تعریف شتاب متغیر ؟؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1444

سپاس: 3078

جنسیت:

تماس:

Re: تعریف شتاب متغیر ؟؟

پست توسط rohamjpl »

شتاب زمانی یکنواخت (یا ثابت) گفته می شود که تغییرات مساوی در سرعت در بازه های زمانی مساوی رخ دهد. اگر تغییرات سرعت در بازه‌های زمانی یکسان نباشد، شتاب متغیر است.
اگر میانگین شتاب بین نقاط مختلف مسیر خود، چه از نظر قدر یا در جهت یا هر دو از نظر قدر و جهت متفاوت باشد، گفته می‌شود که جسم با شتاب متغیر در حال حرکت است.پاسخ: به عنوان مثال از شتاب متغیر افزایش سرعت به مقدار نامساوی با فاصله مساوی است. به عنوان مثال، خودرویی در حال حرکت در یک خیابان شلوغ است، زمانی که خودرو فضا پیدا کند با سرعت بیشتری حرکت می کند و اگر در شلوغی گیر کند با سرعت کمتری حرکت می کند.
حرکت خطی با شتاب متغیر من یک جرم m را که روی x = 0 قرار دارد روی میز بدون اصطکاک متصل به فنر با مقداری k به مقدار A می کشم رها میکنم . سرعت آن در x=0 چقدر خواهد بود؟
من می دانم چگونه آن را با استفاده از قانون بقای انرژی حل کنم اما به عنوان یک چالش می خواستم راه حلی را بدون آن پیدا کنم.
بنابراین از قانون دوم نیوتن واضح است که$a = k*x/m.$. اما من نمی دانم چگونه آن را برای یافتن سرعت ادغام کنم زیرا $a = f(x(t)).$.من فکر می کنم من میتونم از حساب دیفرانسیل استفاده کنیم
$a = {-kx \over m}$
$a = {\operatorname{d}\!({1 \over 2}v^2)\over\operatorname{d}\!x}$
$\therefore -{1 \over 2}v^2 = \int {k \over m} x dx = {k \over 2m}x^2+c$
وقتی x=A، v=0: و$\therefore c = +{kA^2 \over 2m}$
$\therefore v = +\sqrt{{-kx^2+kA^2 \over m}}$
خوب من گفتم x=0 پس $v=\sqrt{{kA^2 \over m}}$
این همان نتیجه ای است که با استفاده از انرژی دریافت می کنید.
(من فرض کرده ام که نیرویی که باعث جمع شدن فنر می شود F = -kx است.
روش دوم که من دیدم اگر a(x) را می دانید، از فرمول های زیر استفاده کنید ( مشتق شده از$a = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} v$
$\frac{1}{2} v(x)^2 = \int a(x)\,{\rm d}x + C_1$
$t = \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x + C_2$
جایی که ثابت های C1و C2 از شرایط اولیه پیدا می شوند.
مثال:$a(x)=-\frac{k}{m} x$
$\frac{1}{2} v(x)^2 = \int \text{-}\frac{k}{m} x \,{\rm d}x + C_1 = \frac{k\, (A^2-x^2)}{2\,m}$برای v=0 در x=A
. موارد فوق برعکس شده است$v(x) = \sqrt{ \frac{k\,(A^2-x^2)}{2 m} }$
سپس راه حل $v(0) = \sqrt{ \frac{k\,A^2}{2 m} }$ است
زمان برای به دست آوردن پیچیده تر است
$t = \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x + C_2 = C_2 + \int \frac{ \sqrt{ \frac{m}{k} } }{ \sqrt{A^2-x^2} } \,{\rm d}x = \sqrt{ \frac{m}{k}} \left( \arccos\left(\frac{x}{A}\right) \right)$
برای x=Aدر t=0 . این برای معکوس است
$x(t) = A \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right)$
مثال
یک ذره P در امتداد محور x حرکت می کند. جابجایی xm از O را می توان به عنوان تابعی از $x = t^5 - 12t^2 +9.$ نوشت.
فرمول شتاب را پیدا کنید.
راه حل
برای یافتن شتاب از جابجایی، باید دو بار تفکیک کنیم. تمایز یک بار، $v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \left(5t^4 - 24t\right)\mathrm{ms^{-1} }.$ را به دست می‌دهد.
این معادله سرعت ذره است. تمایز دوباره فرمول شتاب ذره $a = \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = \left(20t^3 - 24\right)\mathrm{ms^{-2} }.$ را به ما می دهد.
مثال کار شده: یکپارچه سازی
