در مورد کره فرض کنید کره ای توپر و رسانا به اندازه یک توپ فوتبال داریم. حالا مرکز این کره به اندازه یک کره با قطر یک سانتیمتر چکالی بار مثبت داریم.
میدان یک ذره باردار روی خودش تاثیر نمیذاره وقتی بار دیگری وجود نداره.
در اینجا هم میدان کره کوچک داخلی به سمت بیرونه و قراره روی بارهای روی مرز کره کوچک به بیرون، اثرش محاسبه بشه.
طبق قانون، تاثیر این میدان بر الکترون های آزاد خارج و لبه مرز، چگالی جریان J جاری میشه و این جریان از تمام مرزهای کره داخلی به سمت بیرون هدایت میشه و dj رو بوجود میاره.
با وجود dJ که باعث میشه dp یا dq از کره خارج بشه، میدان در مرز اولیه کمتر میشه و میدان، خودش رو کم میکنه.
ظاهرا فقط جوابهای بعد از t0 باید معتبر باشند.
اگر به مدت dt از زمان صفر بگذره، (t0 مثبت) و در نظر گرفتن سرعت انتشار میدان، تمام قسمت های کره بزرگ، بیشترین جریان اولیه خودشون رو در t0+ پیدا میکنند که به ازای نقاط مختلف متفاوت میتونه باشه. و از اون لحظه به بعد بیشتر از این مقدار نمیشن. فقط همگی از این مقدار به شکل پیوسته میرا میشن.
برای کره متقارن با یک نقطه بار در مرکز این معادلات به نظر درست و معقول هستند.
خب حالا اگر به جای یک نقطه دو نقطه چکالی بار در کره باشه، به شکل خطی جوابهای اینها برای لحظات بعد از t0 با هم جمع میشن.
نتیجه اینکه حتی اگر کل کره چکالی متغیر و پیوسته اولیه رو داشته باشه، یعنی بینهایت چکالی اولیه، لحظه بعد از t0 کل جریان های اولیه در همه نقاط محاسبه میشن و از اون لحظه به بعد فقط جوابها با هم جمع میشن.
برای 2 نقطه به نظرم یک تناقض هست.
البته چگالی بار برای یک نقطه معنی نداره . (از لحاظ کلاسیکی)
باید یک حجم باشه.
فرض کنیم درون یک توپ به قطر 1 متر و توپر از جنس مس داریم و داخل این توپ در زمان 0 , به اندازه 2 کره هرکدام به قطر 10 سانتی کتر چگالی بار داریم.
2 کره در کنار هم دیگه با فاضه 1 سانتی متر و یکی چگالی بار 1 و دیگری چگالی بار 10.
حالا در لحظه ای بعد طبق معادلات ذکر شده باید چگالی بار تمامی نقاط داخل کره به فرم نمایی کاهش پیدا کنه.(که مسلما به سمت سطح کره رسانا حرکت می کنند.)
ولی تناقض اینه که بعد از 15 پیکوثانیه بار های حرکت کرده از 2 کره به همدیگه می رسند.(اگر سرعت نور در خلاء باشه)
اگ سرعت امواج در مس 720 متر در ثانیه در نظر بگیریم بعد از 7 میکروثانیه بار 2 کره باردار به هم می رسند و با هم جمع می شوند.
در نتیجه رابطه نمایی دیگر صادق نیست.
در مورد سوال شما یه سوال مطرحه و اون اینکه اگر بارها(بدون تاثیر بار خارجی مثل سینوس یا غیره) از یک نقطه مثلا مرکز کره به همه اطراف به اندازه مساوی جاری بشن باز هم میدان مغناطیسی بوجود میاد؟
احتمالا نه، چون جهت بارها به همه اطراف هست همگی همدیگه رو خنثی میکنن.(اینطور به نظر میاد)
کاملا حق با شماست.
زیرا میدان الکتریکی به فرم دیورژانسی خواهد بود و جریان هم همینطور آنگاه کرل میدان الکتریکی 0 خواهد بود و در نتیجه میدان مغناطیسی نخواهیم داشت.
اما مشکل اینه که در عمل هیچ وقت جوابها گسسته نیستند. اما جواب در فرمولها در لحظه t0 گسستگی داریم.
پس علت اینکه فقط جوابهای بعد از t0 معتبرند حتما به کران های شرایطی که ما در عمل ایجاد کردیم بر می گرده. مثلا فرض کنید به جای اینکه مرکز توپ فوتبال چکالی اولیه رو بذارید، در یک گوشه از مرز کره چکالی بگذارید. در این حالت میدان مغناطیسی بوجود میاد و مثل میدان خارجی بر نقاط دیگه اثر میذاره.
این مسئله رو من عدم تقارن جریان در نظر می گیرم. مشخصه که اگر بار در نزدیکی مرز کره باشه پس از مدتی تقارن کروی جریان به هم خواهد خورد. در نتیجه معادلات عوض خواهند شد.
ولی مشکل اینه که این 3 معادله ای که من نوشتم و تو کتاب چنگ هست , اجازه دخالت شرایط مرزی و میدان مغناطیسی را نمی دهند.
بلکه فقط بر اساس چگالی بار اولیه , به صورت نمایی چگالی بار را تعیین میی کنند.
3 معادله : 1_قانون پیوستگی 2_قانون گوس 3_نسبت جریان به میدان الکتریکی (4_فرض عادی و همه سو یکسان بودن ماده.)
