- در مورد قانون هوك و انواع فنرها وآزمايش قانون هوك مطلب لازم دارم
قانون هوك
قانون هوك
بنا به قانون هوك ، افزايش طول اجسام با نيروي وارد بر آنها نسبت مستقيم دارد. نمودار نيروي وارد بر آن ، بر حسب افزايش طول آن ، به صورت يك خط راست در مي آيد كه از مبدأ مختصات ميگذرد.
حد كشساني (الاستيك)
اجسام اگر بيش از حد معيني كشيده شوند ،نمودار نيرو بر حسب طول ، به صورت خط راست در نمي آيد .در اين حالت ، اگر نيروي وارد بر جسم را حذف كنيم ، جسم به شكل اولية خود بر نمي گردد. اين حد معين را حد كشساني (الاستيك)مي نامند.
انيميشن قانون هوك:
http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0an ... kesLaw.swf
بنا به قانون هوك ، افزايش طول اجسام با نيروي وارد بر آنها نسبت مستقيم دارد. نمودار نيروي وارد بر آن ، بر حسب افزايش طول آن ، به صورت يك خط راست در مي آيد كه از مبدأ مختصات ميگذرد.
حد كشساني (الاستيك)
اجسام اگر بيش از حد معيني كشيده شوند ،نمودار نيرو بر حسب طول ، به صورت خط راست در نمي آيد .در اين حالت ، اگر نيروي وارد بر جسم را حذف كنيم ، جسم به شكل اولية خود بر نمي گردد. اين حد معين را حد كشساني (الاستيك)مي نامند.
انيميشن قانون هوك:
http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0an ... kesLaw.swf
موجیم که آسودگی ما عدم ماست ... ما زنده به آنیم که آرام نگیریم ...
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3261-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: قانون هوك
ما می دانیم که انرژی پتانسیل الاستیک ذخیره شده در یک سیستم فنر به شرح زیر است: $E=\frac 12k\Delta l $
شما در اینجا توان 2 را از دست می دهید: $E=\frac 12k(\Delta l)^2 $
با استفاده از معادله انرژی بالا ، انرژی ذخیره شده در فنرها برای هر دو سیستم متفاوت است ، از آنجا که k متفاوت است و Δl نیز متفاوت است.با استفاده از معادله انرژی بالا ، انرژی ذخیره شده در فنرها برای هر دو سیستم متفاوت است ، از آنجا که k متفاوت است و Δl نیز متفاوت است.
اگر k متفاوت بود ، بله: انرژی ذخیره شده نیز باید متفاوت باشد.
اگر هر دو متفاوت هستند ، پس شما نمی دانید. در آن زمان نمی توانید نتیجه بگیرید که انرژی متفاوت است. k نصف شده است ، بنابراین اگر$\Delta l $ $\sqrt 2 $ برابر بزرگتر باشد چه می شود؟ سپس همان انرژی ذخیره می شود.فنرهای موازی در تحمل وزن به یکدیگر کمک می کنند. آنها در مجموع می توانند دو برابر نیرو وارد کنند. بنابراین می توانید این سیستم دو فنر را به عنوان یک فنر معادل با سختی دو برابر در نظر بگیرید (از آنجا که اگر فنر را به همان اندازه فشرده کنید$F=kx $با سختی دو برابر k دو برابر می شود):$k_{parallel}=2k $
از آنجا که هر کدام نیمی از بار را حمل می کنند ، هر یک فقط نیمی از آنچه را که تنها بودند فشرده می شوند:$ \Delta l_{parallel}=\frac12\Delta l$
$ E_{parallel}=\frac12(2k)(½\Delta l)^2=\frac12\cdot2\cdot\frac14k(\Delta l)^2=\frac12E_{one\;spring}$,و$E_{series}=\frac12(½k)(2\Delta l)^2=\frac12\cdot\frac12\cdot 4k(\Delta l)^2=2E_{one\;spring} $2
من سعی خواهم کرد که سوال را با بیشتر جزئیات ممکن پاسخ دهم. انرژی ذخیره شده در یک فنر $ \frac{k\Delta l}{2}$ است. فنر به عنوان منبع حرکت ساده هارمونیکی مدل شده است. برای این منظور به معادلات فرم ، $ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\lambda x$ نیاز داریم. بنابراین ، ساده ترین راه برای انجام آن است.
$ \vec{F}=-k\vec{x}$
اکنون ، از انرژی پتانسیل در صورت ایجاد یک نیروی محافظه کار برای تعریف نیرو در آن جنبه استفاده می شود.
