نقاط لاگرانژی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
Sina Asadi

نام: سینا اسدی

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۰/۴/۲۱ - ۱۳:۲۲


پست: 365

سپاس: 49

جنسیت:

تماس:

نقاط لاگرانژی

پست توسط Sina Asadi »

کسی اطلاعی دربارهی نحوه ی بدست آوردن نقاط لاگرانژی ندارد؟
You know!....the purpose should be somewhere beyond the impossible limits.

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1197

سپاس: 954

Re: نقاط لاگرانژی

پست توسط Cartouche »

شاید این مقاله بدردتون بخوره :
http://wdl.persiangig.com/pages/downloa ... Points.pdf
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1019

سپاس: 679

جنسیت:

تماس:

Re: نقاط لاگرانژی

پست توسط rohamjpl »

درون‌یابی روشی است که با استفاده از آن می‌توان مقدار یک تابع را درون بازه‌ای به دست آورد که مقدار دو نقطه ابتدا و انتهای آن بازه را می‌دانیم از درون‌یابی برای تقریب توابع پیچیده نیز می‌توان استفاده کرد. درون‌یابی با چند جمله ای لاگرانژ (Lagrange Polynomial برای n نقطه روی یک منحنی می‌توان یک چندجمله‌ای با درجه به اندازه کافی بزرگ از آن‌ها عبور داد. یافتن این چندجمله‌ای‌ها اغلب برای افراد دشوار است. برای مثال، سه نقطه (1,1) و
(2,2) و (3,2) را در نظر بگیرید. برای یافتن چندجمله‌ای $y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$که از آن‌ها می‌گذرد، به سادگی می توانیم این سه نقطه را در معادله چندجمله‌ای قرار داده و به معادلات زیر برسیم:$\large \begin {array} {c c l}
1 & = & a _ 0 + a _ 1 + a _ 2 \\
2 & = & a _ 0 + 2 a _ 1 + 4 a _ 2 \\
2 & = & a _ 0 + 3 a _ 1 + 9 a _ 2
\end {array}$فرض کنید n نقطه زیر داده شده‌اند:$\large ( x _ 1 , y _ 1 ) , ( x _ 1 , y _ 1 ) , ( x _ 2 , y _ 2 ) , . . . \ . .. ( x _ i , y _ i ) , . . . \ . . . ( x _ n , y _ n )$و می‌خواهیم یک چندجمله‌ای مرتبه n−1 را به دست آوریم که این نقاط در آن صدق می‌کنند.بدین منظور، تابع زیر را تعریف می‌کنیم:$\large y = \sum _ { i = 1 } ^ n y _ i L _ i ( x )$که همان چندجمله‌ای مورد نظرمان است. در تابع بالا، n تابع $L_i(x)$ را n چند جمله ای لاگرانژ می‌نامیم که ندجمله‌ای‌هایی از درجه n–1 هستند و به صورت زیر تعریف می‌شوند:$\large L _ i ( x ) = \prod ^ n _ { j = 1 , \ j \neq i } \frac { x – x _ j } { x _ i – x _ j }$ مثال $\large L _ 1 ( x ) = \frac { ( x – x _ 2 ) ( x – x _ 3 ) ( x – x _ 4 ) . . . \ . . . ( x – x _ n ) } { ( x _ 1 – x _ 2 ) ( x _ 1 – x _ 3 ) ( x _ 1 – x _ 4 ) . . . \ . . . ( x _ 1 – x _ n ) }$و $\large L _ 2 ( x ) = \frac { ( x – x _ 1 ) ( x – x _ 3 ) ( x – x _ 4 ) . . . \ . . . ( x – x _ n ) } { ( x _ 2 – x _ 1 ) ( x _ 2 – x _ 3 ) ( x _ 2 – x _ 4 ) . . . \ . . . ( x _ 2 – x _ n ) }$ که دو جمله را اوردم
هدف ما یافتن ماکزیمم یا مینیمم تابع f(x,y,z) تحت قید g(x,y,z)=k است. برای نمونه فرض کنید می‌خواهیم با فرض این‌که مساحت جانبی یک معکب مستطیل را داریم، بیشترین حجم ممکن را بدست آوریم.برای بدست آوردن ماکزیمم یا مینیمم تابع f(x,y,z) که تحت قید g(x,y,z)=k قرار گرفته باید مراحل زیر را انجام دهید:1. دو سیستم معادله‌ای زیر را تشکیل دهید.$\large \begin {align*} \nabla f \left( { x , y , z } \right ) & = \lambda \, \, \nabla g \left( { x , y , z } \right ) \\ g \left ( { x , y , z } \right ) & = k \end {align*}$. مقادیر y ،x و z بدست آمده از قدم اول را در f(x,y,z) قرار داده و اکزیمم و مینیمم مقادیر f را بدست آورید.در روابط بالا به λ ضریب لاگرانژ گفته می‌شود. شاید قدم‌های ارائه شده دربالا برای شما گیج کننده باشند، اما در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که می‌تواند در درک موضوع بسیار کمک‌کننده باشد. توجه داشته باشید که دو رابطه ارائه شده در قدم اول، نشان دهنده ۴ معادله است. با باز کردن رابطه مربوط به گرادیان، داریم:$\large \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle = \lambda \left \langle { { g_ x } , { g _ y } , { g _ z } } \right \rangle = \left \langle { \lambda { g _ x } , \lambda { g _ y } , \lambda { g _ z } } \right \rangle$
برای برقراری رابطه فوق، تمامی مولفه‌های دو سمت رابطه، باید با یکدیگر مساوی باشند. بنابراین می‌توان گفت:$\large { f _ x } = \lambda { g _ x } \hspace {0.25in} { f _ y } = \lambda { g _ y} \hspace {0.25in} { f _ z } = \lambda {g_z}$از من خواستند محورهای یک بیضی را پیدا کنم تحت معادله $5x^2 + 8xy + 5y^2 = 9$من ابتدا به صورت دو تا معادله $g(x,y)$و$f(x,y)$میارم رابطه زیر برقرار هست $\nabla f(x,y) = -\lambda \nabla g(x,y)$اول $f(x,y) = 5x^2 + 5y^2 - 1 = 0$و دوم $g(x,y) = 8xy - 8 = 0$ اینو میگم قید ان که $\nabla f(x,y) = (10x, 10y) \quad \nabla g(x,y) = (8y, 8x)$و$\begin{cases} 10x = -\lambda 8y \\
10y = - \lambda 8x \end{cases}$خوب با تابع $F(x,y,\lambda)=x^2+y^2-\lambda(5x^2+8xy+5y²-9)$ امتحان کنم$\begin{cases}
2x=\lambda(10x+8y)\\
2y=\lambda(8x+10y)
\end{cases}
\implies\frac{2x}{10x+8y}=\frac{2y}{8x+10y}\implies x^2=y^2.$خوب نتیجه $\begin{cases}
y=x:&2x^2=1;\\
y=-x:&2x^2=9,
\end{cases}$خوب من برای $a=3, b=1$
با استفاده از روش ضریب لاگرانژ ، حداکثر و حداقل مقادیر تابع را پیدا کنید$f(x,y,z) = x^2y^2z^2$,وقتی جایی که (x ، y ، z) روی کره است خوب من $x^2 +y^2 +z^2 = r^2$ رانوشته$L(x,y,z;\lambda)=x^2y^2z^2 + \lambda (x^2 +y^2 +z^2-r^2)$من $\bigg(\pm \frac r {\sqrt 3},\pm \frac r {\sqrt 3},\pm \frac r {\sqrt 3}\bigg)$خوب ضریب صفر شد چون $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ باشد. نوشتن $\nabla f = \lambda \nabla g$ منجر می شود$xy^2z^2 = \lambda x \\
x^2yz^2 = \lambda y \\
x^2y^2z = \lambda z \\
\implies \lambda x^2 = \lambda y^2 = \lambda z^2$ خوب با $x^2 = y^2 = z^2$ منجر به حداکثر می شود ، یا$\lambda = 0 \implies xyz = 0$ منجر به حداقل می شود.
مثال دیگر حداکثر نقطه $f(x,y,z) = 8x^2 +4yz -16z +600$ را با یک محدودیت $4x^2+y^2+4z^2=16$ بنویس خوب $L(x, y, z, \lambda ) = 8x^2 +4yz -16z +600 - \lambda (4x^2+y^2+4z^2-16)$
