تلاش من این است که مرکز جرم زنجیره را در نظر بگیرم. مرکز جرم $x_{CM}=\frac{(L-x)^{2}}{2L}$ محاسبه میشود، سپس دوبار تفکیک میکنیم تا بیانی از $a_{CM}$ به دست آید و نیروی خالص روی مرکز جرم را بیابید، منهای گرانش Mg، باید نیرویی برای متوقف کردن زنجیره باشد. در نهایت، نیروی طبیعی وارد بر زنجیره از قبل روی میز $Mg(x/L)$ است سپس با هم جمع کنید. اما مشکل این است که من نتوانستم مشتقات $x_{CM}$ را بفهمم: $v_{CM}=\frac{-(L-x)}{L}\frac{dx}{dt}$ چه چیزی باید dx/dt باشد؟ کسی میتونه راهنماییم کنه؟ یا رویکرد من درست نیست؟ من می دانم که این یک مشکل چالش برانگیز است میز باید وزن طول زنجیره ای را که قبلاً افتاده است نگه دارد و متوقف شود. در همان زمان، نیرویی به آن وارد می شود تا هر طول زنجیره ای را که سقوط می کند متوقف کند. مرکز جرم و سرعت آن در اینجا مهم نیست. چیزی که باید در عوض به آن نگاه کنید، سرعت طول زنجیره ای است که در هر نقطه از زمان به جدول کاهش می یابد، این کلید پاسخ است.
یک زنجیره یکنواخت به طول 𝑳 روی یک میز افقی صاف قرار داده شده است و $𝑳/4$ آن در لبه میز آویزان است. پس از رها شدن، زنجیر از حالت سکون شروع به لیز خوردن از لبه میز می کند. سرعتی که زنجیر درست پس از خروج از میز به لبه میز می لغزد (زنجیر روی زمین نیست) چقدر است؟من تصور می کنم این زنجیره شبیه به این وضعیت است:
از این روانرژی پتانسیل گرانشی زنجیره L/4 = انرژی جنبشی کل زنجیره
$\frac{mgh}{4} = \frac{mv^{2}}{2}
\\ v = \sqrt{\frac {gh}{2}}$
با این حال، پاسخ این است
$𝒗 = \sqrt{\frac{15𝒈𝑳}{16}}$
در عوض تعادل نیرو را در نظر بگیرید.
اجازه دهید x نشان دهنده محور رو به پایین با مبدا در لبه جدول باشد. همچنین، اجازه دهید$l_0$ طول اولیه روی لبه جدول باشد. ما در اینجا اصطکاک را فرض نمی کنیم و تکانه حفظ می شود.
$F = \frac{x}{L}mg$و با استفاده از قانون دوم نیوتن، $m\ddot{x} = \frac{x}{L}mg$. این یک ODE ساده و مرتبه اول را به دست می دهد و با اعمال شرایط اولیه $x(0)=l_0$ و $\dot{x}(0) = 0$، سپس اجازه می دهیم $k=\sqrt{g/L}$
$x(t) = \frac{l_0}{2}\left(e^{kt} + e^{-kt} \right) = l_0 \cosh(kt)$
لحظه ای که آخرین قسمت زنجیره از جدول خارج می شود، زمان$L = l_0 \cosh(kt^*)$ یا $t^* = \frac{1}{k}\text{arcosh}(L/l_0)$ داریم.سپس با $x=L/l_0$ و برخی از هویت ها
$\begin{align}
v^* &= l_0 k \sinh(\text{arcosh}(x)) \\
&= l_0 k \sinh(\ln (x + \sqrt{x^2 - 1})) \\
&= \frac{l_0 k }{2}\left(x + \sqrt{x^2 - 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\right)\\
&= \frac{l_0 k }{2}\left( 2\sqrt{x^2 - 1}\right) \\
\end{align}$جایگزینی در مقادیر و ساده سازی، پاسخ نهایی را به دست می دهد،$v^* = \sqrt{\frac{15 L g}{16}}$
بیایید کلی نگاه کنیم یک زنجیره سنگین یکنواخت به طول a در ابتدا دارای طول b است که از یک میز آویزان شده است. قسمت باقیمانده زنجیر a - b روی میز حلقه می شود. نشان دهید که اگر زنجیره آزاد شود، سرعت زنجیره هنگام خروج آخرین پیوند از جدول $\sqrt{2g\frac{a^3 - b^3}{3a^2}}$ است.
خوب، پس این یک مشکل جرم متغیر است، بنابراین حرکت دائما در حال تغییر است:
$F_{ext}=m(t)g=\frac{dP}{dt}= \frac{d(m(t)v(t))}{dt}=ma +v\dot{m}$
$mg = ma + v\dot{m}$
گرانش روی جرم آویزان از جدول تأثیر می گذارد، جرم را می توان به عنوان تابعی از طول، و همچنین سرعت نوشت (که در آن λ چگالی جرم خطی است)
$m(t) = \lambda l(t)$
$\dot{m(t)} = \lambda v(t)=\lambda \dot {l(t)}$
$v(t) = \dot {l(t)}$
$a(t) = \ddot{l(t)}$
$\lambda l(t)g=\lambda l(t) \ddot{l(t)} + \dot {l(t)} \lambda \dot {l(t)}$
با فرض صحیح بودن همه اینها $0 =l(t)(g -\ddot{l(t)}) +\dot{l(t)}^2$
من سعی کردم این DE را حل کنم، اما روش های زیادی را برای DE های غیر خطی نمی دانم.با ℓ(t) به عنوان طول زنجیره آویزان از میز، معادله دیفرانسیل
$\ell(g-\ddot \ell)=\dot \ell^2$
از سوال را می توان به صورت بازنویسی کرد
$y\dot y=g\ell^2 \dot\ell,$
جایی که $y=\ell \dot\ell$˙. سپس، ادغام در بازه زمانی مناسب، سرعت نهایی را به دست میدهد
$v_f=\sqrt{\frac{2g}{3}\frac{a^3-b^3}{a^2}}$
با این حال، معادله دیفرانسیل بالا نادرست است، زیرا تنش در زنجیره را در نظر نمی گیرد. معادله صحیح باید باشد
$\ddot\ell=\frac{g}{a}\ell,$
دادن سرعت نهایی
که با پایستگی انرژی همخوانی دارد.من راه حل مبتنی بر صرفه جویی در انرژی را فقط برای کامل بودن اضافه می کنم. تغییر در انرژی پتانسیل گرانشی را بر اساس تصویر نوشتم که تکه زنجیره ای که روی میز شروع می شود به صورت عمودی از نقطه b زیر جدول به پایان می رسد (و بقیه زنجیره بدون تغییر است).$\Delta U_g = -g\lambda\int_0^{a-b}(b+x)dx$و$\Delta K = \frac{1}{2}\lambda av^2$جایی که λ جرم در واحد طول زنجیره است.
$\frac{1}{2}av^2 = g[bx + \frac{1}{2}x^2]_0^{a-b}$
$v^2 = \frac{2g}{a}(ba-b^2+\frac{1}{2}a^2-ab+\frac{1}{2}b^2)$
$v = \sqrt{\frac{g}{a}(a^2-b^2)}$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا