فرمول مجموع این سری؟

[پرتوزا]

• مقدمه:

سری هندسی متناهی _همون طور که می‌دونیم_ به مجموع جملاتی از اعداد با پایه‌های مشابه و توان‌های صحیح نامنفی صعودی گفته می‌شه. به طور مثال فرض کنید $a$ یک عدد مختلط دلخواه باشد. در اینصورت مجموع ذیل،
$$S_n=1+a+a^2+…+a^{n},$$
یک سری هندسی متناهی و فرمول عمومی آن به صورت زیر بدست می‌آید،
$$S_n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$
(اثبات فرمول از تقسیم کسر بالا قابل استخراج است.)
در حالت خاص به ازای $|a|<1$ وقتی که $n \to \infty$ سری هندسی نامتناهی را خواهیم داشت،
$$S=1+\sum_{k=1}^{\infty}a^k=\frac{1}{1-a}$$

• سوالات:

الف) حال، سری متناهی زیر را در نظر بگیرید که اینبار توان‌ها به صورت هارمونیک در حال کاهش هستند، (مانند قبل فرض کنید $a$ عدد مختلط دلخواهی باشد)
$$S_n=1+a+a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{3}}+…+a^{\frac{1}{n}}$$
در اینصورت فرمول عمومی $S_n$ چیست؟

ب) اگر $R$ مقدار حقیقی مشخصی باشد چنان که به ازای $|a|<R$ حد $\lim_{n \to \infty}S_n$ موجود باشد در آنصورت فرمول عمومی برای سری نامتناهی
$$S=\sum_{k=2}^{\infty}a^{\frac{1}{k}}$$

چیست؟

[rohamavation]

ببین سری هندسیgeometric series $\sum_{n=0}^\infty x^n
= 1 + x + x^2 + x^3 + \dotsb
$با توجه به هر عدد واقعی (یا مختلط) x و هر عدد طبیعی n خوب ببین $S_n(x)$برای n-امین مجموع جزئی سری $\sum_{j=0}^{\infty} x^j$ یعنی که$S_n(x) = \sum_{j=0}^{n} x^j.$
.$\begin{align}
xS_{n}(x) - S_{n}(x)
&= x\sum_{j=0}^{n} x^j - \sum_{j=0}^{n} x^j \\
&= \sum_{j=0}^{n} x^{j+1} - \sum_{j=0}^{n} x^j &&\text{(roham sums)} \\
&= \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} - \sum_{j=0}^{n} x^j &&\text{( $k=j+1$)} \\
&= \left[ \sum_{k=1}^{n} x^k + x^{n+1}\right] - \left[1 + \sum_{j=1}^{n} x^j \right] && \text{(pull out a couple roham)} \\
&= x^{n+1} + \color{red}{\sum_{k=1}^{n} x^k} - \color{red}{\sum_{j=1}^{n} x^j} - 1 && \text{(roham)} \\
&= x^{n+1} - 1.
\end{align}$اخرش با ساده کردنم$\begin{align}
x S_n(x) - S_n(x) = x^{n+1} - 1
&\implies (x-1)S_n(x) = x^{n+1} - 1 \\
&\implies S_n(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x},
\end{align}$
جوابتون $s(q,n) = \sum _{k=1}^n H_k^{q} \tag{roham1}$این بسط طبیعی سؤال مجموع مربعات اعداد هارمونیکه در آن q=1،2،3،... و $H_k = 1 + 1/2 + ... + 1/k$
عدد هارمونیک است$$\begin{align}
\sum _{k=1}^n \frac{H_k^{(2)}}{k}
&=\frac{1}{1} (1)\tag{roham}\\
&+ \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2^2})\\ش
&+ \frac{1}{3}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})\\
&+ ... \\
&+ \frac{1}{n}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ ...+\frac{1}{n^2} )\\
&=\frac{1}{1^2} H_n +\frac{1}{2^2}(H_n-H_1)+\frac{1}{3^2}(H_n-H_2)+ ... +\frac{1}{n^2}(H_n-H_{n-1}) \tag{roham}\\
&=\sum _{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}(H_n-H_{k-1})\\
&=H_n^{(2)}H_n - \sum _{k=1}^n \frac{1}{k^2} (H_k-\frac{1}{k})= H_n^{(2)}H_n-h_2(n) + H_n^{(3)}\tag{roham}\\[9pt]
\end{align}$$
لذا $\[ S_n = 1 + a + a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}} + \ldots + a^{\frac{1}{n}} = \frac{a - a^{\frac{1}{n+1}}}{a - 1} \]



$
است، در آن صورت می‌توان از اصل مقایسه استفاده کنی.اصل مقایسه بر اساس مقایسه سری‌ها می‌گوید اگر یک سری نامتناهی مثبت$\sum_{k=1}^{\infty}a_k$و یک سری نامتناهی مثبت$\sum_{k=1}^{\infty}b_k$وجود داشته باشند به گونه‌ای که برای هر k داشته باشیم پس اگه اولی همگرا باشه دومی همگراست ساده بود نه
ببین عزیز من$S = a * (1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
$که $S = ∑_{k=2}^∞ a_k
$خوب اینم میدونی $S = ∑_{k=2}^∞ a^{1/k} = ∑_{k=2}^∞ e^{(ln(a)/k)}
$حالا اگر مقدار a را با $e^{ln(a)}
$ جایگزین کن خوب در اینحا $S = a * (1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
$خوب راحت به $S = e^{ln(a)} * (1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
$ خیلی راحت بود این سری نامتناهی به عنوان سری هارمونیک با نسبت $1/K$ شناخته میشه حداکثر با اعمال شرط دارم$ lim_{n->∞} S_n
$∣a∣<R به حالت مطلوبی که حد موجود باشه میتونم سری را به شکل بالا نشون بدم امیدوارم به جوابتون رسیده باشین