چگونه مرکز جرم میله هنگام سقوط تغییر می کند؟کدام نیرو مرکز جرم میله را جابجا می کند؟ بدنه سفت و سخت و سطح آن زبر است. و چگونه می توان بقا در انرژی را در محاسبه سرعت زاویه ای در حضور اصطکاک اعمال کرد؟به همان روشی که من آن را توصیف می کنم، اصطکاک کافی برای ثابت ماندن انتهای پایینی میله وجود دارد. سطح خشن و نقطه P سپس مانند لولا عمل می کنند.
اگر میله کاملاً عمودی باشد ، یعنی زاویه بین میله و افقی $\theta=\frac{\pi}{2}$ باشد ، میله در تعادل کامل است و سقوط نخواهد کرد.
اما آیا ما یک اغتشاش کوچک ایجاد می کنیم ، به طوری که $\theta<\frac{\pi}{2}$ ، یک گشتاور τ در مورد نقطه P ایجاد می شود ، ناشی از بردار وزن$\vec{mg}$ longer دیگر از P عبور نمی کند. با L طول میله به دست می آید:$\tau=\frac{L}{2}mg\cos\theta$
(در واقع توجه داشته باشید که برای $\theta=\frac{\pi}{2}$داریم$\cos\theta=0$ ، بنابراین در آن شرایط گشتاور شتابی وجود ندارد)
این گشتاور باعث شتاب زاویه ای $\ddot{\theta}$ در مورد P می شود. طبق گفته نیوتن برای اجسام چرخان و با من لحظه اینرسی میله در مورد نقطه P:
$\tau=I\ddot{\theta}$
با هر دو معادله:$I\ddot{\theta}=\frac{L}{2}mg\cos\theta$این معادله حرکت میله است.و چگونه می توان صرفه جویی در انرژی را در محاسبه سرعت زاویه ای در حضور اصطکاک اعمال کرد؟
تغییر در انرژی پتانسیل ΔU بین حالت اولیه و نهایی:$\Delta U=mg\frac{L}{2}$
زیرا $\frac{L}{2}$ تغییر در ارتفاع مرکز ثقل میله است.تغییر در انرژی جنبشی ΔK ، با فرض اینکه سرعت زاویه ای نهایی $\dot{\theta}$ است:$\Delta K=\frac12 I\dot{\theta}^2$
$\dot{\theta}$ را از صرفه جویی در انرژی پیدا کنید:$\Delta U=\Delta K$و$\frac12 I\dot{\theta}^2=mg\frac{L}{2}$و$\dot{\theta}=\sqrt{\frac{mgL}{I}}$
معادله حرکت برای یک میله در حال سقوط (با یک انتهای آن لمس یک سطح بدون اصطکاک)
من یک سوال سریع در مورد معادله حرکت برای یک میله در حال سقوط (با یک انتها لمس یک سطح بدون اصطکاک) دارم. پایان لمس سطح ثابت نیست. لحظه اینرسی در مورد مرکز جرم به من داده می شود. فقط گرانش بر روی میله عمل می کند. میله از زاویه θ روی زمین شروع می شود.
من می دانم که میله در اطراف مرکز جرم خواهد چرخید ، و نقطه ای که سطح آن را بدون اصطکاک لمس می کند در امتداد سطح می لغزد ، اما من در محاسبه گشتاور مشکل دارم. برای مرجع ، انتهای سمت چپ میله در حال لمس سطح است و انتهای سمت راست در هوا است. من گشتاور ، τ را از بازوی لحظه مناسب به عنوان $\tau=\frac{mg\cos{\theta}}{4I_G}$ محاسبه کرده ام زیرا نیمه راست میله حاوی نیمی از جرم و نیمی از طول است. من واقعا نمی دانم که چگونه گشتاور کل خالص را محاسبه کنم.از آنجا که سطح بدون اصطکاک است ، فقط نیروی عمودی وجود دارد. گشتاور با نیروی عادی سطح ضربدر فاصله افقی تا مرکز جرم (c.o.m.) داده می شود. اکنون نیروی عادی به شتاب عمودی c.o.m. بستگی دارد. - شما می دانید که شتاب c.o.m. نتیجه تمام نیروهایی است که بر روی جسم وارد می شوند ، در این مورد فقط$F_n-mg$ است.
اکنون فقط باید رابطه بین این دو را بنویسید - گشتاور باعث شتاب زاویه ای می شود ، که به نوبه خود منجر به تغییر شتاب عمودی می شود. برای جرم m ، طول 2ℓ ، لحظه اینرسی $I = \frac{1}{3}m\ell^2$ (چرخش در مورد مرکز جرم!) ، زاویه θ به قائم (عمودی: θ = 0) ، می توان معادلات زیر را نوشت:شتاب زاویه ای:$I\ddot\theta = F_n \ell \sin\theta\\
\frac13m\ell^2 \ddot\theta= F_n\ell\sin\theta$و $\ddot\theta = \frac{3F_n\sin\theta}{m\ell}\tag1$و$y = \ell \cos\theta$و$\ddot{y} = -\ddot\theta\ell\cos\theta \tag2$و$\Gamma = I\ddot\theta\tag3$و$F_n - mg = m\ddot{y}\tag4$ نتیجه$F_n = mg - 3F_n\sin\theta\cos\theta\\
=\frac{mg}{1+3\sin\theta\cos\theta}$و در آخر گشتاور به شرح زیر است:$\Gamma = F_n\ell\sin\theta\\
= \frac{mg\ell\sin\theta}{1+3\sin\theta\cos\theta}$
اگر میله مانند این عکس با زمین در تماس است
پس معادلات حرکت هستند
$\begin{aligned}
F & = m \ddot{x}_C \\
N - m g & = m \ddot{y}_C \\
N \frac{\ell}{2} \sin\theta + F \frac{\ell}{2} \cos\theta & = I_C \ddot\theta
\end{aligned}$
با محدودیت های حرکتی$\begin{aligned}
\dot{x}_C & = \dot{x}_A - \frac{\ell}{2}\cos\theta \dot\theta &
\ddot{x}_C & = \ddot{x}_A - \frac{\ell}{2}\cos\theta \ddot\theta + \frac{\ell}{2}\sin\theta \dot{\theta}^2 \\
\dot{y}_C & = - \frac{\ell}{2}\sin\theta \dot\theta &
\ddot{y}_C & = - \frac{\ell}{2}\sin\theta \ddot\theta- \frac{\ell}{2}\cos\theta \dot{\theta}^2
\end{aligned}$
و خواص تماس$F = 0 \\ N > 0$
موارد فوق توسط$\boxed{ \begin{aligned}
\ddot\theta & = \frac{ m \frac{l}{2} \sin\theta \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\
N & = I_C \frac{ m \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\
\ddot{x}_C & = 0 \\
\ddot{y}_C & = - \frac{ \frac{\ell}{2} \left( I_C \dot{\theta}^2 \cos\theta + m \frac{\ell}{2} g \sin^2\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\
\end{aligned} }$اکنون گشتاور مرکز جرم است
$\begin{aligned} \tau_C & = N \frac{\ell}{2} \sin\theta + F \frac{\ell}{2} \cos\theta \\
& = \frac{\ell}{2} N \sin\theta \\
& = I_C \frac{ m \frac{l}{2} \sin\theta \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \end{aligned}$
توجه: علامت گذاری $\dot{x}_C$ و $\ddot{x}_C$ به معنی سرعت و شتاب نقطه C در طول جهت x است. به طور مشابه برای بقیه اجزای سرعت / شتاب بالا. توجه کنید که این مشکل چقدر پیچیده تر از آن چیزی است که در ابتدا فکر می کردید.فرض می کنم سرعت افقی اولیه صفر باشد. در غیر این صورت ، ما فقط می توانیم چارچوب مرجع را تغییر دهیم.
اگر سطح افقی باشد ، این در واقع یک سیستم محدود کننده فقط با یک درجه آزادی است:نیروی محدود کننده جهت عمودی دارد.نیروی گرانش جهت عمودی دارد.بدون اصطکاک این تنها نیرو در جهت افقی خواهد بود.به همین دلایل من فقط شتاب مرکز جرم را در جهت عمودی خواهم داشت و می توانم معادلات خود را به حرکت عمودی متمرکز کنم
حتی اگر از آن در زیر استفاده نکنیم ، برخی از نکات مربوط به تولید گشتاور: نیروی محدود کننده بر روی نقطه تماس عمل می کند. نیروی شمارنده نیروی اینرسی است که بر روی مرکز جرم تأثیر می گذارد. طول اهرم موثر $\frac l2\cos(\theta)$ است.
با این وجود ، من نمی خواهم معادلات تعادل را یادداشت کنم. من برخی از اصول مکانیک محدودیت را ترجیح می دهم. به عنوان مثال اصل لاگرانژ.
اگر دوست دارید می توانید از θ به عنوان مختصات کلی استفاده کنید.$\frac l2\cos(\theta)$و $T = \frac m2 \dot h^2 + \frac{J}2\dot\theta^2$
با $\frac{d}{dt}h(\theta(t)) = \frac l2\cos(\theta)\dot\theta$ و $\frac{d}{dt}h(\theta(t)) = \frac l2\cos(\theta)\dot\theta$با لحظه اینرسی J برای چرخش های مرکز جرم. من توضیح بیشتری در این مورد نمی دهم زیرا این امر به میله بستگی دارد.$T = \frac {ml}8 \cos^2(\theta)\dot\theta^2 + \frac{J}2\dot\theta^2$لاگرانژ$L(\theta,\dot\theta) = T-U = \frac {ml}8 \cos^2(\theta)\dot\theta^2 + \frac{J}2\dot\theta^2 - mg\frac l2\sin(\theta)$معادله لاگزانژ $\frac{d}{dt}\left(\partial_{\dot\theta} L\right)-\partial_\theta L = 0.$این در واقع معادله حرکت است.$\frac{d}{dt}\left(\left(\frac{ml}{4}\cos^2(\theta)+J\right)\dot\theta\right)
-\left(-\frac{ml}4\cos(\theta)\sin(\theta)\dot\theta^2-mg\frac l2\cos(\theta)\right)=0$
امیدوارم اشتباهات زیادی نکرده باشم