اگر سرعت حدی حرکت بار در رسانای اهمی رو هم در نظر بگیریم فقط فرم معادله دیفرانسیل تغییر کرده و از نمایی به فرمی دیگر تبدیل می شود ولی شرایط مرزی و میدان مغناطیسی دخالت نخواهند کرد.
اما برای یک رسانای کوچک، میدانهای خارجی ناشی از مرزهای شکل هندسی رسانا، کرانها و غیره مداخله میکنه.
برای دخالت این ها باید حداقل یک تغییر در معادلات ذکر شده ایجاد بشه.
من فکر کنم شاید مشکل رو پیدا کردم.
معادله پیوستگی و قانون گوس و همه سو یکسان بودن ماده و اهمی و عادی بودن ماده ایراد ندارند.
من جریان diffusion رو در نظر نگرفتم.
https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusionسوال دیگه اینه که سرعت انتشار بار در داخل رسانا سرعت نور در خلا است یا سرعت انتشار موج داخل رسانا های خوب؟
مثلا سرعت انتشار موج در داخل مس 720 متر در ثانیه است.
مشکل اینه که تاثیر بار های کناری بر چگالی بار نقطه مورد نظر وارد نمی شه.(یعنی معادله چگالی بار همگن است)
یعنی اگر نقاط کناری بر چگالی بار تاثیر می گذاشتند آنگاه معادله چگالی دیگر همگن نمی بود.
زیرا تغییرات چگالی بار با دیورژانس جریان رابطه داره و دیورژانس جریان Drift با دیورژانس میدان و دیورژانس میدان با چگالی بارخود نقطه مورد نظر رابطه دارد نه چگالی بار دیگر نقاط.
یعنی اگر از نقاط کناری به نقطه مورد نظر میدانی وارد شود, دیورژانس میدان تغییری نکرده و صرفا جریانی بوجود خواهد آمد که ورودی و خروجی بار آن نقطه یکسان خواهد بود.
فکر کنم آثار نسبیتی و سرعت انتشار میدان و موج هم باید تاثیر گذار باشد.
شاید هم آثار سرعت حدی باعث بشه که قضیه جمع آثار برهم بخورد و عملا با افزایش جریان حاصل از نقاط کناری , ماده غیر همه سو یکسان شود و مثلا اگر از سمت راست ماده میدانی به سمت بیرون اعمال شود, آنگاه جریانی غیر دیورژانسی در اثر این میدان در نقطه سمت چپ ایجاد شده و سرعت به سمت چپ به سرعت حدی نزدیک می شود.
در نتیجه رسانندگی ماده به سمت چپ کاهش پیدا کرده و رسانندگی به سمت راست افزایش پیدا می کند و اگر چگالی باری باشد , بیشتر علاقه دارد به سمت راست منتقل شود تا اینکه بخواهد به چپ برود.
ولی اثر سرعت حدی خیلی کم است.
همچنین اثر Diffusion هم فقط به چگالی بار خود آن نقطه بستگی دارد و آثار Diffusion و Drift مشکل همگن بودن معادله چگالی بار را حل نمی کنند.
من فکر کنم اثر نسبیتی مشکل را حل کند.
اگر اثر نسبیتی رو در نظر نگیریم بار الکتریکی با سرعت بی نهایت گذر کرده و با سرعت بی نهایت از نقطه دارای چگالی بار به مرز رسانا منتقل شده و اثری بر دیگر نقاط داخل رسانا احساس نمی شود.
این اثر نسبیتی رو چه طور باید در نظر گرفت؟
مشکل اینه که تاثیر بار های کناری بر چگالی بار نقطه مورد نظر وارد نمی شه.(یعنی معادله چگالی بار همگن است)
یعنی اگر نقاط کناری بر چگالی بار تاثیر می گذاشتند آنگاه معادله چگالی دیگر همگن نمی بود.
پس با در نظر گرفتن اثر نسبیتی باید یکی از شرایطی که در نظر گرفتیم عوض شود.
به نظرم یک مثال می تواند در روشن شدن کمک کند:
فرض کنیم جریان الکتریکی یکنواختی هست از راست به چپ در رسانای نا محدود.
در هر نقطه میزان ورود بار و خروج آن یکی است.
اگر این جریان به صورت تابع پله از یک مرز در یک زمان شروع شود بنابراین باید یک جبهه جریان شروع به حرکت کند.
میزان بار الکتریکی خارج شده از مبدا برابر است با جریان ضرب در زمان و این میزان بار الکتریکی در طول سطح مقطعی که این جبهه از آن عبور کرده وجود دارد. پس چگالی بار الکتریکی این حجم محصور بین جبهه جریان و مبدا مقداری دارد.
بنابراین با جریانی که دیورژانس هم ندارد, چگالی بار الکتریکی تغییر می کند.فکر کنم جواب به فرم مقابل ساده می شود:
[tex]\rho =\vec{u}.\vec{J}[/tex]
در اینجا u سرعت انتشار جبهه جریان است.که من نمی دونم سرعت نوره یا سرعت انتشار موج.
J خود چگالی جریان است.
و روو چگالی بار حاصل از جریان غیر دیورژانسی است که باید با دیگر چگالی های جریان جمع شود.
بنابراین چگالی بار الکتریکی حاصل از 2 عامل داخلی و خارجی است.
خود J حاصل تاثیر تمامی میدا های الکتریکی و در نتیجه تمامی چگالی های بار الکتریکی و حتی میدان مغناطیسی و امواج و ... خواهد بود.
