اثبات قانون دوم نیوتون

[moghini]

سلام ببخشید کسی میتونه بگه که چراa=f/m?

[Elahe44]

چه سوال جالبی...........
بذار درموردش فکر می کنم

[Clever child]

سلام ببخشید کسی میتونه بگه که چراa=f/m?

چون اگر به جسمی نیرو وارد نشود آن جسم حالت قبلی خود را حفظ می کند
یعنی اگر به جسمی نیرو وارد آوریم حتما افزایش سرعت و در نتیجه شتاب خواهیم داشت
به همین سادگی

[Armin.]

سلام ببخشید کسی میتونه بگه که چراa=f/m?

نیوتن اول اندازه حرکت رو تعریف کرد و بعد وابستگی نیرو و تغییرات اندازه حرکت رو نشون داد :

P=mV ( اندازه حرکت )

قانون دوم نیوتن : آهنگ تغییر اندازه حرکت یک جسم , متناسب با نیروی برآیند وارد بر آن جسم است و در جهت نیرو قرار دارد :

F = dP/dt ---> F=m.dV/dt ---> F=ma ---> a=F/m

[7Aseman]

ضمن عرض سلام این اثباتی داره که با معادلات لاگرانژ حساب میشه خواستید براتون بزارم خیلی سنگین والبته طولانیه.

[moghini]

ضمن عرض سلام این اثباتی داره که با معادلات لاگرانژ حساب میشه خواستید براتون بزارم خیلی سنگین والبته طولانیه.

معادلات مذکور در ویکی پدیا این طور توضیح داده شده که من نتونستم نماد های اون رو کپی پیست کنم اما اون طوری که میبینید لاگرانژ بعد از نیوتون به دنیا اومده نیوتون چه مدلی همچین چیزی رو فهمید؟
مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در 1788 م) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست.( اصل کمترین کنش ) بنا به تعریف، لاگرانژی تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است.

[nimamc2]

بعد از اینکه نیوتون قانون اینرسی خودش رو اثبات کرد یعنی اینکه جسم تمایل داره که مسیر خودش رو در خط راست سیر کنه این نتیجه گیری شد که اگه به جسم هیچ نیرویی وارد نشه و جسم یا در حالت ساکن و یا در حرکت باشد همواره شتاب برابر صفر خواهد بود اما اگر به جسم در چارچوب لخت نیرویی وارد و جسم شتاب بگیره بشه فرمول اون از رابطه f=ma و f=dp/dt و ... بدست خواهد امد.
حال برای بدست اوردن شتاب میتونیم برای بدست اوردن شتاب و تغییر در فرمول f=ma شتاب جسم رو توسط فرمولی که ذکر کردید بدست بیاریم.
بازم سوالی داشتی هستم.

[Cartouche]

خب اول بگم که با استفاده از تکانه نمیتونین بگین ، چون خودش از قانون دوم نتیجه شده.
و دوستانی فرمودند با استفاده از مکانیک لاگرانژی.
خب در ابتدا میپذیرن که


و بعدش رابطه ی انرژی جنبشی مینوسیم.

(به این خیلی توجه کنید بعدا لازم میشه!)
و حالا میتونید از رابطه ی اویلر لاگرانژ استفاده کنید یعنی :



و خب میدونید که L=T-V
پس


و با مشتق گرفتن میرسیم به :



و حالا اینم یه مشتق میگیریم و حساب میکنیم.



و البته بهتره این بالایی رو تعمیمشو در حالت کلی بنویسیم :



(یعنی توی همه ی جهات)
خب حالا ما با یه سری روابط ریاضی رسیدیم به یه فرمول فیزیک ! به نظر شما این مشکل نداره ؟ حالا کمی هوشمندانه تر فکر کنید.به نظر شما ما کجا در این راه حل از یه چیز فیزیکی استفاده کردیم ؟ برگردید به همون فرض اولیه که گفتم بهش توجه کنید ، یعنی رابطه ی انرژی جنبشی.حتما اثبات رابطه ی انرژی جنبش رو بلدید، و معلم دبیرستانتون هم این رو براتون اثبات کرده ! سعی کنید یه بار دیگه اثباتش کنید.میبینید که در جایی از اثباتتون از قانون دوم نیوتون استفاده می کنید.و بدون اون احتمالا نمیتونین بدستش بیارین.
و اینم بگم که اول مکانیک، قوانین نیوتون هست و تکانه و گشتاور و انرژی و مکانیک همیلتونی و ... همه از این در میان ! پس برای اثباتش چیزی بیشتر از روابط مکانیک نیاز دارید. شاید رجوع به طبیعت کمی به دردتون بخوره.

[moghini]

خب اول بگم که با استفاده از تکانه نمیتونین بگین ، چون خودش از قانون دوم نتیجه شده.
و دوستانی فرمودند با استفاده از مکانیک لاگرانژی.
خب در ابتدا میپذیرن که


و بعدش رابطه ی انرژی جنبشی مینوسیم.

(به این خیلی توجه کنید بعدا لازم میشه!)
و حالا میتونید از رابطه ی اویلر لاگرانژ استفاده کنید یعنی :



و خب میدونید که L=T-V
پس


و با مشتق گرفتن میرسیم به :



و حالا اینم یه مشتق میگیریم و حساب میکنیم.



و البته بهتره این بالایی رو تعمیمشو در حالت کلی بنویسیم :



(یعنی توی همه ی جهات)
خب حالا ما با یه سری روابط ریاضی رسیدیم به یه فرمول فیزیک ! به نظر شما این مشکل نداره ؟ حالا کمی هوشمندانه تر فکر کنید.به نظر شما ما کجا در این راه حل از یه چیز فیزیکی استفاده کردیم ؟ برگردید به همون فرض اولیه که گفتم بهش توجه کنید ، یعنی رابطه ی انرژی جنبشی.حتما اثبات رابطه ی انرژی جنبش رو بلدید، و معلم دبیرستانتون هم این رو براتون اثبات کرده ! سعی کنید یه بار دیگه اثباتش کنید.میبینید که در جایی از اثباتتون از قانون دوم نیوتون استفاده می کنید.و بدون اون احتمالا نمیتونین بدستش بیارین.
و اینم بگم که اول مکانیک، قوانین نیوتون هست و تکانه و گشتاور و انرژی و مکانیک همیلتونی و ... همه از این در میان ! پس برای اثباتش چیزی بیشتر از روابط مکانیک نیاز دارید. شاید رجوع به طبیعت کمی به دردتون بخوره.

خیلی ممنون اما ما که از معلم فیزیکمون پرسیدیم گفت اثباتش در سطح دبیرستان مطرح نیست.ما هم هر چی تو اینترنت گشتیم نبود مگر به زبان انگلیسی که خیلی سخت بود.
اما آیا نیوتون این روابط رو نوشت.خودش چه مدلی به این نتیجه رسید؟

[Cartouche]

خب شاید بهتر بود که نوشته مرا کمی با دقت تر میخواندید.من در آخر به این رسیدم که با استفاده از متد لاگرانژ، نمی شود اثباتش کرد. و من فکر میکنم تجربی است. و همینطور اینکه فکر کنم، روش لاگرانژ بعد از نیوتون بوده و بعد از آنهم معادلات همیلتون که از آنجا مکانیک کلاسیک را با کوانتوم ربط می دهند، منحرف نشوم ولی فکر کنم کاملا تجربی است. البته تنها فکر میکنم .

[moghini]

آخه مسئله اینه که نیوتون حرفی زد که برای اولین بار در دنیا گفته شد.
ارسطو درباره ی اثر نیرو بر سرعت جسم گفته:برای اینکه جسمی سرعت ثابت خود را حفظ کند باید به آن نیرو وارد شود و ابوعلی سینا گفته که :اگر به جسمی که به فضا پرتاب میشود نیرویی به سمت زمین وارد نشود آن جسم تا سقف فلک پیش خواهد رفت.
اما نیوتون چنین حرفی مطرح کرده.

[metra70]

با عرض سلام
جناب Cartouche حرف شما متین ولی اگر بخواهیم از نظر تاریخ علم به حرف شما بنگریم متوجه میشویم که انرژی جنبشی بعد
از نظریه جناب نیوتون مطرح شد(البته اگه بنده اشتباه نکنم)، البته اون چیزی که من میدونم اینکه نیوتون برای اثبات قانون دوم
خود از مقاسیه وجود شتاب و عدم آن بر روی یک سطح دایره ای که نیروی به سمت مرکز وارد می کند(گرانی) و با استفاده از
قوانین گالیله و بسط ریاضی آنها به قانون دوم نیوتون تبدیل کرد، وگرنه فکر نکنم زمان نیوتون هنوز دیورژانس ابداع شده باشد که
شما از آن در اثباتتان استفاده کردید!! البته چون من با موبایل هستم نمیتونم برای شما فرمولی بنویسم ولی اگر اشتباه نکرده باشم
شما می توانید از کتاب دست نویس جناب نیوتون به نام(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ) استفاده کنید
این کتاب در گوگل بوک موجود است

[metra70]

اگه اشتباه نکنم کتابش همین هست
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

[Cartouche]

با عرض سلام
جناب Cartouche حرف شما متین ولی اگر بخواهیم از نظر تاریخ علم به حرف شما بنگریم متوجه میشویم که انرژی جنبشی بعد
از نظریه جناب نیوتون مطرح شد(البته اگه بنده اشتباه نکنم)، البته اون چیزی که من میدونم اینکه نیوتون برای اثبات قانون دوم
خود از مقاسیه وجود شتاب و عدم آن بر روی یک سطح دایره ای که نیروی به سمت مرکز وارد می کند(گرانی) و با استفاده از
قوانین گالیله و بسط ریاضی آنها به قانون دوم نیوتون تبدیل کرد، وگرنه فکر نکنم زمان نیوتون هنوز دیورژانس ابداع شده باشد که
شما از آن در اثباتتان استفاده کردید!! البته چون من با موبایل هستم نمیتونم برای شما فرمولی بنویسم ولی اگر اشتباه نکرده باشم
شما می توانید از کتاب دست نویس جناب نیوتون به نام(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ) استفاده کنید
این کتاب در گوگل بوک موجود است

با تشکر از شما مترای عزیز
ای کاش کاملتر نوشته های مرا میخواندید.این برای بار دوم است که می گویم من اثبات نکردم. یه بار دیگه قسمت آخر نوشته منو بخونید. آنجا گفتم که در اثبات من اشکالی هست زیرا من از انرژی جنبشی استفاده کردم که خود از این قانون اثبات می شود. و این نوشته ی من یک اثبات بی اساس است، چون در اثبات حکم از خودِ حکم استفاده شده. (در واقع خودتان هم اشاره کردید که انرژی جنبشی بعد از نیوتون بدست آمده) ، من فقط خطاب به کسانی این رو نوشتم که می گفتند با استفاده از اویلر لاگرانژ ، می شود اثباتش کرد که من گفتم نمی شود.
( به اضافه اینکه من از دیورژانس هم یادم نمیاد استفاده کرده باشم! ، تنها در آخر نوشته ام رو به یه حالت کلی بردم که گفتم جرم ضرب در شتاب هست گرادیانِ V ، البته این تعمیمش خیلی پیچوندم. برای اثباتِ کلیش فکر کنم یه ماتریس ژاکوبین هم باید بنویسیم و کمی سخت تر میشه، ولی همینحوری گفتم. البته وقتی این اثبات غلطه، چه نیازی دیگه به این بحثا هست؟!)

[metra70]

با عرض سلام
جناب Cartouche حرف شما متین ولی اگر بخواهیم از نظر تاریخ علم به حرف شما بنگریم متوجه میشویم که انرژی جنبشی بعد
از نظریه جناب نیوتون مطرح شد(البته اگه بنده اشتباه نکنم)، البته اون چیزی که من میدونم اینکه نیوتون برای اثبات قانون دوم
خود از مقاسیه وجود شتاب و عدم آن بر روی یک سطح دایره ای که نیروی به سمت مرکز وارد می کند(گرانی) و با استفاده از
قوانین گالیله و بسط ریاضی آنها به قانون دوم نیوتون تبدیل کرد، وگرنه فکر نکنم زمان نیوتون هنوز دیورژانس ابداع شده باشد که
شما از آن در اثباتتان استفاده کردید!! البته چون من با موبایل هستم نمیتونم برای شما فرمولی بنویسم ولی اگر اشتباه نکرده باشم
شما می توانید از کتاب دست نویس جناب نیوتون به نام(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ) استفاده کنید
این کتاب در گوگل بوک موجود است

با تشکر از شما مترای عزیز
ای کاش کاملتر نوشته های مرا میخواندید.این برای بار دوم است که می گویم من اثبات نکردم. یه بار دیگه قسمت آخر نوشته منو بخونید. آنجا گفتم که در اثبات من اشکالی هست زیرا من از انرژی جنبشی استفاده کردم که خود از این قانون اثبات می شود. و این نوشته ی من یک اثبات بی اساس است، چون در اثبات حکم از خودِ حکم استفاده شده. (در واقع خودتان هم اشاره کردید که انرژی جنبشی بعد از نیوتون بدست آمده) ، من فقط خطاب به کسانی این رو نوشتم که می گفتند با استفاده از اویلر لاگرانژ ، می شود اثباتش کرد که من گفتم نمی شود.
( به اضافه اینکه من از دیورژانس هم یادم نمیاد استفاده کرده باشم! ، تنها در آخر نوشته ام رو به یه حالت کلی بردم که گفتم جرم ضرب در شتاب هست گرادیانِ V ، البته این تعمیمش خیلی پیچوندم. برای اثباتِ کلیش فکر کنم یه ماتریس ژاکوبین هم باید بنویسیم و کمی سخت تر میشه، ولی همینحوری گفتم. البته وقتی این اثبات غلطه، چه نیازی دیگه به این بحثا هست؟!)

درود جناب Cartouche
حق باشماست، من روزنامه خوانی پست ها رو خوندم، و زیاد با دقت به نوشته های شما نگاه نکردم
به خاطر همین فکر کردم از دیورژانس استفاده کردید(این روزا اینقدر با میدان ها کار کردم که چهار عمل
اصلی رو هم گاهی شبیه ....! میبینم)
ولی گذشته از این حرف ها به قول شما وقتی این اثبات غلطه، چه نیازی دیگه به این بحثا هست؟!