صفحه 1 از 1

فرمول های مشتق گیری

ارسال شده: شنبه ۱۴۰۱/۱۲/۱۳ - ۲۱:۴۲
توسط omid2s
سلام.وقتتون بخیر
فرمولهای مشتق گیری چطور طراحی شدن؟مثلا چطور x بتوان 3,بعد از مشتق گیری تبدیل ب 3ایکس بتوان 2 میشه؟چرا اینطور میشه؟
یا اینکه چطوری سینوس در مشتق گیری تبدیل ب کوسینوس میشه؟
اثبات دارن؟میتونید برام توضیح بدید؟سایتی چیزی هست که اینها رو کامل توضیح بده؟

Re: فرمول های مشتق گیری

ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۱/۱۲/۱۵ - ۰۷:۴۱
توسط rohamavation
چگونه می توان یک اثبات را مستقیماً از تعریف مشتق به عنوان حد بدون استفاده از هیچ یک از قوانین تمایز نوشت؟خوب میدونی (Derivative)، نرخ تغییرات یک تابع نسبت به یک متغیره همون شیب نمودار در یک نقطه یا یک پارامتر با چه سرعتی در زمان تغییر می‌کنه
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{f(x+h)} - \frac{1}{f(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x)-f(x+h)}{f(x)f(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left(\frac{f(x)-f(x+h)}{h}\right)}{f(x)f(x+h)}$
از قانون حد ضریب استفاده کنید و 1- را از صورت‌گر خارج کنید. سپس موارد فوق معادل است
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(x)f(x+h)\right)}$
$\frac{\displaystyle-\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)}{\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(f(a)f(a+h)\right)}$
ببین ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$و ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$و نهایت ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$ اقی همینطوریه از روی هوا نیومده اثبات داره
یه مثال دیگه $=\frac{d}{dx}(f(x))
$ دقت کن $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}
$و $=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}
$و$=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^x(e^h-1)}{h}
$و$=e^x\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}
$در نهایت $=e^x \cdot 1
$ببین ساده هست تو دبیرستان همینو گفتن بهتون دیگه $\begin{align}
(x^n)'&=\lim_{h \to 0} {(x+h)^n-x^n\over h}\\
&=\lim_{h \to 0} {x^n+nx^{n-1}h+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n\over h} \\
&=\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1} \right]
\end{align}$که $\lim_{h \to 0} \left[ nx^{n-1}+{n(n-1)\over 2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1} \right]= nx^{n-1}$حتما میگی
سردرگمی در اثبات مشتق u(x)/v(x) اره $\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2+v\Delta v}=\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2}\cdot \left(1- \frac{\Delta v}{v}+ \frac{\Delta v^2}{v^2}\pm \dots \right)$
بازم تو همون حد درک کنی میتونی مشتق انتگرال بفهمی $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) + g\left( {x + h} \right) - \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right) + g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\end{align*}$که میشه $\begin{align*}{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}\\ & = f'\left( x \right) + g'\left( x \right)\end{align*}$یا ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$که ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( {x + h} \right) - f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) + f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}$و$\begin{align*}{\left( {f\,g} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right)\left( {g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)} \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( x \right)\left( {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {x + h} \right)\frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\end{align*}$در نهایت هم ${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f\left( x \right)g'\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)$اثبات بقیه اا راحت بود نیاوردم برات
بزار راه ساده بهت بگم لگاریتم بلدی خوب $\begin{align*}y & = f\left( x \right)g\left( x \right)\\ \ln \left( y \right) & = \ln \left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right) = \ln f\left( x \right) + \ln g\left( x \right)\end{align*}$$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$خیلی راحته $y' = f\left( x \right)g\left( x \right)\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\left( {fg} \right)^\prime } = g\left( x \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right)g'\left( x \right)$ یا $\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{f\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)}} - \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\end{align*}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}$که ${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}$توجه داشته باشید که تنها کاری که انجام دادم اینه که این دو مخرج را با هم عوض کردم از آنجایی که من کسرها را ضرب کردم می تونم این کار را انجام بدم در مرحله بعدهم کسر بزرگتر را می توان به صورت زیر تقسیم کرد.${\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{g\left( {x + h} \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {\frac{{f\left( {x + h} \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g\left( {x + h} \right)}}{h}} \right)$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right)\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)}}\,\left( {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}} \right) - } \right.\\ & \hspace{2.25in}\left. {\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h}} \right)} \right)\end{align*}$
$\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} & = g'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( {x + h} \right) & = g\left( x \right) & \hspace{0.5in} & \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} g\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} & = f'\left( x \right) & \hspace{0.5in} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( x \right) & = f\left( x \right) & & \end{align*}$
$\begin{align*}{\left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime } & = \frac{1}{{g\left( x \right)g\left( x \right)}}\,\,\left( {g\left( x \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)} \right)\\ & = \frac{{f'\,g - f\,g'}}{{{g^2}}}\end{align*}$
روش لگاریتمی هم برات انجام بدم $\begin{align*}y & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\ \ln y & = \ln \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right) = \ln f\left( x \right) - \ln g\left( x \right)\end{align*}$
$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = y\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)$
$\begin{align*}y' & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)\\ & = \frac{{f'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} - \frac{{g'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} - \frac{{f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}} = \frac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g'\left( x \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right)} \right)}^2}}}\end{align*}$