$ \vec{F}=-\nabla U\\
\Rightarrow \int\mathrm{d}U=\int\vec{F}.\mathrm{d}\vec{x}=\int_{0}^{\Delta l}kx\mathrm{d}x=\frac{k(\Delta l)^2}{2}\\$
تفاوت سیستم سری با سیستم موازی تغییر مکان در هر فنر است. فرض کنید شما یک سیستم دو فنر k1 و k2 به صورت سری دارید. سپس جابجایی هر فنر به یک نیروی F به ترتیب $ \frac{F}{k_1}$ و $ \frac{F}{k_2}$ خواهد بود و کل جابجایی که حاصل جمع دو جابجایی است به صورت $F/K_{eff} $ مدل می شود. این همان جایی است که نسخه کف خود را در یک سیستم سری دریافت می کنید.$\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}=\frac{F}{k_{eff}} $اکنون ، برای یک سیستم موازی جابجایی که هر فنر از آن عبور می کند تا نیرو را متعادل کند ، همان است. بنابراین ، این معادله به شرح زیر است.$ k_1x+k_2x=k_{eff}x$فنرهای موازی انرژی کمتری نسبت به فنرهای سری ذخیره می کنند ... اما انرژی اضافی به کجا می رود 8
خیر ، هیچ دلیلی وجود ندارد که انرژی ذخیره شده در هر دو حالت یکسان باشد. تنها نیاز این است که کل نیروی تأمین شده توسط هر سیستم فنرها یکسان باشد ، زیرا این دو سیستم از بار یکسانی پشتیبانی می کنند و هر یک در تعادل هستند.
تفاوت در انرژی ذخیره شده به جایی نمی رسد زیرا این دو مورد جداگانه هستند. شما یک مورد را به پرونده دیگر تبدیل نمی کنید.
اگر شما با بار پشتیبانی شده توسط فنرها به صورت سری شروع می کردید و این را به بار پشتیبانی شده توسط فنرها به صورت موازی تبدیل می کردید ، تفاوت در انرژی الاستیک در واقع با اختلاف PE گرانشی بار برابر نیست!کشش در هر فنر باید از W به $ \frac12 W$ کاهش یابد در جایی که W وزن بار است و گسترش هر یک از x به $\frac12 x $ کاهش می یابد. انرژی الاستیک ذخیره شده در یک فنر با کشش W و پسوند $ \frac12 W x$است. کل انرژی الاستیک ذخیره شده در دو چشمه در ابتدا (یعنی به صورت سری)$2\times \frac12 Wx=Wx $ و در نهایت (یعنی موازی) $2\times \frac12 (\frac12 W)(\frac12 x)=\frac14 Wx $ است. کاهش PE الاستیک $\frac34 Wx $ است.
پس از تغییر از سری به موازی ، فنرها در ابتدا یک نیروی رو به بالا 2W را تأمین می کنند در حالی که وزن یک نیروی رو به پایین W. را تأمین می کند. برای جلوگیری از افزایش سیستم ، یک نیروی خارجی اضافی رو به پایین لازم است ، از W شروع می شود و به 0 کاهش می یابد انرژی جنبشی با کاهش کشش. کار انجام شده در برابر این نیروی خارجی برابر با KE است که با رسیدن به موقعیت تعادل ، بار آزاد می شد. در این صورت موقعیت تعادل را بیش از حد گرم می کند و به طور نامحدود نوسان می کند.کار انجام شده بر روی بار (متوسط نیروی x فاصله) توسط دو چشمه$W\times (\frac12 x)=\frac12 Wx $ است که افزایش PE گرانشی آن است. کار انجام شده در برابر نیروی خارجی$(\frac12 W)(\frac12 x)=\frac14 Wx $ است. کل کار انجام شده توسط دو چشمه $ \frac34 Wx$ است.
برای دو چشمه به طور موازی ، جابجایی ها (از تعادل) یکسان هستند و غیره
$ F_{||} = -(k_1 + k_2)\Delta z_{||}$
برای دو فنر سری ، نیروهای بازیابی یکسان هستند و غیره$F_\Sigma = -\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}\Delta z_\Sigma $
اما ، در هر صورت ، نیروی بازیابی کل برای یک توده معلق مشخص یکسان است:$F_{||}= F_\Sigma $
بدین ترتیب $\frac{\Delta z_\Sigma}{\Delta z_{||} } = \frac{(k_1+k_2)^2}{k_1k_2} $
به عنوان مثال ، اجازه دهید k1 = k2 و ببینید که$ \Delta z_\Sigma = 4\Delta z_{||}$
اما تغییر در انرژی پتانسیل جاذبه جرم به طور واضح $ W = mg\Delta h$ و غیره است$W_\Sigma = 4W_{||} $
نوسان در هردو حالت یکی هست$T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $چون $-k_{1}d - k_{2}d - Kmg = m\omega_{a} ^2 x $و$-k_{1}d - k_{2}d - Kmg = m\omega _{b}^2 x $و چون $\omega_{a} = \omega_{b} $لذا $T=\frac{2Pi}{\omega} $پس یکسان هست ضرایب در فنرهای سری $ \large \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdot\cdot\cdot$و موازی $\large k=k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot $انرژی پتانسیل ان $\large U=-\int F dx=\int_{x_{i}}^{x_{f}}kx\ dx=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2) $به طور کلی هست نوسان $ \large m\ddot{x}=ma=F=-kx$و $\large m\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\quad\quad (1) $دقت کنید که از رابطه میان مکان و شتاب در روابط بالا کمک گرفته‌ایم. $\frac{k}{m}=\omega_0^2 $
را در نظر می‌گیریم و به $ \omega_0^2$
فرکانس طبیعی سیستم می‌گوییم. جواب معادله (۱) به صورت زیر به دست می‌آید:$\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) \quad\quad (2) $در اینجا از تنش ها صرف نظر کردم
یک مدل ساده برای فنر سیم پیچ این خواهد بود که ، وقتی فنر تحت نیرو قرار می گیرد ، کل سیم پیچ تحت چرخش $\tau $ قرار می گیرد. این گشتاور باعث پیچ خوردگی سیم پیچ با یک زاویه می شود که می توان با آن تقریب زد ،$ \theta = \frac{l\, \tau}{I\, G},$جایی که θ زاویه پیچش در رادیان است ، l طول سیم پیچ (با طول فنر اشتباه گرفته نشود) ، من لحظه دوم اینرسی مقطع سیم پیچ و G مدول برشی مواد سیم پیچ ساخته شده است.با فرض اینکه سیم پیچ میله ای دایره ای باشد ، بنابراین I برابر می شود ،$ I = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{32} d^4,$
جایی که r و d به ترتیب شعاع و قطر میله هستند.با این حال ثابت فنر چنین فنری مربوط به $\tau $و θ نیست ، بلکه کشیدگی و نیروی (خطی) است. کل فنر دارای طول آزاد L و متشکل از N پیچ با میانگین قطر D است. زاویه سیم پیچ ، α ، به عنوان زاویه ای که سیم پیچ با صفحه نرمال نسبت به محور طول فنر ایجاد می کند ، تعریف می شود. شکل زیر را نیز مشاهده کنید.
تصویر فنر سیم پیچ اگر فنر را روی دشتی مسطح باز کنید ، میله مورب مستطیل با ارتفاع L و عرض $\pi\, N\, D $ خواهد بود. با ترکیب این واقعیت که α زاویه بین مورب و افقی این مستطیل است و بنابراین برابر خواهد بود ،
$\alpha= \tan^{-1}\left(\frac{L}{\pi\, N\, D}\right). $.
رابطه بین θ و ازدیاد ، ΔL را می توان با مشاهده تغییر در α ناشی از کشیدگی ،
$\Delta\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{L+\Delta L}{\pi\, N\, D}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{L}{\pi\, N\, D}\right) = \frac{\pi\, N\, D}{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}\Delta L + O(\Delta L^2).$یعنی تغییر در α برابر است با زاویه پیچش یک چهارم دور فنر ، بنابراین ،
$\theta = 4\, N\, \Delta\alpha \approx \frac{4\, \pi N^2 D}{L^2 + \pi^2 N^2 D^2} \Delta L. $
رابطه بین τ و F را می توان با مشاهده اهرم این گشتاور در فنر،
$ F = \frac{2 \cos(\alpha)}{D} \tau = \frac{2\, \pi\, N\, \tau}{\sqrt{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}}.$
با استفاده از قضیه فیثاغورس می توان نشان داد که طول سیم پیچ برابر است ،
$ l = \sqrt{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}.$
با جایگزینی F و ΔL از این معادلات ، می توان ثابت فنر را با
$ k = \frac{F}{\Delta L} \approx \frac{\pi^3 N^3 d^4 D\, G}{4 \left(L^2 + \pi^2 N^2 D^2\right)^2} = \frac{\pi^3 N^3 d^4 D\, G}{4\,l^4}.$
متن من فرمول ساده تری دارد - با توجه به این واقعیت که $l = 2 \pi N R $ ، برای$k = \frac{r^4 G}{4 R^3 N} $
فنر با مقداری جرم محدودبرای یک فنر که از کشش یکنواختی رنج می برد (یعنی بدون شتاب) ، معادله کشش نیرو$F=ku_L $که در آن شما جابجایی انتهای فنر در x = L نسبت به طول کم تغییر شکل آن است. این معادله همچنین می تواند به صورت بیان شود$F=kL\frac{u_L}{L} $برای فنری که کشش غیر یکنواختی را تجربه می کند (مانند شتاب) ، رابطه متناظر با آن است$ F=kL\frac{\partial u}{\partial x}$جایی که u = u (x) تغییر مکان مقطع فنر است که در موقعیت محوری x در پیکربندی تغییر شکل یافته فنر قرار دارد.اگر تعادل نیروی دوم را در بخش فنر (با شتاب و نوسان) بین x و x + Δx اعمال کنیم ، بدست می آوریم:
$F(x+\Delta x)-F(x)=\frac{m}{L}\Delta x\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $
که در آن m جرم کل چشمه و مشتق جزئی در سمت راست شتاب مقطع در محل x است. اگر با Δx تقسیم کنیم و با نزدیک شدن به صفر Δx حد را بگیریم ، بدست می آوریم:$\frac{\partial F}{\partial x}=kL\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{m}{L}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $و$\frac{kL^2}{m}\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $این معادله موج برای فنر نوسانی است ، با سرعت موج c داده شده توسط$ c^2=\frac{kL^2}{m}$7
بدیهی است به محض شروع به در نظر گرفتن ویژگی های واقع گرایانه یک فنر ، قانون Hook خطی را از دست خواهیم داد (نیرو مستقیماً با پسوند متناسب است) ، که تقریب خوبی برای پسوندهای کوچک است.با این وجود می توانیم سعی کنیم ببینیم که آیا وجود یک جرم ، سینماتیک سیستم را تغییر می دهد یا خیر: بنابراین بیایید به فکر اضافه کردن چگالی جرم به یک چشمه ایده آل کلاسیک باشیم. نتیجه گیری این است که وقتی اکنون فنر را با اعمال نیرویی بر روی آن گسترش می دهید ، مقداری اینرسی فنر خواهید داشت که بیشتر با کشش سریع مخالفت خواهد کرد.بیایید ببینیم این چگونه از یک مدل ساده بوجود می آید. ما همیشه می توانیم انرژی آن را مانند این بنویسیم:E = K + V
جایی که E کل انرژی سیستم است ، K انرژی جنبشی آن و V انرژی پتانسیل است.
با تمرکز بر اصطلاح جنبشی ، می دانیم که می توانیم آن را به عنوان یک انتگرال بر توزیع جرم بنویسیم:$ K=\frac{1}{2}\int_0^L dl \;\lambda\; v^2(l,t)$
که λ تراکم جرم در واحد طول (l) و v (l) سرعت هر نقطه از فنر است (در اینجا l طول فنر را دنبال می کند ، بنابراین یک نقطه بر روی فنر را نشان می دهد). اساساً ما اصطلاح جنبشی استاندارد $ dK=\frac{1}{2}dm \;v^2$ را برای هر قطعه بی نهایت کوچک از رشته جرم dm نوشته ایم.
حالا بیایید به سمت پتانسیل برویم. آیا جرم بر انرژی بالقوه تأثیر می گذارد؟ بیایید از تأثیرات نسبی گرایی (که در انتهای اصطلاح جنبشی جدید و در مدل بدون جرم برای شروع فراموش کردیم) غافل شویم. ما هنوز هم می توانیم جاذبه داشته باشیم: با داشتن جرم غیر صفر ، نقاط رشته با تعامل گرانشی یکدیگر را جذب می کنند. این امر باعث می شود تنظیمات فنری که در آن کمی فشرده شده است (به طوری که همه نقاط کمی به یکدیگر نزدیکتر باشند). اما از آنجا که به نظر می رسد این محاسبه بهم ریخته است و از آنجا که من تصور می کنم فنر شما با حفظ مقدار ثابت الاستیک اصلی ، ما می توانیم معادلات حرکت را فقط با توجه به زمان انرژی E بدست آوریم:
$ \frac{dE}{dt}=\dot{E}\equiv0=\int_0^L\!\!dl\;[\lambda\;\dot{v}(l,t)\;v(l,t)]+\Delta\dot{ x}\left( k\Delta x +F_{ext}\right)$جایی که تشخیص می دهیم$ \Delta\dot{x}=v(L,t)$
در نتیجه ، پسوند حاصل از اعمال نیروی خارجی توسط:
$ k\Delta x=-F_{ext}-\int_0^L\!\!dl\;\lambda\;\dot{v}(l,t)\;\frac{v(l,t)}{v(L,t)}$
این بدان معناست که فقط در حد ایستایی که فنر در آن شتاب گرفتن قانون هوک متوقف شده است ، دوباره معتبر خواهد بود.
شما در اینجا توان 2 را از دست می دهید: $E=\frac 12k(\Delta l)^2 $
با استفاده از معادله انرژی بالا ، انرژی ذخیره شده در فنرها برای هر دو سیستم متفاوت است ، از آنجا که k متفاوت است و Δl نیز متفاوت است.با استفاده از معادله انرژی بالا ، انرژی ذخیره شده در فنرها برای هر دو سیستم متفاوت است ، از آنجا که k متفاوت است و Δl نیز متفاوت است.
اگر k متفاوت بود ، بله: انرژی ذخیره شده نیز باید متفاوت باشد.
اگر هر دو متفاوت هستند ، پس شما نمی دانید. در آن زمان نمی توانید نتیجه بگیرید که انرژی متفاوت است. k نصف شده است ، بنابراین اگر$\Delta l $ $\sqrt 2 $ برابر بزرگتر باشد چه می شود؟ سپس همان انرژی ذخیره می شود.فنرهای موازی در تحمل وزن به یکدیگر کمک می کنند. آنها در مجموع می توانند دو برابر نیرو وارد کنند. بنابراین می توانید این سیستم دو فنر را به عنوان یک فنر معادل با سختی دو برابر در نظر بگیرید (از آنجا که اگر فنر را به همان اندازه فشرده کنید$F=kx $با سختی دو برابر k دو برابر می شود):$k_{parallel}=2k $
از آنجا که هر کدام نیمی از بار را حمل می کنند ، هر یک فقط نیمی از آنچه را که تنها بودند فشرده می شوند:$ \Delta l_{parallel}=\frac12\Delta l$
$ E_{parallel}=\frac12(2k)(½\Delta l)^2=\frac12\cdot2\cdot\frac14k(\Delta l)^2=\frac12E_{one\;spring}$,و$E_{series}=\frac12(½k)(2\Delta l)^2=\frac12\cdot\frac12\cdot 4k(\Delta l)^2=2E_{one\;spring} $2
من سعی خواهم کرد که سوال را با بیشتر جزئیات ممکن پاسخ دهم. انرژی ذخیره شده در یک فنر $ \frac{k\Delta l}{2}$ است. فنر به عنوان منبع حرکت ساده هارمونیکی مدل شده است. برای این منظور به معادلات فرم ، $ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\lambda x$ نیاز داریم. بنابراین ، ساده ترین راه برای انجام آن است.
$ \vec{F}=-k\vec{x}$
اکنون ، از انرژی پتانسیل در صورت ایجاد یک نیروی محافظه کار برای تعریف نیرو در آن جنبه استفاده می شود.
$ \vec{F}=-\nabla U\\
\Rightarrow \int\mathrm{d}U=\int\vec{F}.\mathrm{d}\vec{x}=\int_{0}^{\Delta l}kx\mathrm{d}x=\frac{k(\Delta l)^2}{2}\\$
تفاوت سیستم سری با سیستم موازی تغییر مکان در هر فنر است. فرض کنید شما یک سیستم دو فنر k1 و k2 به صورت سری دارید. سپس جابجایی هر فنر به یک نیروی F به ترتیب $ \frac{F}{k_1}$ و $ \frac{F}{k_2}$ خواهد بود و کل جابجایی که حاصل جمع دو جابجایی است به صورت $F/K_{eff} $ مدل می شود. این همان جایی است که نسخه کف خود را در یک سیستم سری دریافت می کنید.$\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}=\frac{F}{k_{eff}} $اکنون ، برای یک سیستم موازی جابجایی که هر فنر از آن عبور می کند تا نیرو را متعادل کند ، همان است. بنابراین ، این معادله به شرح زیر است.$ k_1x+k_2x=k_{eff}x$فنرهای موازی انرژی کمتری نسبت به فنرهای سری ذخیره می کنند ... اما انرژی اضافی به کجا می رود 8
خیر ، هیچ دلیلی وجود ندارد که انرژی ذخیره شده در هر دو حالت یکسان باشد. تنها نیاز این است که کل نیروی تأمین شده توسط هر سیستم فنرها یکسان باشد ، زیرا این دو سیستم از بار یکسانی پشتیبانی می کنند و هر یک در تعادل هستند.
تفاوت در انرژی ذخیره شده به جایی نمی رسد زیرا این دو مورد جداگانه هستند. شما یک مورد را به پرونده دیگر تبدیل نمی کنید.
اگر شما با بار پشتیبانی شده توسط فنرها به صورت سری شروع می کردید و این را به بار پشتیبانی شده توسط فنرها به صورت موازی تبدیل می کردید ، تفاوت در انرژی الاستیک در واقع با اختلاف PE گرانشی بار برابر نیست!کشش در هر فنر باید از W به $ \frac12 W$ کاهش یابد در جایی که W وزن بار است و گسترش هر یک از x به $\frac12 x $ کاهش می یابد. انرژی الاستیک ذخیره شده در یک فنر با کشش W و پسوند $ \frac12 W x$است. کل انرژی الاستیک ذخیره شده در دو چشمه در ابتدا (یعنی به صورت سری)$2\times \frac12 Wx=Wx $ و در نهایت (یعنی موازی) $2\times \frac12 (\frac12 W)(\frac12 x)=\frac14 Wx $ است. کاهش PE الاستیک $\frac34 Wx $ است.
پس از تغییر از سری به موازی ، فنرها در ابتدا یک نیروی رو به بالا 2W را تأمین می کنند در حالی که وزن یک نیروی رو به پایین W. را تأمین می کند. برای جلوگیری از افزایش سیستم ، یک نیروی خارجی اضافی رو به پایین لازم است ، از W شروع می شود و به 0 کاهش می یابد انرژی جنبشی با کاهش کشش. کار انجام شده در برابر این نیروی خارجی برابر با KE است که با رسیدن به موقعیت تعادل ، بار آزاد می شد. در این صورت موقعیت تعادل را بیش از حد گرم می کند و به طور نامحدود نوسان می کند.کار انجام شده بر روی بار (متوسط نیروی x فاصله) توسط دو چشمه$W\times (\frac12 x)=\frac12 Wx $ است که افزایش PE گرانشی آن است. کار انجام شده در برابر نیروی خارجی$(\frac12 W)(\frac12 x)=\frac14 Wx $ است. کل کار انجام شده توسط دو چشمه $ \frac34 Wx$ است.
برای دو چشمه به طور موازی ، جابجایی ها (از تعادل) یکسان هستند و غیره
$ F_{||} = -(k_1 + k_2)\Delta z_{||}$
برای دو فنر سری ، نیروهای بازیابی یکسان هستند و غیره$F_\Sigma = -\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}\Delta z_\Sigma $
اما ، در هر صورت ، نیروی بازیابی کل برای یک توده معلق مشخص یکسان است:$F_{||}= F_\Sigma $
بدین ترتیب $\frac{\Delta z_\Sigma}{\Delta z_{||} } = \frac{(k_1+k_2)^2}{k_1k_2} $
به عنوان مثال ، اجازه دهید k1 = k2 و ببینید که$ \Delta z_\Sigma = 4\Delta z_{||}$
اما تغییر در انرژی پتانسیل جاذبه جرم به طور واضح $ W = mg\Delta h$ و غیره است$W_\Sigma = 4W_{||} $
نوسان در هردو حالت یکی هست$T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $چون $-k_{1}d - k_{2}d - Kmg = m\omega_{a} ^2 x $و$-k_{1}d - k_{2}d - Kmg = m\omega _{b}^2 x $و چون $\omega_{a} = \omega_{b} $لذا $T=\frac{2Pi}{\omega} $پس یکسان هست ضرایب در فنرهای سری $ \large \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdot\cdot\cdot$و موازی $\large k=k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot $انرژی پتانسیل ان $\large U=-\int F dx=\int_{x_{i}}^{x_{f}}kx\ dx=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2) $به طور کلی هست نوسان $ \large m\ddot{x}=ma=F=-kx$و $\large m\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\quad\quad (1) $دقت کنید که از رابطه میان مکان و شتاب در روابط بالا کمک گرفته‌ایم. $\frac{k}{m}=\omega_0^2 $
را در نظر می‌گیریم و به $ \omega_0^2$
فرکانس طبیعی سیستم می‌گوییم. جواب معادله (۱) به صورت زیر به دست می‌آید:$\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) \quad\quad (2) $در اینجا از تنش ها صرف نظر کردم
یک مدل ساده برای فنر سیم پیچ این خواهد بود که ، وقتی فنر تحت نیرو قرار می گیرد ، کل سیم پیچ تحت چرخش $\tau $ قرار می گیرد. این گشتاور باعث پیچ خوردگی سیم پیچ با یک زاویه می شود که می توان با آن تقریب زد ،$ \theta = \frac{l\, \tau}{I\, G},$جایی که θ زاویه پیچش در رادیان است ، l طول سیم پیچ (با طول فنر اشتباه گرفته نشود) ، من لحظه دوم اینرسی مقطع سیم پیچ و G مدول برشی مواد سیم پیچ ساخته شده است.با فرض اینکه سیم پیچ میله ای دایره ای باشد ، بنابراین I برابر می شود ،$ I = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{32} d^4,$جایی که r و d به ترتیب شعاع و قطر میله هستند.با این حال ثابت فنر چنین فنری مربوط به $\tau $و θ نیست ، بلکه کشیدگی و نیروی (خطی) است. کل فنر دارای طول آزاد L و متشکل از N پیچ با میانگین قطر D است. زاویه سیم پیچ ، α ، به عنوان زاویه ای که سیم پیچ با صفحه نرمال نسبت به محور طول فنر ایجاد می کند ، تعریف می شود. شکل زیر را نیز مشاهده کنید.
تصویر فنر سیم پیچ اگر فنر را روی دشتی مسطح باز کنید ، میله مورب مستطیل با ارتفاع L و عرض $\pi\, N\, D $ خواهد بود. با ترکیب این واقعیت که α زاویه بین مورب و افقی این مستطیل است و بنابراین برابر خواهد بود ،
$\alpha= \tan^{-1}\left(\frac{L}{\pi\, N\, D}\right). $.
رابطه بین θ و ازدیاد ، ΔL را می توان با مشاهده تغییر در α ناشی از کشیدگی ،
$\Delta\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{L+\Delta L}{\pi\, N\, D}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{L}{\pi\, N\, D}\right) = \frac{\pi\, N\, D}{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}\Delta L + O(\Delta L^2).$یعنی تغییر در α برابر است با زاویه پیچش یک چهارم دور فنر ، بنابراین ،
$\theta = 4\, N\, \Delta\alpha \approx \frac{4\, \pi N^2 D}{L^2 + \pi^2 N^2 D^2} \Delta L. $
رابطه بین τ و F را می توان با مشاهده اهرم این گشتاور در فنر،
$ F = \frac{2 \cos(\alpha)}{D} \tau = \frac{2\, \pi\, N\, \tau}{\sqrt{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}}.$
با استفاده از قضیه فیثاغورس می توان نشان داد که طول سیم پیچ برابر است ،
$ l = \sqrt{L^2 + \pi^2 N^2 D^2}.$
با جایگزینی F و ΔL از این معادلات ، می توان ثابت فنر را با
$ k = \frac{F}{\Delta L} \approx \frac{\pi^3 N^3 d^4 D\, G}{4 \left(L^2 + \pi^2 N^2 D^2\right)^2} = \frac{\pi^3 N^3 d^4 D\, G}{4\,l^4}.$
متن من فرمول ساده تری دارد - با توجه به این واقعیت که $l = 2 \pi N R $ ، برای$k = \frac{r^4 G}{4 R^3 N} $
فنر با مقداری جرم محدودبرای یک فنر که از کشش یکنواختی رنج می برد (یعنی بدون شتاب) ، معادله کشش نیرو$F=ku_L $که در آن شما جابجایی انتهای فنر در x = L نسبت به طول کم تغییر شکل آن است. این معادله همچنین می تواند به صورت بیان شود$F=kL\frac{u_L}{L} $برای فنری که کشش غیر یکنواختی را تجربه می کند (مانند شتاب) ، رابطه متناظر با آن است$ F=kL\frac{\partial u}{\partial x}$جایی که u = u (x) تغییر مکان مقطع فنر است که در موقعیت محوری x در پیکربندی تغییر شکل یافته فنر قرار دارد.اگر تعادل نیروی دوم را در بخش فنر (با شتاب و نوسان) بین x و x + Δx اعمال کنیم ، بدست می آوریم:
$F(x+\Delta x)-F(x)=\frac{m}{L}\Delta x\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $
که در آن m جرم کل چشمه و مشتق جزئی در سمت راست شتاب مقطع در محل x است. اگر با Δx تقسیم کنیم و با نزدیک شدن به صفر Δx حد را بگیریم ، بدست می آوریم:$\frac{\partial F}{\partial x}=kL\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{m}{L}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $و$\frac{kL^2}{m}\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} $این معادله موج برای فنر نوسانی است ، با سرعت موج c داده شده توسط$ c^2=\frac{kL^2}{m}$7
بدیهی است به محض شروع به در نظر گرفتن ویژگی های واقع گرایانه یک فنر ، قانون Hook خطی را از دست خواهیم داد (نیرو مستقیماً با پسوند متناسب است) ، که تقریب خوبی برای پسوندهای کوچک است.با این وجود می توانیم سعی کنیم ببینیم که آیا وجود یک جرم ، سینماتیک سیستم را تغییر می دهد یا خیر: بنابراین بیایید به فکر اضافه کردن چگالی جرم به یک چشمه ایده آل کلاسیک باشیم. نتیجه گیری این است که وقتی اکنون فنر را با اعمال نیرویی بر روی آن گسترش می دهید ، مقداری اینرسی فنر خواهید داشت که بیشتر با کشش سریع مخالفت خواهد کرد.بیایید ببینیم این چگونه از یک مدل ساده بوجود می آید. ما همیشه می توانیم انرژی آن را مانند این بنویسیم:E = K + V
جایی که E کل انرژی سیستم است ، K انرژی جنبشی آن و V انرژی پتانسیل است.
با تمرکز بر اصطلاح جنبشی ، می دانیم که می توانیم آن را به عنوان یک انتگرال بر توزیع جرم بنویسیم:$ K=\frac{1}{2}\int_0^L dl \;\lambda\; v^2(l,t)$
که λ تراکم جرم در واحد طول (l) و v (l) سرعت هر نقطه از فنر است (در اینجا l طول فنر را دنبال می کند ، بنابراین یک نقطه بر روی فنر را نشان می دهد). اساساً ما اصطلاح جنبشی استاندارد $ dK=\frac{1}{2}dm \;v^2$ را برای هر قطعه بی نهایت کوچک از رشته جرم dm نوشته ایم.
حالا بیایید به سمت پتانسیل برویم. آیا جرم بر انرژی بالقوه تأثیر می گذارد؟ بیایید از تأثیرات نسبی گرایی (که در انتهای اصطلاح جنبشی جدید و در مدل بدون جرم برای شروع فراموش کردیم) غافل شویم. ما هنوز هم می توانیم جاذبه داشته باشیم: با داشتن جرم غیر صفر ، نقاط رشته با تعامل گرانشی یکدیگر را جذب می کنند. این امر باعث می شود تنظیمات فنری که در آن کمی فشرده شده است (به طوری که همه نقاط کمی به یکدیگر نزدیکتر باشند). اما از آنجا که به نظر می رسد این محاسبه بهم ریخته است و از آنجا که من تصور می کنم فنر شما با حفظ مقدار ثابت الاستیک اصلی ، ما می توانیم معادلات حرکت را فقط با توجه به زمان انرژی E بدست آوریم:
$ \frac{dE}{dt}=\dot{E}\equiv0=\int_0^L\!\!dl\;[\lambda\;\dot{v}(l,t)\;v(l,t)]+\Delta\dot{ x}\left( k\Delta x +F_{ext}\right)$جایی که تشخیص می دهیم$ \Delta\dot{x}=v(L,t)$
در نتیجه ، پسوند حاصل از اعمال نیروی خارجی توسط:
$ k\Delta x=-F_{ext}-\int_0^L\!\!dl\;\lambda\;\dot{v}(l,t)\;\frac{v(l,t)}{v(L,t)}$
این بدان معناست که فقط در حد ایستایی که فنر در آن شتاب گرفتن قانون هوک متوقف شده است ، دوباره معتبر خواهد بود.
