هوپا، انجمن علم ایران

من حدس میزنم عبارت زیر دیورژانس رو درست ننوشتید و در واقع ورژن صحیحش $\nabla.(\frac{\hat{r}}{r^2})$ هست (یعنی $\hat{r}$ جای $\vec{r}$ باید باشه) ولی با فرض این که صورت مسئله رو درست نوشتید:

این انتگرال رو به حداقل به چهار پنج روش میشه حل کرد. میتونید ترمی که در دیورژانس ضرب شده رو ببرید داخل دیورژانس (یعنی رابطه انتگرال سه گانه رو به شکلی بنویسید که زیر سه تا انتگرال کلا یک دیورژانس باشه و بعد انتگرال حجمی رو بکنید سطحی و روی سطح انتگرال بگیرید. میتونید r هارو بر حسب مختصات کارتازین باز کنید و خیلی عادی شروع کنید به مشتق گرفتن (با توجه به دیورژانس) و انتگرال گرفتن. انتگرال های ساده ای هم به وجود میاد.

اما میتونید به جای خود زنی و پیچوندن لقمه دور سر، از مختصات کروی استفاده کنید. چون تابعی که دیورژانس روش عمل میکنه فقط وابسته به r هست، صرفا جزء اول دیورژانس در مختصات کروی به کارتون میاد که فرم $$\nabla_r= \frac{1}{r^2}\frac{d(r^2 A_r)}{dr}$$
داره. حالا A(r) توی مسئله شما چیزی هست که زیر دیورژانس میبینید. یعنی $1/r$. (دقت کنید که $\vec{r} = |r| \hat{r}$ پس میشه یک r صورت رو با یک r مخرج خط زد) پس
$$\nabla . (\frac{\vec{r}}{r^2})= \frac{1}{r^2}\frac{d(r^2 \times 1/r)}{dr} = \frac{1}{r^2}$$
بعد از ضرب عبارت پشت دیورژانس در حاصل بدست اومده با دوتا انتگرال سه گانه سر و کار دارید.

"ویرایش" توی مختصات کروی $ dv = r^2 sin\theta dr d\phi d\theta $ و میتونید $r^2$ رو خیلی ساده خط بزنید با $r^2$ مخرج و دیگه با دوتا انتگرال سه گانه بسیار ساده 1 و $e^{-r}$ سر و کار دارید که فکر میکنم میتونید حلش کنید.
من اول حواسم به $r^2$ عنصر حجمی نبود، نوشته بودم انتگرال شما واگرا میشه. اما واگرا نمیشه و قابل حل هستش. با این حال حل ورژنی که در اون با انتگرال $\nabla.(\frac{\hat{r}}{r^2})$ سر و کار دارید هم خالی از لطف نیست و توصیه میکنم حلش کنید. جوابشم $8\pi$ میشه.

ممنونم از وقتی که گذاشتین و لطفی که بهم داشتین،اگه سوالی داشتم دوباره مزاحم میشم