با استفاده از ضریب لاگرانژ ، ما می خواهیم نقاط (x ، y ، z) را پیدا کنیم به طوری که $\nabla f(x, y, z) = \lambda \nabla g(x, y, z),$ ، جایی که $g(x, y, z) = 4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16$ و λ یک مقدار ثابت است. مشاهده کنید که شیب ها توسط $\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z \rangle = \langle 16x, 4z, 4y - 16 \rangle$ داده می شوند ، از این رو باید سیستم 4 × 4 زیر را حل کنیم: معادلات$\begin{cases} 16x = 8 \lambda x \\ 4z = 2 \lambda y \\ 4y - 16 = 8 \lambda z \\ 4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16\end{cases}$با استفاده از اولین معادله ، آن $(16 - 8 \lambda)x = 0,$ را داریم ، که از آن نتیجه می شود λ = 2 یا x = 0. با استفاده از معادله دوم ، آن $2z = \lambda y$ را داریم به طوری که $4z^2 = \lambda^2 y^2.$. با استفاده از معادله سوم ، آن $4y = 8 \lambda z + 16 = 4 \lambda^2 y + 16$(توسط معادله دوم) داریم تا$(4 \lambda^2 - 4)y + 16 = 0.$. با استفاده از معادله چهارم ، آن $4x^2 + (\lambda^2 + 1) y^2 = 16$ را داریم (با معادله دوم).$\begin{cases} 4z^2 = \lambda^2 y^2 \\ (4 \lambda^2 - 4)y + 16 = 0 \\ 4x^2 + (\lambda^2 + 1) y^2 = 16 \end{cases}$با توجه به اینکه λ = 2 ، در معادله دوم ممکن است y را حل کنیم. در معادله اول برای z حل کنید ؛ و در معادله سوم برای x حل کنید. از طرف دیگر ، اگر x = 0 ، آنگاه با توابع $f(0, y, z) = 4yz - 16z + 600 = h(y, z)$ سر و کار داریم. $g(0, y, z) = y^2 + 4z^2 = k(y, z) = 16,$ ، و می توانیم با استفاده از ضریب لاگرانژ نقاط بحرانی h (y، z) را با توجه به محدودیت $k(y, z) = 16.$ پیدا کنیم. به طور واضح ، ما باید $\langle 4z, 4y - 16 \rangle = \nabla h(y, z) = \mu \nabla k(y, z) = \mu \langle 2y, 8z \rangle$ داشته باشیم به طوری که$\begin{cases} 4z = 2 \mu y \\ 4y - 16 = 8 \mu z \end{cases}$سیستم مربوط به معادلات است. با توجه به غیر صفر بودن $\mu$ ، می توانیم با گرفتن آن را از بین ببریم$16 \mu z^2 = (2z)(8 \mu z) = (2z)(4y - 16) = (\mu y)(4y - 16) = \mu (4y^2 - 16y)$
و لغو ضریب μ از سمت چپ و راست. بنابراین ما این $16z^2 = 4y^2 - 16y.$ را داریم. از این واقعیت استفاده کنید که $16z^2 = 4(16 - y^2)$ برای y حل شود.
$L(x,y,z,\lambda) = 8x^2-4\lambda x^2 + 4yz - \lambda y^2 - 16z - 4\lambda z^2 + 600 + 16\lambda$و $\frac{d}{dx}L(x,y,z,\lambda) = 16x-8\lambda x = 0, x = 0 \space or \space \lambda = 2$و$\frac{d}{dy}L(x,y,z,\lambda) = 4z-2\lambda y = 0 \space or \space 4z = 4y, \space for \space \lambda = 2$ پس $So, y = z$پس $\frac{d}{dz}L(x,y,z,\lambda) = 4y-16-8\lambda z = 0, \space or \space 4y = 16z + 16, \space for \space \lambda = 2$ پس $As \space y = z, \space y = z = -\frac {4}{3}$لذا $\frac{d}{d\lambda}L(x,y,z,\lambda) = -4x^2-y^2-4z^2+16 = 0, \text { which is our original constraint.}$پس $As \space \lambda = 2, \space y = z = -\frac{4}{3},$و$-4x^2-\frac{16}{9}-\frac{64}{9}+16 = 0$پس $4x^2=16-\frac{80}{9} \space so, \space x = \pm \frac{4}{3}$لذا برای $\text {roham, critical points for } \lambda = 2$ که $(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}),(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست