سرعت حضیض تابعی از سرعت دایره ای و خروج از مرکز

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1848

سپاس: 3349

جنسیت:

تماس:

سرعت حضیض تابعی از سرعت دایره ای و خروج از مرکز

پست توسط rohamjpl »

من سعی می‌کنم فرمول‌های ساده‌ای برای مدارهایی که از یک مدار دایره‌ای خاص به عنوان استانداردی برای فاصله و سرعت استفاده می‌کنند، ایجاد کنم و سپس در مورد مدارهای دیگر با اشاره به مدار اول صحبت کنم.
بنابراین یکی از راه‌های تغییر یک مدار این است که فاصله حضیض را ثابت نگه داریم، اما خروج از مرکز را تغییر دهیم و بنابراین سرعت حضیض را تغییر دهیم.
یک مدار دایره ای و یک مدار بیضی شکل
ما می دانیم که شکل نهایی معادله باید با برخی موارد آسان مطابقت داشته باشد
$v=\sqrt 2 ~v_{circular}$
برای مدارهای دایره ای، e=0، تابع ما باید با$\frac{mv_0^2}{r_0}=F=\frac{GMm}{r_0^2}$ مطابقت داشته باشد
وبرای سرعت فرار، e=1، تابع ما باید با$v=\sqrt 2 ~v_{circular}$ مطابقت داشته باشد
(با استفاده از زیرنویس 0 برای مدار مرجع دایره ای، و 1 حضیض و 2 آفلیون است.)
برای مدار مرجع، ما داریم،
$\frac{mv_0^2}{r_0}=F=\frac{GMm}{r_0^2}$
$GM=r_0 v_0^2$
با استفاده از پایستگی انرژی، به دست می آوریم
$E_1=E_2$
$\frac{1}{2} m v_1^2-\frac{GMm}{r_1}=\frac{1}{2} m v_2^2-\frac{GMm}{r_2}$
$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{GM}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{GM}{r_2}$
$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_2}$
$r_1=r_0$
$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$
با استفاده از پایستگی تکانه زاویه ای، به دست می آوریم
$m r_1 v_1=m r_2 v_2$
$v_2=\frac{r_1}{r_2} v_1$
$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} (\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$
$v_1^2-(\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2=2(v_0^2-\frac{r_1}{r_2} v_0^2)$
$v_1^2(1-(\frac{r_1}{r_2})^2)=2 v_0^2(1-\frac{r_1}{r_2})$
بنابراین در اینجا، می‌توانیم ببینیم که جبر در حال گیرکردن است. اگر هر دو طرف را بر $1-\frac{r_1}{r_2}$ تقسیم کنم، این فرمول را از اعمال زمانی که $r_1=r_2$ حذف می‌کند، حذف می‌کند، اما فرمولی که من می‌خواهم باید در آن مورد اعمال شود.
اگر پیش برویم و این تقسیم بندی را به هر حال انجام دهیم، می گیریم
$v_1^2(1+\frac{r_1}{r_2})=2 v_0^2$
$1+\frac{r_1}{r_2}=1+\frac{1-e}{1+e}=\frac{2}{1+e}$
$v_1^2(\frac{2}{1+e})=2 v_0^2$
$v=v_0 \sqrt{1+e}$
که با موارد آسان من در بالا مطابقت دارد. و بنابراین باید راه حل بسیار خوبی باشد.
امااستخراج در اینجا e=0 را حذف کرد، بنابراین من مشکل دارم.
از پایستگی تکانه زاویه ای استفاده کنید تا بگویید که $mv_1r_1 = mv_2r_2 \implies v_1 = v_2$ وقتی $r_1 = r_2.$ باشد. سپس، می توانید توجه داشته باشید که این ناپیوستگی در $v=v_0\sqrt{1+e}$ وقتی e=0 را پر می کند.
یک آرگومان حد ایجاد کنید تا $r_1 \neq r_2$ شروع از آخرین معادله غیر جم شده
$v_1^2\left(1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right)=2 v_0^2\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)$
$v_1^2=2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1}{1+\frac{r_1}{r_2}}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=v_0^2$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست