrightarrow{\omega_w}=(\omega_s\sin\theta)\hat{J}+(\omega_s\cos\theta+\omega_p)\hat{K} $ از رابطه مشتق بگیرم $ \large\overrightarrow{a_w}=\frac{d[(\omega_s\sin\theta)\hat{J}]}{dt}+\frac{d[(\omega_s\cos\theta\:+\omega_p)\hat{K}]}{dt}$ خوب $\omega_s $ معلوم هست که صفر هست لذا رابطه ساده میشه$\large\overrightarrow{a}_w=-\omega_s\omega_p\sin\theta\:\hat{I} $ خوب سرعت زاویه ای میله $\large\overrightarrow{\omega}_r=\omega_p\:\hat{K} $ وچون سرعت زاویهای میله ثابت است و جهت آن هم تغییر نمیکند، شتاب زاویهای آن صفر هست حالا نیروها و گشتاورهای وارد به دیسک را برسی کنیم گشتاور در نقطه G و در راستای محور x را با Mx نشان دادهایم. گشتاورهای My و Mz نیز به طریقی مشابه تعریف میشه.
با قانون دوم نیوتن اشنا هستید همون رابطه معروف $\large\sum_{}F_X=F_{GX}=m_wa_{GX}\\~\\
\large\sum_{}F_Y=F_{GY}=m_wa_{GY}\\~\\
\large\sum_{}F_Z=F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ} $جرم دیسک با mw نمایش داده شده است. aGX شتاب را در نقطه G و در راستای X نشان میدهم. شتابهای aGY و aGZ نیز به طوری مشابه و به ترتیب در جهتهای Y و Z تعریف میشه/$\large F_{GY}=m_wa_{GY} $خوب نقطه G روی یک مسیر افقی به شکل دایره و با سرعت ثابت حرکت میکند پس شتاب مماسی برابر صفر است.خوب شتاب گرا در جهت y $ \large a_{GY}=-{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ هستش.لذا نیرو $ \large F_{GY}=-m_w{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ خوب نقطه G با سرعت ثابت روی یک دایره افقی حرکت میکند، شتاب در راستای Z برابر با صفر است پس $\large F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ}=0 $ و $ \large F_{GZ}=-m_w\:g$ حرکت اویلر را در جهت x برای جسم صلب به کاربرده و . این معادلات در دو جهت دیگر مساوی صفر هستند.$ \large \sum M_{Gx}=I_{Gx}\alpha_x-(I_{Gy}-I_{Gz})\omega_y\omega_z$ ببینید که نیروهای FGX ،FGY وFGZ حول نقطه G هیچ گشتاوری ایجاد نمیکنند. زیرا هر سه نیرو از نقطه G عبور کرده و طول بازوی گشتاور در آنها صفر است. در رابطه بالا، IGx ،IGy و IGz، به ترتیب ممانهای اینرسی را حول نقطه G در جهتهای y ،x و z نشان میدهد $ \large I_{Gx}=I_{Gz}=\frac{1}{4}m_wr^2$ لذا $ \large I_{Gy}=\frac{1}{2}m_wr^2$معادله حرکت اویلر در جهت x به دست خواهد آمد $ \large M_x=-\frac{1}{4}m_wr^2\omega_s\omega_p\sin\theta-\frac{1}{4}m_wr^2(\omega_s+\omega_p\cos\theta)\omega_p\sin\theta$ در این بخش گشتاورهای وارد شده به میله را حول نقطه P بررسی کنم $ \large \sum M_{Px}=I_{Px}a_x-(I_{Py}-I_{Pz})\omega_y\omega_z$سرعت و شتاب زاویهای میله در دستگاه xyz را میتوان به صورت زیر نوشت $ \large \omega_x=0\:\:,\:\:\omega_y=\omega_p\cos\theta\:\:,\:\:\omega_z=\omega_p\sin\theta\\~\\
\large a_x=a_y=a_z=0$ ،که IPy و IPz، به ترتیب ممانهای اینرسی میله را حول نقطه P در جهتهای y ،x و z نشان میدهند$\large I_{Px}=I_{Pz}=\frac{1}{3}m_rL^2\\~\\
\large I_{Py}=0 $ من معادله اویلر در جهت محور x مینویسم $ \large -m_rg\frac{L}{2}\sin\theta-F_{GZ}L\sin\theta+F_{GY}L\cos\theta-M_x\\
\large=\frac{1}{3}m_rL^2{\omega_p}^2\cos\theta\sin\theta$ ساده شده عبارت $\large {\omega_p}^2\cos\theta(\frac{1}{3}m_rL^2-\frac{1}{4}m_wr^2+m_wL^2)\\
\large=\frac{1}{2}m_wr^2\omega_s\omega_p-m_rg\frac{L}{2}-m_wgL $ هست پایداری ژیروسکوپ تکانه زاویهای تغییرات بردار تکانه زاویهای جسم صلب در بازه زمانی ti تاtf به صورت زیر محاسبه میشود. پارامتر Hf بردار تکانه زاویهای را در لحظه نهایی tf نشان میدهد. بردار تکانه زاویهای در لحظه اولیه ti نیز برابر با Hi است. بردار M همکه بیانگر گشتاورهای خارجی وارد به جسم صلب است.$ \large \sum \int_{ti}^{tf}\overrightarrow{M}dt={\overrightarrow{H}}_f-{\overrightarrow{H}}_i$
تکانه زاویهای بین زمانهای ti و tf با ΔH نشان داده شده است. خوب تحلیل اسپین میخواهم رابطهای برای ارتباط بین زاویه θ و بردارهای HG و ωs پیدا کنم. با استفاده از ضرب داخلی، رابطه زیر به راحتی به دستمیاد$ \large \cos\theta=\frac{{\overrightarrow{H}}_G.\hat{J}}{|{\overrightarrow{H}}_G|}$ خوب مشتق بگیرم $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{{\overrightarrow{H}}_G}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})$ عبارت زیر جایگذاری کنم $(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})=\overrightarrow{\omega}\times\hat{j} $ از مفهوم ضرب خارجی $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{(I_z-I_x)\omega_z\omega_x}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}$ هنگامی که مقادیر Ix وIz با یکدیگر برابر باشند $\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} $ نیز صفر هست $\omega_x=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=0 $ و ωp را برحسب یکدیگر محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه θ همیشه ثابت است، تکانه زاویهای را میتوان به صورت زیر و در دستگاه مختصات xyz بیان کرد.$ \large {\overrightarrow{H}}_G=(|{\overrightarrow{H}_G}|\cos\theta)\hat{j}+(|{\overrightarrow{H}_G}|\sin\theta)\hat{k}$ لذا خوب دارم $\large\omega_s=\omega_p\cos\theta\frac{I_w-I_{Gy}}{I_{Gy}} $