مثال کار شده: جابجایی در t=10
یک ذره Pدر امتداد محور x حرکت می کند. شتاب $a\mathrm{ms^{-2} }$ از O را می توان به عنوان تابعی از $a = t + 19.$ نوشت. فرض کنید می دانیم که وقتی t=0، x=0 داریم و وقتی t=4، x=10 داریم. جابجایی را وقتی t=10 پیدا کنید
راه حل
ابتدا با ادغام معادله شتاب $v = \int t + 19 \:\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}t^2 + 19t + c.$ می توانیم سرعت را پیدا کنیم.
اکنون که سرعت را داریم می‌توانیم دوباره ادغام کنیم تا جابجایی $x = \int \dfrac{1}{2}t^2 + 19t + c \:\mathrm{d}t = \dfrac{1}{6}t^3 + \dfrac{19}{2}t^2 + ct + k.$ را پیدا کنیم. از این سوال می دانیم که ذره وقتی t=0 حرکت نکرده است (x=0). می‌توانیم از این اطلاعات برای یافتن مقدار k با جایگزینی x=0 و t=0 در معادله جابجایی بالای $\begin{align} x &= \dfrac{1}{6}t^3 + \dfrac{19}{2}t^2 + ct + k,\\ 0 &= 0 + k,\\ \ k&=0. \end{align}$ استفاده کنیم. حال، ما همچنین می دانیم که وقتی t=4، x=10 داریم. جایگزینی این مقادیر و تنظیم k=0 در معادله جابجایی ما را قادر می سازد تا مقدار c را پیدا کنیم. $\begin{align} x &= \dfrac{1}{6}t^3 + \dfrac{19}{2}t^2 + ct,\\ 10 &= \dfrac{4^3}{6} + \dfrac{19\times 4^2}{2} + 4c,\\ 10& - \dfrac{32}{3} - 152 = 4c,\\ \ c &=-\dfrac{229}{6}. \end{align}$. جایگزین کردن این مقدار از c در معادله جابجایی، معادله ای را فقط در x و $x = \dfrac{1}{6}t^3 + \dfrac{19}{2}t^2 -\dfrac{190}{3}.$ به ما می دهد. جایگزینی در t=10، $\begin{align} x &= \dfrac{1}{6}t^3 + \dfrac{19}{2}t^2 -\dfrac{190}{3},\\ &= \dfrac{1}{6}\times 10^3 + \dfrac{19}{2}\times 10^2 -\dfrac{190}{3},\\ &= 1053.33 \mathrm{m} \text{ (to }2\text{ d.p.)} \end{align}$ به دست می‌دهد.
مثال سوم
فرض کنید دو بار مثبت A و B وجود دارد، هر دو با جرم مساوی m و مقدار بار یکسان q. فاصله اولیه بین انها r است. و سرعت اولیه B نسبت به A 0 است..
فرض کنید سیستم مختصات مرجع از A به عنوان مبدا و AB به عنوان محور x استفاده می کند. r فاصله ای است که B تحت نیروی کولن حرکت می کند
$F(t)=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0\left(R+r(t)\right)^2}$
سپس ODE غیرخطی مرتبه دوم را بدست آوردم:
$\frac{dr(t)}{dt}=v(t)$و
$\frac{d^2r(t)}{dt^2}=\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=2\frac{F(t)}{m}=\frac{q^2}{2\pi m\epsilon_0\left(R+r(t)\right)^2}$با شرایط اولیه/مرز$r(t)=0,\quad r'(t)=0$
سوالات عبارتند از: چگونه جواب دقیق r(t) را پیدا کنم
ODE چگونه جواب دقیق t(r) را پیدا کنم
تابع معکوس r(t) کدام است؟ابتدا متغیر $u(t)=R+r(t)$ را تعریف میکنم
، بنابراین معادله شما را می توان به صورت زیر قرار داد:
$\begin{equation}
{d^2u\over dt^2}={k\over u^2}, \text{ where $k$ is a constant}
\end{equation}$ که k یک ثابت است سپس در du/dt ضرب کنید
هر دو طرف این معادله را نوشته
$\begin{eqnarray}
&&{du\over dt}{d^2u\over dt^2}={k\over u^2}{du\over dt}\\
&\Rightarrow&{1\over 2}{d\over dt}\left({du\over dt}\right)^2=-{d\over dt}\left({k\over u}\right)\\
&\Rightarrow&{d\over dt}\left[\left({du\over dt}\right)^2+{2k\over u}\right]=0\\
\end{eqnarray}$سپس ما داریم $\begin{equation}
\left({du\over dt}\right)^2+{2k\over u}=C,\text{ where $C$ is a constant}
\end{equation}$ که در آن C یک ثابت است سرانجام:$\begin{equation}
{du\over dt}=\pm\sqrt{C-{2k\over u}},
\end{equation}$hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست